4)	L			Дано: U = 150 В;			9)			Дано: Е1 = 10 В;
	I			R1 = R2 = 50 Ом;			Е1	I4	I5	Е2 R1 = 2 Ом;
U	R1	R2	С		L = 10 мГн;					R4 = 2 Ом;
					С = 100 мкФ.						I4 = 5 A.
			Определите ток I A.				I1			I2 Определите
							Е3		I3	ток I1 A.
	1	1,5	3		4	5	10	6	5	4	3
	1.	2.	3.		4.	5.	1.	2.	3.	4.	5.
5)				Дано: U = 70 В;			10)		Сколько уравнений
			I	R1 = 30 Ом;			Е1		надо составить по
				R2	= 40 Ом.				законам Кирхгофа
			Определите ток I, A.						для определения
	1,7	2,33	1,75		7	1	Е2		токов всех ветвей?
	1.	2.	3.		4.	5.	2	4	6	8	10
							1.	2.	3.	4.	5.

№ вопроса	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
					1
№ правильного ответа	4	2	5	2		5	2	4	1	3

3. Цепи синусоидального тока

Для изучения данной темы следует использовать материал темы 3. Эти вопросы также разобраны в [1], [2], [3].

Обратите особое внимание на ключевые моменты этой темы, которыми являются:

характеристики синусоидального тока, напряжения;

графическое изображение синусоидальных токов и напряжений (векторные диаграммы);

применение векторных диаграмм к расчету цепей синусоидального тока;

51

законы Кирхгофа в векторной форме записи;

действующие значения синусоидальных токов и напряжений;

элементы R, L и C в цепи синусоидального тока;

цепь с последовательным соединением элементов R, L и C;

цепь с параллельным соединением элементов R, L и C;

мощность цепи синусоидального тока;

понятие о двухполюсниках и об эквивалентных цепях. Выполнить на компьютере лабораторную работу 1.

3.1. Основные понятия о синусоидальных процессах

Синусоидальный ток – это периодический ток, изменяющийся во времени по закону синуса. График этого тока представлен на рис. 3.1 в виде кривой, полученной на экране осциллографа.

экран осциллографа

Т

ось тока

i

+Im

Im

ось времени

Рис. 3.1

На этом рисунке ось времени t (ось абсцисс) проведена между наибольшим и наименьшим значением тока. Ось тока (ось ординат) проведена перпендикулярно оси времени. Пересечение ее с осью начала отсчета времени t можно выбирать произвольно. Значение тока i в любой момент времени t называется мгновенным значением. Все значения i выше оси t считаются положительными, а ниже оси – отрицательными. Максимальное значение тока (относительно оси t) называется амплитудой и обозначается Im . Синусоидальный ток изменяется во времени от +Im до –Im.

Наименьшее время Т, по истечении которого значения тока повторяются, называется периодом тока. На осциллограмме период наиболее удобно изме-

52

рять между двумя амплитудами. Число периодов, совершаемых током за одну секунду, называется частотой тока f . Частота тока и период тока – величины взаимообратные. Частота f имеет физическую размеренность 1/c и названа "герц" (Гц):

f 1 T .	(3.1)
При теоретических расчетах часто используют понятие об угловой (круго-
вой) частоте. Угловая частота связана с частотой f (1/с)	соотношением
2 f .	(3.2)

Все сказанное выше о синусоидальном токе справедливо и по отношению к синусоидальному напряжению и синусоидальной ЭДС.

3.2. Аналитическая запись синусоидальных токов и напряжений

Синусоидальные токи и напряжения выражаются аналитически следующим образом:

i I m sin t i ; u U m sin t u . (3.3)

В этих формулах:

i и u мгновенные значения тока и напряжения; Im и Um – амплитуды тока и напряжения; угловая частота тока и напряжения; t – время; ( t + i) и ( t + u) – фазы тока и напряжения, измеряемые в градусах (град) или радианах (рад); i и u начальные фазы тока и напряжения это фазы ( t + i) и ( t + u) при t = 0. Их численные значения зависят от выбора момента начала отсчета времени.

Для полного определения синусоидального тока или напряжения необходимо знать три величины: амплитуду, частоту и начальную фазу, Если известно приложенное к цепи синусоидальное напряжение, то это значит, что заданы Um, и u. Следовательно, для определения синусоидального тока этой цепи надо определить только две величины: Im и i , так как частота тока такая же, как и у приложенного напряжения.

53

3.3.Способы графического изображения синусоидальных токов

инапряжений

Существует два способа графического изображения синусоидальных токов и напряжений: с помощью графиков i( t) и u( t) в декартовых координатах (подобно рис. 3.1) и с помощью вращающихся векторов в полярных координатах.

