ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.4. Приемники в схемах замещения цепей синусоидального тока

ствующие значения тока и напряжения. Измеряют активную мощность в ваттах (Вт).

3.4.2. Индуктивный элемент либо идеальная индуктивная катушка

			Ток индуктивного элемента (рис. 3.9) создает магнитный поток, на-
правленный по оси катушки.
		i	L	Потокосцепление	ψ – это	произведение	числа
				витков катушки на магнитный поток:
			u L
			e L		ψ =WФ .
		Рис. 3.9
				Одинаковыми буквами	могут быть	обозначены	разные
физические величины.
			Индуктивный элемент учитывает ЭДС самоиндукции, которая пропор-

циональна скорости изменения потокосцепления и мешает этому изменению:

eL = −dψtФ= −W d t . d d

Индуктивная катушка обладает индуктивностью. Индуктивность – это коэффициент, характеризующий способность тока создавать магнитный поток:

L = ddψi .

Индуктивность измеряют в генри (Гн =Ом с).

Можно записать dψ = Ldi . Тогда eL = −L ddti . Напряжение на индуктивном элементе uL = −eL , т. е.

uL = L ddti .

Это закон Ома для мгновенных значений.

Еслиi = Im sin (ωt + ψi ), напряжение uL = LωIm cos(ωt + ψi ) =

=LωImsin ωt + ψi + π .

2

Отсюда можно сделать выводы:

1. При синусоидальном токе напряжение на индуктивном элементе тоже синусоидально.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-50-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.4. Приемники в схемах замещения цепей синусоидального тока

2. Напряжение опережает по фазе ток на угол, равный π2 .

Проиллюстрируем эти выводы графиками: синусоидами (рис. 3.10, а) и векторной диаграммой (рис. 3.10, б).

Перед знаком синуса записывают максимальное значение, т. е.

ULm = LωIm .

Если левую и правую части уравнения разделим на 2 , то получим за-

кон Ома для действующих значений:

UL = LωI .
По аналогии с резистором для упрощения расчетов вводят понятие
индуктивного сопротивления X L :
X L = Lω.
u		U
L		L
i
		ωt
		I
а		б
		Рис. 3.10
[X L ]= Ом с	1	= Ом.
	с

Тогда U L = X L I .

Индуктивное сопротивление – это расчетное понятие, учитывающее

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-51-

	ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
	3.4. Приемники в схемах замещения цепей синусоидального тока
X	L		ЭДС	самоиндукции. Частотная характеристика
			индуктивного сопротивления представлена на
			рис. 3.11.
				В цепи постоянного тока ω = 0 , поэто-
			му X L = Lω = 0 . Вместо индуктивного элемента
			в схеме замещения будет закоротка.
		ω		Расчеты в цепях синусоидального тока де-
			лают символическим методом. Закон Ома для
	Рис. 3.11		комплексных значений:
				π
		UL = j X L I		= X L I e j 2 = X L I e j90 .
	Умножение вектора на j или на e j90				означает его поворот на ком-
плексной плоскости на угол + 90 .
	Мгновенная мощность индуктивного элемента
		p = uL i =ULm Im cos(ωt + ψi ) sin (ωt + ψi ).
Умножим и разделим на 2:
	p = ULm Im 2cos(ωt + ψi ) sin (ωt + ψi ) =UL I sin2(ωt + ψi ).
		2
		p
	+	+		+	+
			uL
		i
					ω
					t
		_	_	_	_
				Рис. 3.12
	Отсюда следуют выводы:

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-52-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.4.Приемники в схемах замещения цепей синусоидального тока

1.Мощность меняется с удвоенной частотой.

2.Мощность знакопеременная.

Эти же выводы можно получить при графическом перемножении uL и

i (рис. 3.12).

При p > 0 энергия от источника поступает в индуктивную катушку и

запасается в ее магнитном поле.

При p < 0 энергия возвращается в сеть.

		1 T
	Активная мощность P =		∫ p d t = 0 , так как мгновенная мощность ме-
		T
			0

няется по синусоидальному закону.

Идеальная индуктивная катушка энергии не потребляет.

Энергия магнитного поля индуктивного элемента

WM =

∫

p dt =

∫

uL i dt =

∫

L

di

i dt =

∫

Li d i =

Li

2

.

dt

2

3.4.3. Идеальный конденсатор либо емкостный элемент

Емкостный элемент (рис. 3.13)

обладает емкостью С,

i

C

которую измеряют в фарадах

с

Ф =

.

Ом

uC

Первые наблюдения электрических и магнитных явлений относятся к глубокой древности. Рис. 3.13

Слово «электричество» произошло от греческого слова «электрон», которым называли янтарь. Многие замечали, что натертый янтарь притягивает легкие тела.

В 1650 г. бургомистр г. Магдебурга Отто фон Герике изготовил первую простейшую электростатическую машину. Возникло предположение, что электричество является жидкостью, пропитывающей обычную материю как губку. Было установлено, что тела в зависимости от их отношения к электричеству можно разделить на две группы: проводники и непроводники.

