Пример 2. Определить мгновенные и действующие значения тока на входе цепи (рис. 4,е), у которой С = 200 мкФ, L = 10 мГн, R1 = R2 =10 Ом,

u =12sin(314t + /6)

Решение. 1.		Изобразим	синусоидальное входное	напряжение и
параметры реактивных элементов L и C комплексными числами:
Um Ume j 6 12e j		6 ; jXL = j L = j314 10 10-3 = j3,14 Ом;
jXC = j / C =		j	j15 ,92 Ом.
	314 200 10 6

Если начальная фаза u входного напряжения в условии задачи не задана, то ее рекомендуется взять равной нулю ( u = 0).

2. Используя закон Ома в комплексной форме, составим уравнение для определения комплексной амплитуды тока на входе цепи:

I m U m Z ,

где Z – комплексное сопротивление цепи определяется по аналогичным правилам расчета полного сопротивления резистивной цепи постоянного тока:

Z R1

jX C ( R 2

jX L )

R1

X C X L

jX C R 2

10

50 j159

19 ,6 j3,6.

R 2

jX

L

jX C

R

2 j( X

L X C )

10

j12 ,76

3. Определим амплитуду и действующее значение комплексного тока на

входе цепи:

12 e j

12 e j

0,6 cos 40

6

6

j

2 0,33

j0,28 ;

I m

4,5

0,6e

j sin 40

19 ,6

j3,6

j

20 e

18

I 0,33 j0,28 ,

I

0,33 2

0,28 2

0,42

4. Преобразуем амплитуду комплексного тока на входе цепи в мгновенное значение синусоидального тока:

i = Imsin (314t + i) = 0,6sin (314t+ /4,5 ) А.

ЗАДАЧА 4

Схема соединения трехфазного потребителя, линейное напряжение, его частота и параметры элементов фаз, соединенных последовательно, приведены в табл. 4. Требуется начертить схему соединения и определить: действующие значения линейных и фазных токов; активную, реактивную и полную мощности потребителя, работающего в симметричном режиме. По результатам расчета построить векторные диаграммы токов и напряжений для симметричного режима.

325

										Таблица 4
	Последняя,	предпо-
	следняя или третья от
	конца цифра	шифра	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
	студента
	Схема		Y	∆	Y	∆ Y ∆ Y ∆ Y ∆
	Вариант схемы выбирается по последней цифре шифра
	Rф, Ом		3	4	6	8	9	10	12	16	15	20
	*) Lф, мГн		95	92	127	102 134		112	134	166 159		64
	*) Сф, мкФ		122	99	99	84 106		72	55	79 127		81
	Значения Rф, Lф, Сф,		выбираются по предпоследней цифре шифра
	Uл, В		20	30	40	50	60	70	80	90 100 110
	f, Гц		50	50	50	50	50	50	50	50	50	50
	Значения Uл, f выбираются по третьей от конца цифре шифра
	*) при расчете реактивных сопротивлений ХL и ХС округлять их до целых
чисел.

Методические указания

Перед решением задачи необходимо изучить материал курса, относящийся к расчету трехфазных цепей [1], с. 94…110 или [2], с. 107…123.

При расчете трехфазных цепей необходимо четко представлять схему соединения фаз приемника и потребителя и связанные с этим соотношения между фазными и линейными напряжениями и токами в симметричном режиме. Расчет в этом случае сводится к расчету одной фазы и выполняется по закону Ома. В случае несимметричного режима, полученного, например, в результате обрыва провода одной из фаз потребителя, расчет следует проводить отдельно для каждой фазы потребителя. При этом удобно воспользоваться методом узловых напряжений.

Построение векторных диаграмм начинают с выбора масштабов тока и напряжения. На комплексной плоскости, относительно начала координат показывают изображения фазных напряжений и соответствующих им фазных токов. Векторы линейных токов и напряжений определяются схемой соединения, т. е. соотношениями между линейными и фазными значениями конкретной схемы.

Мощность трехфазной системы в случае симметричного режима равна утроенному произведению мощности одной фазы. В случае несимметричного режима работы потребителя мощность трехфазной системы равна сумме соответствующих активных и реактивных мощностей фаз. Полная мощность трехфазной системы вычисляется по выражению теоремы Пифагора.

326

ЗАДАЧА 5

В цепи постоянного тока (рис. 5), состоящей из резистивных и реактивного элементов, происходит коммутация. При этом ключ из положения 1 переходит в положение 2, а соединение в точке 0 остается неизменным. Параметры цепи заданы (табл. 5).

