ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

7.2. Расчет простейших нелинейных цепей постоянного тока графическими методами

Рис.7.16

Если в анализируемой цепи нужно найти токи I1 и I2 , а также входное

напряжение при заданном входном токе, то рабочую точку можно найти на результирующей ВАХ.

Для ее построения нужно при ряде одинаковых значений напряжения складывать токи I1 и I2 (рис. 7.17). По заданному значению тока I находим

рабочую точку А и соответствующее ей значение входного напряжения U . По полученному значению напряжения U находим токи I1 и I2 .

Рис. 7.17

Если один из двух параллельно соединенных элементов является линейным, то рабочую точку рационально отыскать на пересечении ВАХ нелинейного элемента с зеркальным отображением ВАХ линейного элемента.

7.2.3. Расчет нелинейной цепи со смешанным соединением элементов

1. Решение методом эквивалентных преобразований.

Схема замещения рассматриваемой цепи приведена на рис. 7.18.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-217-

Рис. 7.18

ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

7.2. Расчет простейших нелинейных цепей постоянного тока графическими методами

Определить все токи, если задано входное напряжение и ВАХ от-

дельных элементов: I1(U1 ), I2 (U23 ),

I3 (U23 ). Решение заключается в по-

степенном построении результирующих ВАХ. Очевидно, что сначала нужно построить результирующую ВАХ для параллельного участка (для

ряда значений напряжения U23 суммировать токи I2 и I3 ). После этого схема превратится в последовательное соединение НЭ1 и эквивалентного элемента с ВАХ I1(U23 ), так как I2 + I3 = I1 .

Затем нужно построить результирующую ВАХ всей схемы. Для этого при ряде значений тока I1 нужно суммировать напряжения U1 и U23 .

По заданному значению входного напряжения U найдем рабочую точку и соответствующее ей значение входного тока I1 . Далее по графику

I1(U1 ) найдем напряжение U1 и определим напряжение U23 =U −U1 . По

графикам I2 (U23 ) и I3 (U23 ) найдем токи I2 и I3 .

2. Решение с использованием метода эквивалентного генератора. Этот метод можно использовать для схемы с одним нелинейным эл е-

ментом, ток в котором и надо найти ( рис. 7.19, а). Делим схему на две части: НЭ и всю остальную часть схемы, которая является активным двухполюсни-

ком (рис. 7.19, б).

Рис. 7.19

Активный двухполюсник заменим эквивалентным ему генератором (рис. 7.19, в). Активный двухполюсник является линейной цепью, расчет которой намного проще, чем нелинейной. ЭДС генератора Åã равна напряже-

нию холостого хода на зажимах активного двухполюсника. Сопротивление Rã – это эквивалентное сопротивление пассивного двухполюсника

тельно входных зажимов. Пассивный двухполюсник получаем из активного, закорачивая источники ЭДС и разрывая источники тока. Полученная схема (рис. 7.19, в) представляет собой последовательное соединение нелинейного и линейного элементов.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-218-

ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

7.2. Расчет простейших нелинейных цепей постоянного тока графическими методами

Рабочую точку рационально найти на пересечении ВАХ НЭ и зеркального изображения ВАХ линейного элемента (рис. 7.20). График I(Åã −URã ) является прямой линией,

зеркально отображающей график I(URã ), смещенный вправо на величину Åã . Для его

построения нужны две точки. Одна из них с координатами (Åã , 0). Для построения вто-

рой точки можно задаться произвольным значением тока I j .

Соответствующее ему напряжение URj = Rã I j

Рис. 7.20

отложим от значения Åã

влево. Отыскав рабочую точку А, найдем соответствующее ей значение токаI.

7.3. Расчетнелинейныхцепейметодомитерации

Точность расчетов графическими методами мала и существенно зависит от субъективных факторов.

Сущность метода итерации (последовательных приближений) заключается в аналитическом решении системы алгебраических нелинейных уравнений. Статическое сопротивление нелинейного элемента должно быть задано в функции от тока или напряжения.

Пусть в схеме один нелинейный элемент (НЭ), ток в котором и надо найти. Остальную часть схемы (активный двухполюсник) заменим эквивалентным ему генератором (рис. 7.21).

Графическая иллюстрация решения методом итерации приведена на рис. 7.22.