У голландского профессора Мушенбрека из г. Лейдена возникла идея «накопить» электрические заряды в стеклянном сосуде. В 1745 г. он взял стеклянную банку, наполненную водой, опустил в нее медную проволоку, соединенную с электростатической машиной и, взяв банку в правую руку, попросил своего помощника вращать шар машины. После того как, по его мнению, в банке накопилось достаточное количество зарядов, он решил левой рукой отсоединить медную проволоку. При этом он ощутил сильнейший удар. В письме Реомюру в Париж Мушенбрек писал, что не согласился бы повторить этот опыт даже ради короны Франции.

Так была изобретена лейденская банка, а вскоре и первый простейший конденсатор.

Одним из важнейших последствий изобретения лейденской банки яви-

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-53-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.4. Приемники в схемах замещения цепей синусоидального тока

лось установление влияния электрических зарядов на организм человека, что привело к зарождению электромедицыны.

Опыт Мушенбрека повторил в присутствии французского короля аббат Нолле. Он образовал цепь из 180 гвардейцев, взявшихся за руки, причем первый держал банку в руке, а последний прикасался к проволоке, извлекая искру. Удар чувствовался всеми в один момент. Десятки людей мгновенно вскрикивали и делали непроизвольные жесты. От этой цепи солдат и произошел термин «электрическая цепь».

Из курса физики известно, что i = ddqt , а q = СuС .

Отсюда i = C	duC	.
	dt
Это закон Ома для мгновенных значений.
Пусть напряжение u =U			sin(ωt + ψ		).
		CСm	u
				ωt + ψu +		π
Тогда i = CωUСmcos(ωt + ψu )= CωUСmsin						2	.

Из полученного выражения можно сделать выводы:

1.При синусоидальном токе напряжение на емкостном элементе тоже синусоидально.

2.Напряжение на емкостном элементе отстает по фазе от тока на угол

π2 (90 ).

Эти выводы можно проиллюстрировать графиками: синусоидами (рис. 3.14, а) и векторной диаграммой (рис. 3.14, б).

uC

I

i

ωt

UC

а

б

Рис. 3.14

Максимальное значение тока Im = CωUCm . Разделив обе части уравне-

ния на 2 , получим закон Ома для действующих значений:

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-54-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.4. Приемники в схемах замещения цепей синусоидального тока

	I = C ωUC либо UC =	1		I.
		C ω

По аналогии с резистором для упрощения расчетов вводят понятие емкостного сопротивления ХC :

Х	C	=		1 .
			Сω
X C
					ω
Рис. 3.15
[ХC ]=		1		1	= Ом.
		с
	Ом			с

Частотная характеристика емкостного сопротивления приведена на рис. 3.15. В цепи постоянного тока ХC = ∞, конденсатор постоянный ток не

пропускает.

Напряжение UC = X C I .

Закон Ома для комплексных значений:

UC = − j X C I = X C I e− j π2 = X C I e− j 90 .

Умножение вектора на –j или на е− j90 означает его поворот на ком-

плексной плоскости на угол −90 .

Мгновенная мощность емкостного элемента

p= uC i =UCm Imcos(ωt + ψu ) sin (ωt + ψu ) =

=UCm2 Im 2cos(ω t + ψu )sin (ωt + ψu )=UC Isin2(ωt + ψu ).

Отсюда следуют выводы:

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-55-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.4. Приемники в схемах замещения цепей синусоидального тока

1. Мощность меняется с удвоенной частотой.

2. Мощность знакопеременная.

Эти же выводы можно получить и при графическом перемножении uC

и i (рис. 3.16).

При р > 0 энергия от источника поступает в конденсатор и запасается в его электрическом поле.

При р < 0 энергия возвращается в сеть.

			p
			+	+			+ u C	+
						i
								ω t
			_		_		_	_
							Рис. 3.16
					1		Т
	Активная мощность Р =						∫ рdt = 0 , так как мгновенная мощность ме-
					Т
							0
	няется по синусоидальному закону.
	Идеальный конденсатор энергии не потребляет.
	Энергия электрического поля емкостного элемента

	du	C		C u2
Wэ = ∫ pdt = ∫uC idt = ∫uC C			dt =	C .
	dt			2

3.5.Основныезаконыцепейпеременноготока

Вцепях переменного тока закон Ома выполняется для всех значений, законы Кирхгофа – только для мгновенных и комплексных, которые учитывают фазные соотношения.

Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма мгновенных значений токов в узле равна нулю:

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-56-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.5. Основные законы цепей переменного тока

n

∑ik = 0 ,

k =1

либо алгебраическая сумма комплексных значений токов в узле равна нулю:

n

∑Ik = 0.

k =1

Второй закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений на приемниках в контуре равна алгебраической сумме мгновенных значений ЭДС, действующих в этом же контуре:

m	l
∑ui = ∑e j ,
i=1	j=1

либо алгебраическая сумма комплексных значений напряжений на приемниках в контуре равна алгебраической сумме комплексных значений ЭДС в этом же контуре:

m

∑Ui

i=1

l

= ∑E j .

j=1

Уравнения, составленные по законам Кирхгофа, называют уравнениями электрического состояния.

3.6. Анализцеписпоследовательнымсоединением приемников

Схема замещения представлена на рис. 3.17. Ток меняется по синусоидальному закону:

i = Im sin (ωt + ψi ).		I R	XL
Для анализа процессов воспользуемся урав-	U	UR	UL	XC
			U
нением на основании второго закона Кирх-			C
гофа:
u = uR +uL +uC .		Рис. 3.17

Подставим в это уравнение значения напряжений, выраженные по закону Ома для мгновенных значений:

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-57-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.6. Анализ цепи с последовательным соединением приемников

u = Ri + L ddti + C1 ∫idt .

