∆1=		Е	Z				5	- (1	j2)		=
		11		12			115	(11 j2)
		Е22	Z 22

= 5 (11+j2) +115 (1+j2) = 170+j240 = 294е j54,7 .

Второй дополнительный определитель получаем из главного заменой второго столбца свободными членами уравнений.

∆2=		Z	11	Е				2 j4	5		=
				11				- (1 j2)	115
		Z 21		Е22

=115 (2+j4) + 5 (1+j2) = 235+j470 = 525,5 е j63,4 .

Теперь определяем контурные токи цепи

İI = ∆1 / ∆ = 294 е j54,7 / 47,2 е j68,8 = 6,23 е j14,1 = 6,04 j1,52 А; İII = ∆2 / ∆ = 525,5 е j63,4 /47,2℮ j68,8 =11,1 е j5,4 =11,06 j1,04 А.

5. Находим токи во всех ветвях цепи. Ток İ1 в левой ветви цепи равен контурному току, так как совпадает с ним по направлению: İ1=İI= (6,04 j1,25) А. Ток İН в правой ветви цепи равен контурному току İII, поскольку совпадает с ним по направлению: İН =İII=(11,06 j1,04) А. Ток в средней ветви İ2 равен алгебраической сумме контурных токов: İ2=İII İI = (11,06 j1,04) (6,04 j1,52) = (5,02 + j0,48). Здесь ток İII взят со знаком (+),

так как он совпадает по направлению с током ветви İ2, а контурный ток İI взят со знаком ( ), так как его направление противоположно İ2.

5.3. Метод узловых напряжений (узловых потенциалов)

Метод основан на положении о том, что токи во всех ветвях сложной цепи можно рассчитать, если известны напряжения на всех ее ветвях.

На рис. 5.3,а представлена схема некоторой сложной цепи, имеющей шесть ветвей. Рассмотрим одну из ветвей этой цепи, расположенную между любыми двумя узлами "k" и "m" (рис. 5.3,б). Применив второй закон Кирхгофа и учитывая, что Ykm = 1/Zkm , получаем İkmZkm U km =Ėkm или

İkm = ( Ėkm + U km ) / Zkm = Ykm ( Ėkm + U km ) .

(5.4)

90

В этой формуле ток, напряжение и ЭДС обозначены двойными индексами. При этом все они направлены (для удобства записи) от узла "k" к узлу "m". Если реальные токи, напряжения и ЭДС окажутся направлены в противоположную сторону, то они войдут в уравнение (5.4) с обратным знаком (со знаком " "). Здесь Ėkm и Zkm – известные из условия задачи величины. Если, кроме того, найти напряжение U km , то ток İkm в этой ветви также будет найден.

В нашей схеме шесть ветвей и, следовательно, шесть неизвестных напряжений. Для их нахождения необходимо предварительно найти только те из них, которые действуют между каждым из улов цепи и опорным узлом "О" (выбираются произвольно). Они называются узловыми напряжениями.

a)	U23	б)			Е	km	Zkm
2			I	km

I1

			Е
		1
U12			Z1
				U10

		1
U		Z5
	31	Е
		4

	I2				I3
Е	2			Е
		U	20	3		Z3	k
		Z2
	0	Z6		I6		3
I5				U
					30
	Z4		I4			Рис. 5.3

Ukm обход

m

обход

Uk 0 Uk 0

Для схемы рис. 5.3,а узловыми являются напряжения U10 , U 20 и U 30 .

Все они направлены к опорному узлу "О". Если узловые напряжения известны, то напряжения между всеми остальными узлами легко находятся в соответствии со вторым законом Кирхгофа (рис. 5.3,б) по формуле

U km =U k 0 U m0 .

(5.4

а)

91

В нашем примере U12 =U10 U 20 ;

U31 =U30 U10 ;

U 23 =U 20 U 30 .

Заметим, что если опорный узел "0" заземлить, т.е. принять его электрический потенциал равным 0, то тогда узловые напряжения U10 , U 20 и U30 будут являться также электрическими потенциалами узлов 1, 2 и 3.