Напряжение на нелинейном элементе U = Eã − Rã I . Ток зависит от ста-

тического сопротивления НЭ, которое, в свою очередь, зависит от напряжения, поэтому это уравнение является нелинейным: U = F(U ) .

Пусть напряжение в нулевом приближении U0 = Eã . На ВАХ НЭ находим соответствующую рабочую точку b. Так как ток в схеме один, то току I0 на графике I(Eã − Rã I ) соответствует точка с. Напряжение на НЭ U = Eã − Rã I , поэтому переходим из точки с в точку d. Повторяя этот процесс, получаем рабочую точку А.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-219-

ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

7.3. Расчет нелинейных цепей методом итерации

		Рис. 7.21
								Рис. 7.22

Итерационный процесс не всегда будет сходящимся. Сходимость процесса зависит прежде всего от вида ВАХ и величины сопротивления Rã . Из

математики известно, что условие сходимости требует, чтобы в окрестности искомого корня (рабочая точка А) абсолютное значение производной F′(U )

было меньше 1. Чем оно меньше, тем быстрее процесс будет сходиться.

В рассматриваемой схеме F(U ) = Å

− R I . Тогда

dF(U )

= −R

dI

.

ã

ã

dU

ã dU

Дифференциальное сопротивление

НЭ

R = dU

,

поэтому

ä

dI

dF(U )

Rã

= −

.

dU

R

ä

Чтобы итерационный процесс сходился, должно выполняться условие:

		−	Rã		<1. Сопротивлениям можно сопоставить тангенсы соответствующих
			R
		ä
							tgδ
	углов (параграф 7.1), тогда можно записать								<1 либо tgδ < tgβ.
							tgβ
					Отсюда угол δ должен быть меньше угла β. В этом легко убедиться,

переместив рабочую точку А по ВАХ НЭ. При этом величины углов δ и β будут меняться. Если угол δ намного меньше угла β, процесс сходится быстро. Если угол δ больше угла β, процесс будет расходящимся.

Пример 7.3. Найти ток в схеме рис. 7.21, если Åã = 10 В, Rг = 5 Ом,

ВАХ НЭ задана уравнением U = 3I − I 2 . Ток в схеме по закону Ома

	Ik +1 =	Åã	,
		Rã + Rñò (Ik )
	где k – номер приближения.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-220-

ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

7.3. Расчет нелинейных цепей методом итерации

Примем I	0		=1		А. Сопротивление		R		(I ) =	U	=	3I − I 2		= 3 − I . В нул е-
							ñò			I		I
вом приближении Rñò (I ) = 3 −1 = 2 Ом.
Тогда I1 =			10		=1,428 А.
	5 + 2
Дальнейший расчет лучше свести в табл. 7.1.														Таблица 7.1
k					Ik , А			Rñò (Ik ) , Ом						Ik +1 , А
0					1				2					1,428
1					1,428				1,572					1,522
2					1,522				1,478					1,544
3					1,544				1,456					1,548
4					1,548				1,452					1,549
5					1,549				1,451					1,550
6					1,550				1,450					1,550

Следовательно, ток I =1,55 А. Достоинствами метода являются неог-

раниченная точность и возможность расчета на ЭВМ.

Метод можно применять только для цепей с НЭ, ВАХ которых мен я- ются монотонно.

7.4. РасчетнелинейныхцепейметодомНьютона– Рафсона

Итерационный процесс может быть организован различными методами. Наиболее эффективным считается метод Ньютона – Рафсона. Рассмотрим его применительно к решению одного уравнения. Пусть нелинейное уравнение f (x) = 0 имеет единственный корень x = xk +1 . В окрестности это-

го корня функция f (xk +1) = 0 разлагается в ряд Тейлора:

f (xk +1 ) = f (xk + ∆xk ) ≈ f (xk ) + ∆xk f ′(xk ) = 0 ,

где f (xk ) – значение функции в точке xk , а f ′(xk ) – производная функции f (xk ) в этой же точке.