Получаем уравнение электрического состояния в дифференциальной форме. Оперировать синусоидальными функциями весьма сложно, поэтому переходим к операциям с комплексными значениями.

Уравнение электрического состояния в комплексной форме:

U =U R +U L +UC .

Подставим в это уравнение значения напряжений, выраженные по закону Ома:

U = R I + j X L I − j X C I = [R + j (X L − X C )]I = Z I ,

где Z – комплексное сопротивление цепи.

Очевидно, что

Z = R + j (X L − X C )= R + j X ,

где R – активное сопротивление, Х – реактивное сопротивление.

Закон Ома в комплексной форме для цепи с последовательным соединением приемников:

	UC		UL
		B
	U
O	ϕ	A	I
	UR
	Рис. 3.18	B

U

UL −UC

ϕ

O A UR

Рис. 3.19

U = Z I .

Реактивное сопротивление Х может быть положительным и отрицательным.

Реактивное сопротивление Х > 0, если X L > X C . В этом случае цепь имеет индук-

тивный характер.

Реактивное сопротивление X < 0 , если. ХL < XC. Тогда цепь имеет емкостный характер.

Построим векторную диаграмму. Обычно при ее построении не привязываются к комплексной плоскости, так как имеет значение только взаимное расположение векторов.

Построение векторной диаграммы начинают с вектора величины, общей для данной цепи. При последовательном соединении элементов такой величиной является ток. Вид диаграммы зависит от характера цепи. По-

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-58-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.6. Анализ цепи с последовательным соединением приемников

строение векторной диаграммы для цепи, имеющей активно-индуктивный характер, т. е. X L > X C и X > 0 , показано на рис. 3.18.

Входное напряжение складывается из напряжений на трех идеальных элементах при учете сдвига фаз. Напряжение на резисторе совпадает с током

по фазе. Напряжение на индуктивном элементе опережает ток на 90 , на ем-

костном – отстает на 90 . Полученный при построении векторной диаграммы треугольник ОАВ изображен на рис. 3.19.

Угол ϕ = ψu −ψi – угол сдвига фаз тока и полного напряжения.

Треугольник ОАВ дает возможность оперировать действующими значениями, для которых законы Кирхгофа не выполняются:

U= U R2 + (U L −UC )2 ,

ϕ= arc tg U L −UC ,

U R

U R =U cosϕ, U L −UC =U sinϕ.

Если разделить все стороны треугольника напряжений на ток I, получим подобный ему треугольник сопротивлений (рис. 3.20), где Z – полное сопротивление цепи, R – активное сопротивление, Х – реактивное сопротивле-

ние, X L = L ω – индуктивное сопротивление, XC = C1ω – емкостное сопротивление.

UI = Z

ϕ

UL −I UC = XL −XC = X

UIR = R

Рис. 3.20

Закон Ома для действующих значений при последовательном соеди-

нении приемников имеет вид

U = Z I .

Из свойств треугольника сопротивлений получаем соотношения:

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-59-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.6. Анализ цепи с последовательным соединением приемников

Z = R2 + X 2 = R2 + (X L − X C )2 ;

ϕ = arc tg XR ;

R = Z cosϕ; X = Z sinϕ.

Угол ϕ зависит от соотношения сопротивлений цепи.

Сравнение формул полного и комплексного сопротивлений позволяет сделать вывод, что полное сопротивление является модулем комплексного. Из треугольника сопротивлений видно, что аргументом комплексного сопротивления является угол ϕ.

Поэтому можно записать:

Z = R + j X = Z e jϕ .

Полное сопротивление любого количества последовательно соединенных приемников

Z = (∑R)2 + (∑X L − ∑X C )2 .

Умножением всех сторон треугольника напряжений на ток получаем треугольник мощностей (рис. 3.21).

U I = S

U L− U C

ϕ

U R I = P

Рис. 3.21

Реактивная мощность

Активная мощность

I = Q

P =U R I = R I 2 =U I cosϕ

характеризует энергию, которая передается в одном направлении от генератора к приемнику. Она связана с резистивными элементами.

Q = U L −UC I = X I 2 =U I sinϕ характеризует

часть энергии, непрерывно циркулирующей в цепи и не совершающей полезной работы. Она связана с реактивными элементами.

Полная (кажущаяся) мощность S =U I = P2 + Q2 .

Активную мощность измеряют в ваттах (Вт), реактивную – вольтамперах реактивных (вар), полную – вальт-амперах (В А).

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-60-

ГЛАВА 3 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.7. Резонанснапряжений

Индуктивная катушка и конденсатор – взаимоподавляющие антиподы. Когда они полностью компенсируют действие друг друга, в цепи на-

блюдается резонансный режим.

Резонанс напряжений возникает при последовательном соединении индуктивных катушек и конденсаторов. Условие резонанса напряжений: входное реактивное сопротивление Х равно нулю.

Рассмотрим режим резонанса для цепи, схема замещения которой представлена на рис. 3.17.

При резонансе

X = X L − X C = 0 .