Узловые напряжения являются промежуточными неизвестными дан-

ного метода расчета. Относительно них составляется система уравнений. При этом используется первый закон Кирхгофа. Очевидно, что узловых напряжений меньше, чем токов ветвей. Поэтому данный метод позволяет существенно понизить порядок системы уравнений по сравнению с непосредственным применением 1-го и 2-го законов Кирхгофа. Рассмотрим составление системы уравнений по методу узловых напряжений.

Согласно 1-му закону Кирхгофа, алгебраическая сумма комплексных токов, подходящих к любому узлу цепи, равна нулю. Каждый из этих токов определяется формулой (5.4). Тогда для каждого узла цепи имеем

ΣIkm=ΣĖkmYkm + ΣYkmU km = 0 или

ΣYkm (U k 0 U m0 ) = ΣĖkmYkm,

где ΣĖkmYkm – сумма произведений ЭДС на проводимость всех ветвей, подходящих к рассматриваемому узлу цепи. Эти величины известны из условий задачи; ΣYkm(U k 0 U m0 ) – сумма произведений проводимости ветвей на на-

пряжения ветвей, где Ykm известные из условий задачи величины, а U k 0 и U m0 – неизвестные узловые напряжения.

Опуская ряд несложных промежуточных преобразований получаем в результате систему уравнений относительно неизвестных узловых напряжений цепи в следующем виде:

U10 Y11+U 20 Y12+U 30 Y13= J11

U10 Y21+U 20 Y22+U 30 Y23= J 22

(5.5)

U10 Y31+U 20 Y32+U 30 Y33= J 33 ,

где U10 , U 20 , U 30 – неизвестные узловые напряжения; Y11 Y22 Y33 – собст-

венные проводимости узлов, т.е. сумма проводимости всех ветвей, подходящих к данному узлу цепи (в уравнения (5.5) они всегда входят со знаком +);

92

Y12 = Y21; Y13 = Y31; Y23 = Y32 – взаимные проводимости узлов, т.е. сумма прово-

димости всех ветвей цепи, находящихся между узлами 1-2, 1-3 и

2-3; их численные значения всегда входят в уравнения (5.5) со знаком ( ); J11 , J 22 , J33 – известные из условий задачи величины, представляющие со-

бой сумму произведений ЭДС на проводимость (ΣĖY) всех ветвей, подходя-

щих к данному узлу. Если при этом Ė направлена к узлу, то произведение ĖY этой ветви берется со знаком (+), а если Ė направлена от узла, – со знаком

( ). Заметим, что произведение ĖY каждой ветви можно рассматривать как ток эквивалентного источника тока этой ветви.

Решая полученную систему уравнений, находим узловые напряжения U10 , U 20 , U 30 , затем напряжения на всех ветвях цепи в соответствии с формулой (5.4 а) и, наконец, токи во всех ее ветвях, используя формулу (5.4).

Если разветвленная цепь имеет только два узла (например, трехфазная цепь, соединенная звездой), то система (5.5) превращается в одно уравнение следующего вида:

U10Y11 = J11 .

(5.5 а)

5.4. Метод эквивалентного источника

Метод эквивалентного источника применяется для расчета тока в ка- кой-либо одной выделенной ветви сложной цепи. В его основе лежит теорема об эквивалентном источнике, суть которой состоит в следующем: любая сколь угодно сложная электрическая цепь относительно выделенной ветви может быть представлена одним эквивалентным источником ЭДС или одним эквивалентным источником тока.

Рассмотрим здесь метод расчета, основанный на эквивалентном преобразовании сложной цепи в эквивалентный источник ЭДС. На рис. 5.4,а представлена сложная цепь со многими источниками и многими сопротивлениями в виде активного двухполюсника. Требуется определить ток İ в выделенном из этой цепи сопротивлении Z.

Представим двухполюсник в виде эквивалентного источника ЭДС с параметрами ĖГ и ZГ (рис. 5.4,б) и получим, что в соответствии со вторым законом Кирхгофа искомый ток цепи

93