Требуется: 1. Определить мгновенные значения тока и напряжения на реактивном элементе, решив задачу классическим методом. 2. Построить эпюры напряжения и тока в интервале от t = 0 до t = 4 .

Таблица 5

Последняя, предпо-
следняя или третья от
конца цифра шифра	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
студента
Схема на рис. 10	а	в	г	д	е	ж	з	б	в	г
L, мГн	2	-	4	-	8	-	10	4	-	8
С, мкФ	-	10	-	20	-	30	-	-	40	-
Вариант схемы и значения L, C выбираются по последней цифре
		шифра
U, В	6	8	10	12	14	16 18		20	24	36
Значение U выбирается по предпоследней цифре шифра
R1 = R2, Ом	20	22	24	26	28	30 32		34	36	38
Значения R1, R2 выбирается по третьей от конца цифре шифра

Методические указания

Перед решением задачи необходимо изучить материал курса, относящийся к расчету переходных процессов в линейных цепях классическим методом [1], с. 198… 217 или [2], с. 427…440.

Расчет переходных процессов классическим методом рекомендуется выполнять в следующей последовательности:

327

а)

R1

R2

б)

R1

R2

L

0 2

2

U

U

0

L

1

1

в)

1

2

г)

1

2

0

R1

0

R1

U

R2

U

L

R2

C

R1

д)

е)

1

R1

1

2

C

2

U

0

0

U

R2

L

R2

ж) 1

0

з

1

0

2

R1

2

R1

C

U

U

R2

R2

L

Рис.5

1. Определить начальные условия переходного процесса, т.е. значения тока в индуктивном элементе и напряжение на емкостном элементе в докоммутационной цепи в момент, непосредственно предшествующий моменту коммутации.

2. Для цепи, образовавшейся после коммутации, составить дифференциальное уравнение на основании законов Кирхгофа и уравнений связи между мгновенными током и напряжением в элементах R, L и C.

328

При этом для цепей с емкостью составляем уравнение, в котором не-
известной функцией является напряжение на емкости, для цепей		с индук-
тивностью неизвестной функцией является ток в индуктивности.
3. Находим решение дифференциального уравнения п. 2 в	виде суммы
установившейся и свободной составляющих, например, для тока:
iL = iLУ + iLСВ.		а затем
При этом сначала находим установившуюся составляющую,
свободную составляющую в виде экспоненциальной функции,	для которой

определяется степенной показатель (величина, обратная постоянной времени

цепи) и постоянная интегрирования на основании начальных условий и зако-
нов коммутации.
4. Находим решение дифференциального уравнения п. 2 в	виде суммы
установившейся и свободной составляющих, например, для тока:
iL = iLУ + iLСВ.	а затем сво-
При этом сначала находим установившуюся составляющую,

бодную составляющую в виде экспоненциальной функции, для которой определяется степенной показатель (величина, обратная постоянной времени цепи) и постоянная интегрирования на основании начальных условий и законов коммутации.

Пример 3. В цепи постоянного тока (рис. 5,а) происходит коммутация. Параметры цепи и величина постоянного напряжения известны: Ом, L=10 мГн, U=10 B. Определить ток i(t) в цепи и напряжение на индуктивном элемен-

те uL(t) в переходном режиме классическим методом.
Решение. 1. Определяем	начальные			условия, т.е.						ток iL( 0) в индук-
тивном элементе в докоммутационной цепи:									1 А. .
i L	( 0 )		U			10
		R1	R 2		5			5
2. Составим по второму закону Кирхгофа уравнение и, используя урав-
нения связи между мгновенными i(t) и u(t), приведем его к										дифференциально-
му виду, в котором неизвестным является искомый ток в цепи i(t) = iL(t):
uL uR2 U ,				L di			R2i U.
3. Находим решение дифференциальногоdt							уравнения в виде суммы уста-
новившегося тока iУ и свободного тока iСВ:
		i = iУ+iСВ,
где установившийся постоянный ток в цепи равен
	iУ = U/R2 = 10/5 = 2 А ,

а свободный ток определяется из решения однородного дифференциального

	L	diСВ	R i	СВ	0
уравнения		dt	2

в виде iСВ = Ae t , где = R2/L = 5 102 - корень характеристического уравнения

L + R2 = 0.

329