Отсюда X L = X C .

На рис. 3.22 изображены частотные характеристики реактивных сопротивлений. Частоту ωo называют резонансной.

Так как X L

= Lω, а XC =

1

, то при резонансе

X

X C

XL

C ω

Lω =

1

.

0

C ω0

Тогда LC ω2

=1.

0

Отсюда следует, что добиться резонанса напря-

жений в схеме на рис. 3.17 можно изменением индук-

ωо

ω

тивности L, емкости С и частоты ω.

Рис. 3.22

Циклическая резонансная частота

ω0 = LC1 .

Тогда частота

f0 = 2π 1LC .

При резонансе полное сопротивление Z = R2 + X 2 = R . Цепь имеет чисто активный характер.

Построим частотные характеристики Z (ω) и I (ω). Для этого прове-

дем небольшой анализ.

1. Когда частота ω→ 0, индуктивное сопротивление X L = Lω→ 0, ем-

	костное	сопротивление	XC =	1		→ ∞,	полное	сопротивление
				Cω

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-61-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.7. Резонанс напряжений

→ ∞ , ток I = U

Z =

R2 + X 2

→ 0 .

Z

1

2. Когда

частота

ω→ ∞,

X L = Lω→ ∞,

XC =

→ 0 ,

→ ∞ , I = U

Cω

Z =

R2 + X 2

→ 0 .

Z

(ω = ω0 )

X = 0 ,

X L = X C ,

3. При

резонансной

частоте

Z =

= R = Zmin , I = U

R2 + X 2

= Imax .

R

Графики зависимостей Z (ω) и I (ω) представлены соответственно на

рис. 3.23 и рис. 3.24.

1

1

При резонансе X

L

=

X

C

= Lω =

= L

=

L

= ρ. Это сопротив-

0

Cω0

LC

C

ление называют волновым или характеристическим.

Z						I
R
ωо				ω		ωо	ω
Рис. 3.23						Рис. 3.24
Добротность резонансного контура						I
Q =	X L	=	X C	=	ρ .		Q = 30
	R		R		R

Чем выше добротность, тем острее резо-
нансные кривые Z (ω) и I (ω) (см. рис. 3.25).
При		X L	резонансе		Q = 100
U L =UC = X L I = X L U	=		U = QU , т. е. на-
R		R			ω				ω
пряжения на реактивных элементах превосходят
							о
напряжение питания в Q раз. Добротность реаль-					Рис. 3.25
 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие								-62-

	ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
		3.7. Резонанс напряжений
ных избирательных систем обычно несколько сотен, волноводов – порядка
нескольких тысяч. Поэтому в резонансном режиме даже при небольших
входных напряжениях на индуктивных катушках и конденсаторах могут воз-
никать перенапряжения, опасные для оборудования и обслуживающего пер-
сонала.						UR (ω),		UL (ω)
Построим		частотные характеристики		напряжений					и
UC (ω).
Предварительно проведем анализ.
1.	Когда частота ω→ 0,		ток I → 0, напряжение U R = RI → 0, сопро-
тивление X L → 0, напряжение U L = X L I → 0. По второму закону Кирхгофа
U =U R +U L +UС . Отсюда UC =U .
2. Когда частота ω→ ∞,			I → 0, U R = RI → 0,		сопротивление X C → 0,
UC = X C I → 0. Так как U =U R +U L +UC , то U L =U .							= R I = R U =U ,
3.	При	резонансной	частоте	(ω = ω )	U	R
				0				R
U L =UC = Q U .
Частотные характеристики напряжений приведены на рис. 3.26.
Если Q ≤ 0,707 , то подъема частотных характеристик UL (ω)								и UC (ω)
выше значения U не будет.
Построим фазо-частотную характеристику ϕ(ω), предварительно про-
ведя анализ.
		U		ϕ
				π
		UC	UL	2
			UR
							ωо		ω
				_ π
				2	ω
		Рис. 3.26					Рис. 3.27
1. Когда ω→ 0, X L → 0,			XC → ∞, ϕ → − π .
				2
2. Когда

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-63-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.7.Резонанс напряжений

ω→ ∞, X L → ∞, XC → 0, ϕ → π2 .

3.При резонансе ω = ω0 X L = X C , X = 0 , Z = R , ϕ = 0 . Фазо-частотная характеристика приведена на рис. 3.27.

Во время резонанса цепь не обменивается реактивной энергией с источником. Происходит обмен энергией между конденсатором и индуктивной катушкой, причем максимальные значения этих энергий равны между собой. Вся энергия источника рассеивается в резисторе.

Построим векторную диаграмму (рис. 3.28).

		Очевидно, что	U =U R ,	U L = −UC ,
		U L =UC , угол ϕ = 0 .
UL UC		Цепь имеет чисто активный характер.
		Значение резонанса напряжений:
UR		1. В электроэнергетических устройствах в
	I	большинстве случаев явление, связанное с не-
U		ожиданным появлением перенапряжений, неже-
		лательное.
Рис. 3.28		2. В электротехнике связи (радиотехника,
		проволочная телефония,	автоматика) явление

резонанса напряжений широко используют для настройки цепи на определенную частоту.

