ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.2. Способы представления гармонических функций

j = −1 .

Вектору на комплексной плоскости можно сопоставить комплексное число:

Im = Im e jψ.

Величину характеризуют модулем комплекса Im , положение на комплексной плоскости – аргументом комплекса ψ.

Такую форму записи комплексного числа в математике называют показательной. Ее можно использовать для умножения и деления комплексных чисел.

Складывать и вычитать в такой форме записи нельзя, следует перейти к так называемой алгебраической форме. Для этого раскладывают вектор на проекции по осям координат, действительную Im′ и мнимую j Im′′ :

Im = Im′ + jIm′′.

Переход от одной формы записи к другой делают по формулам, полученным из решения треугольника (см. рис. 3.4):

							Im′′
Im =		′ 2	′′	2	;	ψ = arctg		;
		(Im )	+ (Im )				Im′
Im′	= Imcosψ;					Im′′ = Im sin ψ.

Метод расчета цепей синусоидального тока при помощи комплексных чисел называют символическим. Его предложил американский ученый Карл Протеус Штейнмец. Немец по происхождению, профессор математики из города Бреслау, был приглашен Эдисоном в фирму, созданную для реализации изобретенной Эдисоном лампы накаливания. Не без помощи К. П. Штейнмеца эта скромная фирма превратилась во всемирно известного гиганта «Дженерал Электрик Компании».

3.3. Действующиеисредниезначения гармоническихвеличин

3.3.1. Действующие значения

По тепловому действию сравнивают синусоидальный ток с постоян-

ным (рис. 3.5, а и б).

Постоянный ток подбирают таким, чтобы за одинаковое количество времени выделялось одинаковое количество тепла:

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-46-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.3. Действующие и средние значения гармонических величин

I	R	i	R

Q I= 0,24 RI 2T.				Q i= 0,24 R ∫T i 2dt.
	а				б 0
	Рис. 3.5
	QI		= Qi ;
				T
	I 2 T = ∫i2dt .
Отсюда				0
			1	T
	I =			∫i2 dt .
			T
				0

Действующим значением тока считают такой постоянный ток, который производит тот же тепловой эффект, что и реальный переменный ток.

Примем начальную фазу ψi для простоты равной нулю. Тогда

i = Im sin ωt .

Действующее значение тока

I =

1

T Im2 sin2 ωt d t =

Im

= 0,707 Im .

T

2

∫0

Аналогично U =

U

m

= 0,707Um ; E =

Em

= 0,707 Em .

2

2

Так как действие переменного тока характеризуют действующие значения, то на векторных диаграммах принято изображать векторы действующих, а не максимальных значений.

Действующие значения токов и напряжений показывают амперметры и вольтметры электромагнитной и электродинамической систем.

3.3.2.Средние значения

Вобщем случае среднее значение – это среднее значение за период:

Iср = 1 T∫i d t .

T 0

Но для синусоидальной величины это выражение равно нулю.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-47-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.3. Действующие и средние значения гармонических величин

Поэтому среднее значение определяют для половины периода:

T

T

2

2

2

2

2

Iср

=

∫0 i d t =

∫0

Im sin ωt dt =

Im = 0,637 Im .

T

T

π

Аналогично U

=

2

U

m

= 0,637U

m

;

E

=

2

E = 0,637 E .

π

ср

ср

π m

m

3.4. Приемникивсхемахзамещенияцепей синусоидальноготока

3.4.1. Идеальный резистор либо резистивный элемент

i	R	Резистивный элемент (рис. 3.6) обладает сопротив-
		лением R, которое измеряют в омах (Ом).
		Закон Ома для мгновенных значений: uR = Ri .
	u R
		Если i = Im sin (ωt + ψi ), uR = R Im sin (ωt + ψi ).

	Рис. 3.6	Отсюда можно сделать выводы:
		При синусоидальном токе напряжение на резистивном
	элементе изменяется тоже по синусоидальному закону.
	2. Ток и напряжение резистивного элемента совпадают по фазе.

Проиллюстрируем эти выводы графиками: синусоидами (рис. 3.7, а) и векторной диаграммой (рис. 3.7, б).

u R

i

I

ω t	U R

а

б

Рис. 3.7

Перед знаком синуса записывают максимальное значение, т. е.

U Rm = R Im .

Это закон Ома для максимальных значений.

Если левую и правую части уравнения разделить на 2 , получим закон

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-48-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.4. Приемники в схемах замещения цепей синусоидального тока

Ома для действующих значений:

U R = R I .

Закон Ома для комплексов действующих значений:

U R = R I .

Мгновенная мощность – это произведение мгновенных значений напряжения и тока:

p = uR i =URm Im sin2 (ωt + ψi ) = URm2 Im 1−cos2(ωt + ψi ) =

=UR I 1−cos2(ωt + ψi ) .

Круговой косинус не может быть больше единицы, т. е. выражение в квадратной скобке не может быть меньше нуля.

Выводы:

1. Мгновенная мощность резистивного элемента всегда положительная.

2. Мгновенная мощность меняется с удвоенной частотой.

Эти выводы можно получить и при графическом умножении uR на i

(рис. 3.8).

p
+	+	+	+

u R

i

ω t

Рис. 3.8

Среднее значение мощности за период называют активной мощностью Р. Для резистивного элемента

P =

1

Т

p dt =

1

Т U

I 1

−cos2(ωt + ψ

) dt =

1

U

I T =U

I = R I 2 .

∫0

T

T

∫0

R

i

T

R

R

Обратите внимание: в формуле активной мощности фигурируют дей-

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-49-