Некоторые широко используемые формулы:

j1

1;

j 2 1;

e j90

j1;

e j180

1;

Здесь же даны формулы, определяющие его алгебраическую и показательную форму записи (номера квадрантов указаны римскими цифрами I, II, III

и IV).

b

i2

i1

i3

-b

i4

III

Рис. 4.2

IV

На этом рисунке I a 2 b2 одинаков для всех квадрантов.

	I	I a jb Iej i Iejarctg(b/a);
		I ( a jb) Ie j i Ie j(180 arctg b/ a) Ie j arctg b/ a ;
	II
		I a jb Ie j i	Ie j(180 arctg b/ a) Ie j arctg b/ a ;
	III
		I a jb Iej i	Iej(360 arctg b/ a) Ie j arctg b/ a .
	IV

Те же соотношения справедливы и для комплексного напряжения U , расположенного в различных квадрантах комплексной плоскости.

4.3. Комплексное сопротивление и комплексная проводимость

а) Комплексное сопротивление Z есть отношение комплексного напряжения U к комплексному току I :

77

Z

U

Ue j u

U

e

j( )

ze

j

Ie

j i

I

u i

.

I

Это показательная форма записи. Здесь z – полное

сопротивление цепи,

а угол сдвига между напряжением и током.

Переходя к алгебраической форме записи Z через тригонометрическую, находим, что его вещественная часть zcos соответствует активному сопротивлению цепи R, а его мнимая часть zsin соответствует реактивному сопротив-

лению Х. Поэтому
Z	U	ze j z cos jz sin (R jХ) .	(4.2)
	I

Таким образом, комплексное сопротивление содержит в себе полное сопротивление цепи z, активное сопротивление R, реактивное сопротивление Х и угол сдвига фаз между напряжением и током.

б). Комплексная проводимость Y есть величина, обратная комплексному сопротивлению Z и равная отношению комплексного тока к комплексному напряжению:

Y	1		I		Ie j i				I	e j( i u ) ye j .
						j
	Z				Ue		u	U
		U

Это показательная форма записи. Здесь y – полная проводимость цепи, аугол сдвига фаз между напряжением и током (знак минус появился здесь чисто формально в результате взятия обратной величины от Z ). Аналогично находим, что ее вещественная часть ycos соответствует активной проводимости цепи G, а ее мнимая часть y sin реактивной проводимости b. Поэтому

Y	I		1	ye j y cos jy sin (G jb) .	(4.3)
			Z
	U

Таким образом, комплексная проводимость содержит в себе полную проводимость у, активную проводимость G, реактивную проводимость b и угол сдвига фаз между напряжением и током.

Заметим, что формулы (4.2) и (4.3) представляют собой закон Ома в ком-

плексной форме записи для участка цепи с Z или Y .

Эти формулы имеют обобщенный характер и справедливы для комплексных сопротивлений и проводимостей, имеющих как активные, так и реактивные составляющие. Однако в теории цепей важно знать также комплексную форму записи чисто активных, чисто индуктивных и чисто емкостных сопротивлений, проводимостей и формулы закона Ома для цепей, содержащих такие

78

сопротивления и проводимости. Все эти соотношения представлены в табл. 4.2

и 4.3.

Из табл. 4.3 вытекают следующие соответствия между мгновенными и

	комплексными значениями напряжений и токов:
	uR iR RI ;	uL L di	j LI ; uC	1		idt j	1	I	I	;
				C			C		j C
		dt
	iG Gu GU ;		iC Cdu/ dt j CU ;

где ( ) – принятый здесь знак соответствия.

Таблица 4.2

Активные, индуктивные, емкостные сопротивления и проводимости в комплексной форме записи

				Комплексное со-		Комплексная
№			Физические			проводимость
				противление Z
п/п		Схемы цепей	свойства цепи			Y =1/Z
				Z ze j
		I	z = R			Y R		1
								Z	R
1	U	R
			= 0	Z R R e j0	R	1	G
						R

I

L

z xL L

Z L xL e j90

Y L

1

Z L

2

U

90

jxL j L

1

1

j

jxL

L

I

C

z x

C

1

Z C x L e j 90

Y

С

1

Z

C

1

С

3

jx C j

1

U

90

C

j С

1

jx С

j C

79

Таблица 4.3

Комплексная форма записи закона Ома для цепей с активным, индуктивным, емкостным сопротивлениями

№

Схемы цепей

Соотношение

Комплексная фор-

между u и i

ма записи

п/п

Закона Ома

1

I

R

u i R

U Z R I RI

U

i u G

I Y RU GU

I

L

di

2

u L dt

U Z L I j LI

U

i

1

udt

I Y LU j

1

U

L

L

3

I

C

u

1

idt

U Z C I j

1

I

C

C

U

i C

du

I Y CU j CU

dt

4.4. Комплексная мощность

Комплексная мощность есть произведение комплексного напряжения на сопряженный комплексный ток цепи

*

S U I Se j .

Это показательная форма записи комплексной мощности. Здесь S – полная мощность цепи; угол сдвига фаз между напряжением и током;

*

I Ie j i комплексный ток, сопряженный заданному комплексному токуI Ie j i . Переходя от показательной к алгебраической форме записи находим, что ее вещественная часть Scos соответствует активной мощности цепи Р а ее мнимая часть Ssin реактивной мощности цепи Q. Поэтому

S U	*	Se j S cos jS sin P jQ .
	I		(4.4)

Знак над комплексной мощностью носит название «тильда» и ставится вместо точки потому, что мощность не является синусоидой.

80