3.8.Анализцепи

спараллельнымсоединениемприемников

	I						Схема замещения цепи с парал-
			IR		IL	IC	лельным соединением приемников изо-
							бражена на рис. 3.29.
U			R		X L	XC	Запишем уравнение электрического
							состояния в дифференциальной форме:

i = iR + iL + iC .

Рис. 3.29

Подставив в это уравнение выражения токов по закону Ома для мгновенных значений, получим:

i = Ru + L1 ∫udt +C ddutC .

Для анализа цепи воспользуемся уравнением по первому закону Кирхгофа для комплексных значений:

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-64-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.8. Анализ цепи с параллельным соединением приемников

I = IR + IL + IC .

Подставим в это уравнение значения токов, выраженные по закону

Ома:

1

1

1

1

U

+

U

−

U

=

+

−

I =

R

jX L

jX C

j

X L

U

= Y U ,

R

XC

где Y – комплексная проводимость. Очевидно, что

1

1

1

1

1

1

1

Y =

+

−

−

R

j

=

R

− j

X L

,

X L

X C

X C

1

1

1

где

– активная проводимость резистивного элемента

=

G ;

– ин-

R

R

X L

1

1

дуктивная проводимость индуктивного элемента

=

– емкост-

X L

BL ;

X C

1

ная проводимость емкостного элемента

X C

= BC .

Используя эти обозначения, записываем:

IR

A

U

Y = G − j (BL − BC )= G − j B ,

О

ϕ

где В – реактивная проводимость.

I

B

Построение векторной диаграммы начи-

наем с вектора напряжения, которое является

IC

IL

одинаковым для всех элементов схемы. Век-

торная диаграмма для случая, когда

X L < X C ,

Рис. 3.30

приведена на рис. 3.30.

O

IR

A

Ток в неразветвленной

части

схемы

ϕ

складывается из токов трех параллельных вет-

IL

IC

вей при учете сдвига фаз. Ток через резистор

I

совпадает с напряжением по фазе, через индук-

B

тивный элемент отстает от напряжения на 90 ,

ток через конденсатор опережает его на 90 .

Рис. 3.31

Полученный при построении векторной

диаграммы треугольник токов ОАВ изображен на рис. 3.31.

Из свойств треугольника токов получаем следующие соотношения, позволяющие оперировать действующими значениями:

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-65-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.8. Анализ цепи с параллельным соединением приемников

I = IR2 + (IL − IC )2 ;

ϕ = arc tg

IL − IC

;

IR

IR = I cosϕ;

IR

IL − IC

= I sin ϕ.

G

Разделив все стороны треугольника

U =

токов

на напряжение, получим подобный

ϕ

I L

IC

ему треугольник проводимостей (рис. 3.32),

I

= Y

= B

где Y – полная проводимость. Закон Ома

U

для действующих значений при парал-

U

лельном соединении примет вид

Рис. 3.32

I = Y U .

Из свойств треугольника проводимостей получим соотношения:

Y = G2 + B2 ; G =Y cos ϕ;

B =Y sin ϕ; ϕ = arc tg GB .

Полная проводимостьY является модулем комплексной проводимости Y :

Y =Y e-jϕ = G − jB .

Полная проводимость любого количества параллельно соединенных приемников

Y = (∑G)2 + (∑BL − ∑BC )2 .

Умножив все стороны треугольника токов на напряжение, получим уже знакомый треугольник мощностей (рис. 3.33).

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-66-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.8. Анализ цепи с параллельным соединением приемников

IR U = P
ϕ		R	X
I U = S	I L I C	U= Q
Рис. 3.33		Рис. 3.34

Выведем формулы активной и реактивной проводимостей ветви. Все резистивные элементы ветви можно заменить одним с эквивалентным сопротивлением. Все реактивные элементы также можно заменить одним эквивалентным, индуктивным или емкостным. Схема замещения любой ветви в общем виде приведена на рис. 3.34.

Комплексная проводимость – это величина, обратная комплексному

сопротивлению: Y = Z1 = R +1 jX .

Чтобы избавиться от мнимости в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю комплекс:

Y =	R − jX		R − jX		R	− j	X
		=		=				.
	(R + jX )(R − jX )		R2 + X 2		R2 + X 2		R2 + X 2

Выражение в знаменателе R2 + X 2 = Z 2 .

Тогда Y = ZR2 − j ZX2 = G − jB .

Активная проводимость G является действительной составляющей комплексной проводимости Y :

G = Re(Y )=	R	=	R	.
	R2 + X 2
			Z 2

Реактивная проводимость В является мнимой составляющей комплексной проводимости Y :

B = Im(Y )=	X	=	X	.
	R2 + X 2		Z 2

3.9. Резонанстоков

Этот режим наблюдается в цепи с параллельным соединением индук-

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-67-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.9. Резонанс токов

тивных катушек и конденсаторов.

Условие резонанса токов: входная реактивная проводимость В = 0. Рассмотрим резонансный режим для цепи, схема замещения которой

изображена на рис. 3.35.

Так как B = BL − BC = 0 , то BL = BC . Индуктивная проводимость

I

IR	IL
R1	R2
U
X L	XC

Рис. 3.35

BL = R12X+LX L2 .

Емкостная проводимость

BC =

X C

.

R22 +

X C2

Подставив в эти формулы расчетные значения X L и X C при резонан-

се, получим:

1

′

′

Lω0

=

Cω0

.

