Ответы: Iсогл j2 А; I встр j3 А.

4.К цепи с трансформаторной связью двух катушек (рис. 6.6) приложено

напряжение, действующее значение которого U1 = 100 B. Индуктивное сопротивление первой катушки Х1 = 10 Ом, а сопротивление взаимной индуктивности ХМ = 5 Ом. Определить действующее значение напряжения U2, индуцированного на разомкнутых зажимах второй катушки.

Ответ: U2 = 50 B.

5.Определить величину коэффициента магнитной связи двух индуктивно

связанных катушек, если ХL1 = 9 Ом, ХL2 = 4 Ом, ХМ = 3 Ом. Ответ: К = 0,5 .

6.Цепь с последовательным соединением двух идеальных (R=0) индук-

тивно связанных катушек имеет при согласном их включении Хсогл = 80 Ом, а при встречном включении Хвстр. = 20 Ом. Определить величину сопротивления взаимной индуктивности этих катушек.

Ответ: ХМ = 15 Ом.

7.Трехфазные электрические цепи

Втеме 7 рассматриваются вопросы, входящие в третий раздел рабочей программы. Для изучения данной темы следует иcпользовать материал темы 7.

Эти вопросы также разобраны в [1], [2], [3].

Обратите особое внимание на ключевые моменты этой темы, которыми являются:

достоинство трехфазных цепей;

соединение трехфазной цепи звездой;

соединение трехфазной цепи треугольником;

расчет трехфазных цепей.

7.1. Введение

Трехфазные цепи синусоидального тока получили широчайшее распространение в электроэнергетике. Они обладают двумя основными преимуществами перед однофазными (двухпроводными) цепями: а) экономией цветного металла при передаче одной и той же мощности, б) возможностью получения вращающегося магнитного поля, на базе которого создан простой и надежный трехфазный асинхронный двигатель.

111

Источником энергии в трехфазных цепях служит трехфазный генератор, схематическое устройство которого показано на рис. 7.1,а.

а)		Z A	б)
			+j
I A	А	E A	EС
обмотка			статор
ротора			120

	C	ротор		EA
	СС	I В	120	+1
E	Ю	В		120
	С
Z С	С	EВ	Z В
	IС		EВ
		Рис. 7.1

Генератор состоит из статора (неподвижная часть) и ротора (подвижная часть). На статоре в специальных пазах на его внутренней поверхности расположены три одинаковые обмотки, сдвинутые друг относительно друга в пространстве на 120 . Их начала обозначены заглавными буквами A, B, C .

Ротор генератора представляет собой электромагнит постоянного тока, обмотка которого питается от отдельного источника постоянного тока через два контактных кольца, расположенных на валу. Ротор устроен так, что его магнитное поле распределяется в зазоре вдоль внутренней поверхности статора по закону косинуса. При вращении ротора с некоторой постоянной скоростью его магнитное поле индуцирует в обмотках статора три одинаковые синусоидальные ЭДС, сдвинутые друг относительно друга по фазе на 120 . Они образуют симметричную систему, которая в виде векторной диаграммы представлена на рис. 7.1,б. Расположив ЭДС обмотки A вдоль оси вещественных чисел комплексной плоскости, получаем запись ЭДС в следующем виде:

EА EА;

EВ E Ae j240

E Ae j120 ;

EC EAe j120 ,

(7.1)

где EА EВ EС - действующие значения фазных ЭДС генератора.

Величину e j120 для краткости обозначают буквой а (e j120 a ) и называют фазовым множителем. Используя его в формулах 7.1, получаем

EА EА; EВ a2 EА; EС aEА.

(7.1 а)

Заметим, что

112

a e j120

j240

( 0,5 j0,87) ; a2 e ( 0,5 j0,87) ; 1 a a2 0 . (7.1 б)

С учетом формул (7.1б) очевидно, что сумма трех векторов симметричной системы фазных ЭДС генератора, показанных на рис.7.1,б, равна нулю:

EA EB EC EA (1 a a2 ) 0.

(7.2)

Разработчиком трехфазных цепей является М.О. Доливо-Добровольский. Она признана во всем мире как оптимальная система для производства, передачи и распределения электрической энергии.

Если к обмоткам генератора (рис. 7.1,а) подсоединить нагрузочные сопротивления, получится простейшая (несвязанная) трехфазная цепь, состоящая из трех отдельных двухпроводных цепей, называемых фазами. Для отличия друг от друга их обозначают буквами A, B, C. На рис. 7.1,а этими буквами обозначены начала фазных обмоток генератора.

Термин «фаза», употребляемый здесь, следует отличать от термина «фаза», используемого в теории цепей синусоидального тока для обозначения стадии развития синусоиды тока, напряжения или ЭДС.