На рис. 3.2,а показано изображение тока в виде вектора длиной Im, вращающегося (как принято в теории цепей) против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью (соответствующей угловой частоте тока) относительно полюса 0 полярной системы координат. Его положение на этом рисунке зафиксировано в момент времени t = 0, при котором угол его наклона к полярной оси Р составляет величину, равную начальной фазе + i (положительные

начальные фазы откладывают от полярной оси против часовой стрелки, а отрицательные – по часовой).

а)			б)
								m при t>0
						I
I m		m t = 0	+		= t
	I
									m при t>0
i			i				I
					i
0		P	0						P

Рис. 3.2

54

При вращении вектора I m против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью проекция этого вектора на ось, перпендикулярную полярной оси (рис. 3.2,б), совершает синусоидальные колебания во времени. В самом деле, пусть за время t, прошедшее от начала отсчета вектор I m при своем вращении против часовой стрелки повернулся на угол = t (рис. 3.2,б). Тогда проекция этого вектора на ось, перпендикулярную полярной оси, составит i = Imsin ( t + i), что является мгновенным значением тока.

Пример 3.1. Известны синусоидальные ток и напряжения некоторой цепи

(рис. 3.3): i = 2sin (314t+60 ) A; u = 30sin (314t – 30 ) B. Требуется изобра-

зить графически ток и напряжение в полярных и декартовых координатах.

а)

1А

10В

30

б)

Um

u, i

u

Im

Im

t

0

60

30

Р

0

Um

i

i 60

u 30

u i 90

Рис. 3.3

Решение. Вначале изображаем ток i и напряжение u цепи в полярных координатах (рис. 3.3,а) в виде вращающихся векторов, зафиксированных на плоскости при t = 0. Для этого выбираем произвольно направление полярной оси Р и располагаем вектор тока длиной Im =2А под углом i = +60 к ней, а вектор напряжения длиной Um=30 В располагаем под углом u = 30 к полярной оси.

Для изображения тока и напряжения в декартовых координатах

55

(рис. 3.3,б) устанавливаем ось абсцисс (ось t) так, чтобы она располагалась на одной прямой с полярной осью (Р). Затем вращаем векторы I m и U m против часовой стрелки с угловой скоростью и фиксируем проекции этих векторов на декартовой плоскости через каждые 30 их поворота. В результате получаем графики изменения синусоидального тока и напряжения во времени, как это показано на рис. 3.3,б.

Заметим, что величины начальных фаз тока и напряжения определяются отрезками на оси абсцисс между началом координат и ближайшими точками ее пересечения синусоидами при переходе значений от отрицательных к положительным. При этом положительные начальные фазы (в нашем примере

i = +60 ) располагаются левее точки 0, а отрицательные (в нашем примереu = 30 ) – правее точки 0.

3.4. Векторные диаграммы и их применение к расчету цепей синусоидального тока

Графики токов i ( t) и напряжений u ( t) в декартовых координатах иногда используются для иллюстрации электромагнитных процессов в электрических цепях, но для практических расчетов не пригодны.

При решении электротехнических задач широко используется изображение токов и напряжений в виде вращающихся против часовой стрелки векторов, положение которых на плоскости зафиксировано для момента времени

t = 0.

Пример 3.2. Известны (рис. 3.4,а) синусоидальные токи двух параллельно включенных двухполюсников 1 и 2: i1=3 sin (628t + 30 ) A; i2 = 4 sin (628t –

60 ) A. Требуется: определить синусоидальный ток i в неразветвленной части цепи.

56

а) б)

I

m1

1А

i

а

3A

i 1

i2

+30 5А

P

u	1

2	0	60	i 23

4A

I

m

I m2

Рис. 3.4

Решение. Для узла а цепи справедлив первый закон Кирхгофа: i – i1 – i2 = 0 или i = i1 + i2 . Следовательно, для нахождения тока в неразветвленной части цепи необходимо сложить синусоиды i1 и i2. Это легко сделать если воспользоваться изображением токов в виде векторов по образцу рис. 3.2,а. Для определения общего тока надо определить только две характеризующие его величины – амплитуду Im и начальную фазу i, поскольку частота тока = 628 1/с задана. Эти величины можно легко найти графически, сложив векторы Im1 и Im2 так, как это делают в механике при нахождении вектора результирующих сил:

Im = Im1

+ Im2 .

(3.4)

Векторы исходных токов и результат их сложения показан на рис. 3.4,б. Здесь длина суммарного вектора равна амплитуде общего тока Im , а угол наклона к полярной оси (Р), есть начальная фаза i общего тока.

Путем непосредственных измерений находим, что Im = 5A и i = – 23 (знак ”– ” взят потому, что он расположен по часовой стрелке от полярной оси Р). Таким образом, искомый ток i = 5sin (628t – 23 ) А.

Совокупность векторов токов и напряжений цепи, называется векторной диаграммой этой цепи. Она позволяет заменить алгебраическое сложение

57