2

′

2

2

1

2

R1

+ (Lω0 )

R

+

′

2

Cω0

Отсюда частота ω′0 , при которой наступит резонанс токов:

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-68-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.9. Резонанс токов

L

− R2

1

ρ

2

2

C

′

1

− R1

= ω0

ρ2 − R22 .

L

ω0

= LC

2

C

− R2

Проведем анализ полученной формулы.

1.При R1 = R2 частота ω′0 = ω0 .

2.Резонанс невозможен, если

а) R1 > ρ,ρ R2 < ;

б) R1 < ρ,ρ R2 > .

При таком соотношении параметров подкоренное выражение будет отрицательным.

3. При R1 = R2 = ρ получаем неопределенность типа 00 .

Дополнительные исследования показывают, что в этом случае резонанс наступает при любой частоте и носит название безразличный.

Эквивалентное комплексное сопротивление

1

1

L

Z1 Z 2

(ρ + jLω)

ρ − j

ρ2 +ρjLω−ρ j

+

C

Z =

=

Cω

=

Cω

.

Z1 + Z 2

1

1

ρ + jLω+ρ − j Cω

2ρ + jLω− j Cω

Так как ρ =

L

, то

L

= ρ2 .

C

C

Тогда

1

ρ

2ρ + jLω− j

Cω

Z =

= ρ.

2ρ + jLω− j

1

Cω

При резонансе полная проводимость Y =

G2 + B2

= G = Y .

min

Ток I = YU = GU = Imin .

Графики зависимостей Y (ω) и I (ω) изображены соответственно на рис. 3.36 и рис. 3.37.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-69-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.9. Резонанс токов

	Y	I
	G	GU
	ω′0	ω	ω
	Рис. 3.36	ω′0
		Рис. 3.37

	Построим векторную диаграмму. Величины,				общей для схемы
рис. 3.35, нет. Поэтому сначала построим векторные диаграммы для отдель-
ных	ветвей, в	которых	элементы соединены последовательно
(рис. 3.38, а и б).
	Если ветвь имеет активно-индуктивный характер, то вектор напряже-
ния U	опережает вектор тока I		на острый угол	ϕ = arctg X L .
		1		1	R1
	Если ветвь имеет активно-емкостный характер, то вектор напряжения
U отстает от вектора тока I2 на острый угол ϕ2				= arctg	XC .
					R2
		U		ϕ2	I2
					UR2
	ϕ1	UL			UC
		UR1		U
			I1
		а			б
			Рис. 3.38

Вектор напряжения U одинаков, поэтому можно построить объединенную векторную диаграмму (рис. 3.39).

I2
ϕ2	U		U
		I	ϕ1	I
ϕ1				I2
I1			I1	ϕ2
	Рис. 3.39		Рис. 3.40

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-70-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.9. Резонанс токов

Входной ток I совпадает по фазе с входным напряжением U . Более удачным представляется порядок построения векторной диа-

граммы на рис. 3.40.

Рассмотрим частный случай, когда схема имеет чисто реактивный характер (рис. 3.41).

	I			При резонансе BL = BC . Так как BL =		1	, а
						X L
U	I1	I2		1
	X L	XC	BC =		, то X L = X C .
				X C

	Резонансная частота ω0 = ω. Ток в неразветв-
			′
Рис. 3.41	ленной части схемы
	I = Y U =	G2 + B2	U = 0 .

Частотная характеристика I (ω) представлена на рис. 3.42. Векторная диаграмма приведена на рис. 3.43.

I	I2=
		U
	=
	I1
ωо	ω	Рис. 3.43
Рис. 3.42

Применение режима резонанса токов:

1.Фильтр-пробка для определенной частоты.

2.Для улучшения коэффициента мощности.

3.10.Резонансприсмешанномсоединении приемников

Вцепи, схема замещения которой представлена на рис. 3.44, возможны два резонансных режима.

Впассивной части цепи возможен резонанс токов при условии, что В12 = 0 .

Реактивная проводимость В12 = В1 − В2 .

X C 1

R1

X L 1 X C2

2

Рис. 3.44

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-71-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.10. Резонанс при смешанном соединении приемников

Отсюда В = В		:		X L	=	1		.
				1
			R2	+ X 2		X C
1	2						2
			1	L
				1

В том случае, когда входное реактивное сопротивление Х = 0 , будет наблюдаться режим резонанса напряжений. Входное комплексное сопротивление

Z = − jXC + Z12	= − jXC +	(R1 + jX L1 )(− jXC2				)	=
		R1	+ jX L	− jXC
					2
			1

= − jXC + R12 + jX12.

Реактивное сопротивление является мнимой составляющей комплексного сопротивления:

X = Im(Z )= −X C + X12 = 0 .

Отсюда X C = X12 .

Очевидно, что оба резонанса одновременно быть не могут.

3.11. Расчетцепейсинусоидальноготока

Для расчета цепей синусоидального тока применяют те же методы, что и для расчета цепей постоянного тока. Но их можно использовать только для комплексных значений. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 3.1. Вычислить токи в цепи с одним источником энергии, схема замещения которой изображена на рис. 3.45, если известны значения

U , R, R1, X L , X L1 , X C . Построить векторную диаграмму.