Несвязанные трехфазные цепи не имеют никаких преимуществ перед однофазными (двухпроводными) и практически не применяются. Обычно трехфазные цепи связывают звездой ( условное обозначение Y ) или треугольником ( ус-

ловное обозначение ).

7.2. Соединение трехфазной цепи звездой

При соединении звездой концы всех трех обмоток генератора объединяют в одну общую точку, которая называется нейтральной точкой генератора или нейтралью. Также поступают и с приемниками, которые образуют нейтральную точку (нейтраль) трехфазного приемника. При этом три обратных провода отдельных фаз объединяются в один, и система из шестипроводной становится четырехпроводной, как это показано на рис. 7.2.

Провода, идущие от генератора к приемникам, называются линейными, а провод, соединяющий нейтральные точки генератора и приемника, называется нейтральным. Показанные на этом рисунке направления действия ЭДС, токов и напряжений соответствуют направлениям, принятым в большинстве учебников по теории цепей.

Трехфазная цепь, связанная звездой, имеет ряд особенностей.

1. Токи линейных проводов, не разветвляясь, попадают в фазы приемников, поэтому фазные токи равны токам в линейных проводах: Iф I л .

113

2. Ток в нейтральном проводе I N равен алгебраической сумме комплекс-

ных токов всех трех фаз. В соответствии с 1-м законом Кирхгофа для нейтральной точки приемника ( 0 ) имеем

I A I B IC I N .

(7.3)

При отсутствии или обрыве нейтрального провода получаем

I A I B IC 0 .

(7.3 а)

В этом случае, зная два линейных тока, можно легко найти третий ток.

а)	б)
I A	IC

E A	UCA	U A			U AB	EC
			ZA
0	нейтральный	I N	0	U В	120	EА

EС

U

ZC

EВ

N

UС ZB

I B

I A

С

В

С′

В′

линейный

I В

U BC

EB

120

IC

Рис. 7.2

3. Если генератор вырабатывает симметричную систему фазных ЭДС (рис. 7.1,б) и, кроме того, комплексные сопротивления всех трех фаз цепи одинаковы ( Z A Z B Z C Z Ф R jX ), то комплексные токи, определяемые в

соответствии с формулой закона Ома IФ UФ Z Ф , имеют одинаковые дейст-

вующие значения и сдвинуты друг относительно друга по фазе на 120 (как это показано на рис. 7.2,б). Они образуют симметричную систему фазных токов и при этих условиях I A I B IC 0 . Следовательно, ток в нейтральном проводе отсутствует и этот провод фактически не нужен.

Заметим, что на рис. 7.2,б угол arctg ХR соответствует индуктивно-

му характеру фазного сопротивления.

Рассмотренный выше режим работы трехфазной цепи называется симметричным. В этом режиме работают все трехфазные приемники (например, трехфазные двигатели, нагревательные печи). Они имеют три одинаковые обмотки и не нуждаются в нейтральном проводе. Такие трехфазные приемники называют симметричными. Однофазные же приемники (лампы освещения, бы-

114

товые приборы) при соединении их звездой требуют наличия нейтрального провода для поддержания одинакового напряжения на всех трех фазах цепи.

4. Трехфазные цепи, связанные звездой, широко используются в электроэнергетике для передачи электромагнитной энергии на большие расстояния. Упрощенная схема такой цепи показана на рис. 7.3. Эта цепь является трехпроводной и наглядно демонстрирует свои преимущества по сравнению с подачей той же мощности тремя однофазными цепями. Энергетики стремятся включать однофазные приемники энергии так, чтобы нагрузка каждой из трех фаз линии электропередачи (ЛЭП) была равномерной.

Генератор А

Л Э П

Приемник

0					В

0

С

Рис. 7.3

Возможная несимметрия в ЛЭП компенсируется нейтральным проводом, в качестве которого используется земля (система с заземленной нейтралью).

5. При связывании звездой (рис. 7.2) различают фазные и линейные напряжения. Фазные напряжения (U A ,U B ,UC ) действуют между началом и концом каждой фазы. Их направление принято в соответствии с направлением фазных токов цепи от начала фазы к ее концу (к нейтральной точке 0 ). Линейные напряжения (U AB ,U BC ,UCA ) действуют между линейными проводами.

Их направление принято по часовой стрелке.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа для каждого из трех контуров, образованных одним линейным и двумя фазными напряжениями, имеем

U AB U A U B ;	U BC			U B U C ;			U CA UC U A .	(7.4)
	30				U л / 2
	Uф
	Uл				U л / 2		Рис. 7.4

115