I1 R 1 X L 1

a I R b	XL	c	d
			XC
U			I2

Рис. 3.45

Решение

1.Выявим узлы (с и d), ветви, направим токи.

2.Для расчета токов в схеме с одним источником энергии рационально использовать метод эквивалентных преобразований.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-72-

Рис. 3.46

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.11. Расчет цепей синусоидального тока

Эквивалентное комплексное сопротивление

Z = R + jX L + (R1 + jX L1 )(− jX C ).

R1 + jX L − jX C

3. Комплекс тока в свернутой схеме найдем по закону Ома:

I = UZ .

4. Токи в пассивных параллельных ветвях вычислим по формулам:

I1 =		− jX	C	I ;	I2 =		R1	+ jX L	I .
								1
	R1	+ jX L − jX C				R1	+ jX L − jX C
		1						1

Действующие значения токов являются модулями комплексных значений. Векторную диаграмму (рис. 3.46) строим в соответствии с алгоритмом:

1.Построим вектор напряжения между двумя узлами Ucd .

2.Построим векторы токов в пассивных параллельных ветвях I1 и I2 . Первая ветвь имеет активно-индуктивный характер, поэтому вектор тока I1

отстает от вектора напряжения U				на угол	ϕ = arctg	X L	, являющийся ар-
			cd			1
					1	R1
гументом комплексного сопротивления первой пассивной ветви Z1.
Вторая ветвь имеет емкостный харак-
тер. Поэтому вектор тока I2 опережает
вектор напряжения Ucd на угол 90 .						U		Ubc
3. Построим вектор тока I , равный
геометрической сумме векторов токов I1 и					I
I2 .					2	I
					ϕ
Вектор входного напряжения скла-					ϕ1			Uab
дывается	из векторов трех	напряжений:					Ucd
Uab , Ubc и	Ucd . К вектору	Ucd		прибав-	I
					1

ем вектор напряжения Uab . Между точками

а и b в схеме находится резистор с сопротивлением R . Напряжение на нем совпадает по фазе с током I , поэтому вектор Uab параллелен вектору тока

I . Напряжение на индуктивном элементе опережает ток на 90 , поэтому вектор Ubс перпендикулярен вектору тока I .

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-73-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.11. Расчет цепей синусоидального тока

Пример 3.2. Вычислить токи в це-					c	i1	R1	a	i3
пи с несколькими источниками энергии,								i 2
схема замещения которой представлена					L1				R3
								C2
на рис. 3.47. Построить векторно-								n	m
топографическую диаграмму.					k
1. Расчет можно выполнить мето-
дом непосредственного использования					e1		e2		e3
законов Кирхгофа.
Система уравнений электрического
состояния в дифференциальной форме:								b
							Рис. 3.47
i		−i		+i = 0;
	1		2	3
			di1	1
L1 dt				+ R1i1 + C2 ∫i2dt = e1 + e2 ;
	1		∫i2dt + R3i3 = e2 + e3 .
	Ñ2

Для расчета токов систему уравнений электрического состояния нужно записать для комплексных значений:

I1 − I2 + I3 = 0;

jX L1 I1 + R1I1 − jXC2 I2 = E1 + E2 ;− jXC2 I2 + R3I3 = E2 + E3 .

Решением системы найдем комплексные значения токов.

2. Расчет методом напряжения между двумя узлами выполняют в два этапа:

а) вычисление напряжения Uab :

			Uab =				∑J + ∑YE											;
										∑Y
			1									1										1
							E		−								E			+				E
		R	+ jX		L			1		− jX			C						2			R			3
Uab =		1																				3			;
					1										2
					1						−		1					+		1
				R	+ jX							jX		C						R
			1						L							2				3
									1

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-74-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.11. Расчет цепей синусоидального тока

б) вычисление токов:

−U

ab

+ E

U

ab

+ E

2

−U

ab

+ E

3

1

I1

=

; I2

=

;

I3

=

.

R1

+ jX L

− jX C

2

R3

1

Топографическая диаграмма – это потенциальная диаграмма в цепи синусоидального тока.

В отличие от цепей постоянного тока топографическую диаграмму строят для всей схемы, а не для контура. Строят ее на комплексной плоскости и обычно совмещают с векторной диаграммой токов (рис. 3.48).

Пусть E	= 40e− j45 В,	E	2	= 30e− j105 В,		E	3	= 25e j60	В,
1
	I1 = 5e− j30 А,		I2		= 6,2e− j14 А,		I3 = 2e j30		А.

Потенциал точки b примем равным нулю. Рассчитаем потенциалы остальных точек схемы: Vb = 0 ; Vm =Vb + E3 ; Vа =Vm − R3I3 ; Vc =Va + R1I1;

V

=V

+ jX

L

I

;

V

=V

− E

;

V

=V

−(− jX

C

I

); V

=V

+ E

2

.

k

c

1

b

k

1

n

a

2

2

b

n

1

+j

n

−Uan

−Uma

k

− E

m

1

E2

a

Ukc

E3

Uca

c

I3

b

+1

I2

I1

Рис. 3.48

Не рекомендуют вычислять значение потенциала. Целесообразно определять лишь вектор, показывающий изменение потенциала на пути от одной точки к другой. Его строят, исходя из предыдущей точки.

Векторы на диаграмме (в отличие от направлений на схеме) направлены к первому индексу, т. е. в сторону повышения комплексного потенциала. Топографическая диаграмма позволяет проверить правильность решения и

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-75-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.11. Расчет цепей синусоидального тока

определить напряжение между двумя любыми точками как разность потенциалов между ними.

3.12.Мощностицепейсинусоидальноготока

Вцепях синусоидального тока существуют уже рассматривавшиеся мгновенная р, активная Р, реактивная Q и полная S мощности.

При расчетах удобно пользоваться понятием комплексной мощности

	*
	S =U I ,
где U	*	– комплекс, сопря-
	=Ue jψu – комплекс напряжения; I = Ie− jψi
женный комплексу тока.
Подставив значения U и *I в формулу комплексной мощности, получим
	S =U e jψu I e− jψi =U I e j(ψu −ψi ) =

=U I e jϕ =UI cosϕ+ jUI sin ϕ = P + jQ .

Активная мощность является действительной составляющей комплексной мощности:

	*
P = Re(S )= Re U	I .
Реактивная мощность является мнимой составляющей комплексной
мощности:
	*
Q = Im(S )= Im U	I .

Для измерения активной (потребляемой) мощности служат ваттметры, представляющие собой сочетание амперметра и вольтметра.

Два зажима ваттметра (один – обмотки напряжения и один – обмотки тока) обозначают одинаковыми знаками, обычно звездочками. Угол сдвига фаз между напряжением на ваттметре и током в нем соответствует одинако-

вым положительным направлениям UW и				IW относительно зажимов,	отме-
ченных звездочками.			на рис. 3.49, а направлений напряжения и
Для указанных					тока
	*		или P =Uab I cos(Uab^ I ).
P = Re(S )= Re Uab I

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-76-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.12. Мощности цепей синусоидального тока

a

a

a

*

*

*

I

*

I

W

Uab

*

I

W

Uab

W

Uab

b

b

b*

а

б

в

Рис. 3.49

Для схемы, приведенной на рис. 3.49, б, активная мощность

*

=U

I cos

P = Re(S )= Re U

− I

ab

U

ab

(− I ) .

ab

*

=Uab I cos (−Uab )

^

I .

Для схемы рис. 3.49, в P =

Re (−Uab )I

3.13.Понятиеокоэффициентемощности

испособахегоулучшения

Потребляемой, полезной мощностью является активная мощность Р. Разделение полной мощности на активную и реактивную зависит от угла сдвига фаз ϕ между напряжением и током. Величина угла ϕ определяется

соотношением между активным и реактивным сопротивлениями потребителя.

Активная мощность

P = S cosϕ.

Косинус угла ϕ называют коэффициентом мощности, потому что от

его величины зависит, какая доля полной мощности потребляется. Под улучшением коэффициента мощности понимают увеличение cosϕ, т. е.

уменьшение угла ϕ.

Если увеличение потребляемой мощности не требуется, то увеличение cosϕ необходимо для уменьшения тока.

Полезную работу совершает только активная составляющая тока Ia .

Так называют проекцию вектора тока на вектор напряжения (рис. 3.50). Но в цепи циркулирует ток I > Ia , поэтому нужно делать большее сечение прово-

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-77-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.13. Понятие о коэффициенте мощности и способах его улучшения

дов линии передачи, обмоток генераторов, трансформаторов и других электрических машин. Кроме того, увеличиваются потери на нагрев проводников

(RI 2 ).

Коэффициент мощности	определяется
постановлением правительства (~0,92). В целях					I
стимулирования повышения	коэффициента
мощности промышленные предприятия оплачи-
вают электрическую энергию по дифференци-				ϕ	Ia
рованному тарифу. Чем ниже cosϕ, тем дороже					U
электрическая энергия обходится предприятию.
Способы улучшения cosϕ.				Рис. 3.50
Коэффициент мощности
cosϕ = P =	P	= R	=	R	.
S	P2 +Q2	Z		R2 + X 2

Очевидно, что для повышения cosϕ нужно увеличивать активную

мощность и активное сопротивление либо уменьшать реактивную мощность и реактивное сопротивление.

Естественный путь – увеличение активной мощности, повышение загрузки оборудования.

Коэффициент мощности асинхронных двигателей и трансформаторов при номинальной нагрузке бывает порядка 0,8–0,9. Асинхронные двигатели и трансформаторы, работающие недогруженными, снижают cosϕ в сетях и на станциях.

Искусственный путь – уменьшение реактивной мощности, которая связана с реактивным сопротивлением.

Основные современные потребители электроэнергии (асинхронные двигатели, трансформаторы, сварочные аппараты, дуговые и индукционные печи) имеют активно-индуктивный характер. Уменьшить реактивное сопро-

		Rн		X Lн	тивление, не изменив параметры схемы
					потребителя, позволяет режим резонанса
Iн
I					токов. Он наблюдается при параллельном
	IС				соединении, которое обеспечивает незави-
			XC
					симую работу приемников.
					Параллельно нагрузке подключают
		Рис. 3.51			батарею конденсаторов (рис. 3.51), пара-
					метры которой подбирают таким образом,

чтобы выполнялось условие резонанса токов: BL = BC .

В этом случае цепь имеет чисто активный характер, угол ϕ → 0 , cosϕ →1.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-78-