Отсюда следует:

		xk +1 = xk + ∆xk ≈ xk −	f (xk )	,	(7.1)
			f ′(xk )
где ∆xk = h = −	f (xk )	– поправка к предыдущему решению.
	f ′(xk )
Полученное соотношение – алгоритм итерационного метода Ньютона –
 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие					-221-

ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

7.4. Расчет нелинейных цепей методом Ньютона – Рафсона

Рафсона, который реализуем следующим образом:

1. Задаем начальное приближенное значение искомого решения

x0 (k = 0) .

2. Определяем поправку h0 . Для ее вычисления по выражению функции находим производную.

3.Вычисляем уточненное значение корня õ1 = õ0 + h0 .

4.Повторяем процесс на следующем шаге и уточняем предыдущее решение до необходимой точности.

Геометрическая интерпретация метода приведена на рис. 7.23. Каса-

тельные, проведенные в точках xk (k = 0, 1, 2 ) , определяют значение поправки на соответствующем шаге, так как

f ′(xk ) = tg αk =	f (xk )	или hk =	f (xk )		=	f (xk )	.
	hk		f ′(xk )
						tg αk
I			a	ВАХ НЭ
b
d
A		I(Eг −U )
c

Eг U

Рис. 2.23

Рис. 7.23

Метод сходится, если начальное приближение достаточно близко к решению. Однако если производная f ′(xk ) = 0 , решение невозможно.

Исследования показывают, что сходимость метода Ньютона – Рафсона

зависит от значения функции f (x) , ее наклона									f (x) и от кривизны функции
									′
′′
f (x) .
Если для всех х выполняется неравенство
	f (x) f	′′		<		′		2	,
		(x)				f (x)

то процесс сходится. При определенных значениях угла наклона ( f ′(x)) и кривизны ( f ′′(x)) процесс может зацикливаться или расходиться, несмотря

на то, что начальное значение лежит относительно близко от искомого решения. Добиться сходимости можно, задав новое нулевое приближение и повторив расчеты. Иногда приходится переходить к уравнениям с новыми переменными.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-222-

ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

7.4. Расчет нелинейных цепей методом Ньютона – Рафсона

Эффективен прием улучшения сходимости итерационного процесса, при котором уточненное значение принимается равным

xky+1	=	xk + xk +1	.
	2

Подстановка уточненного значения xky+1 в уравнение (7.1) приводит к алгоритму

xky+1 = xk −0,5	f (xk )	.	(7.2)
	f ′(xk )

Сходимость итерационного процесса по (7.2) более медленная, чем по (7.1), но более вероятная.

Вычислим ток в рассмотренном примере методом Ньютона – Рафсона. Для схемы на рис. 7.21 уравнение по второму закону Кирхгофа

Rã I +U = Eã .

Отсюда

f (I ) = Rã I +U − Eã = 0.

Так как U = 3I − I 2 , получим уравнение

f (I ) = Rã I + 3I − I 2 − Eã = 8I − I 2 −10 = 0 .

Производная

f ′(I ) = 8 − 2I .

Примем ток в нулевом приближении I0 =1 А. Уточненное решение после первого шага:

	I1	= I0		f (I	0	)		8 1−1−1 0		А.
			−				=1−		=1,5
				f ′(I0 )				6

Уточненное решение после второго шага:

	I2 = I1 −	f (I1 )	=1,5 −	8 1,5 −1,52 −10	=1,550 А.
		f ′(I1 )		5

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-223-

ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

7.4. Расчет нелинейных цепей методом Ньютона – Рафсона

Как видим, правильное решение получаем гораздо быстрее, чем в случае простой итерации.

7.5. Расчетнелинейныхцепей методомнапряжениямеждудвумяузлами

Цепи с двумя узлами часто встречаются на практике. Рассмотрим метод на конкретном примере.

Пример 7.5. Схема замещения рассматриваемой цепи приведена на рис. 7.24. Вычислить все токи, если заданы ЭДС Å1 , Å2 , Å3 и ВАХ нелиней-

ных элементов I1(U1 ) , I2 (U2 ) , I3 (U3 ) (рис. 7.25, а, б и в).

Решение

1. Запишем уравнение на основании первого закона Кирхгофа: I1 + I2 − I3 = 0 .

Для решения более удобна запись в виде I1 + I2 = I3 . Это уравнение является усло-

вием для нахождения рабочей точки.

РисРис. 2..247.24

Рис. 7.25

2. Приведем токи к зависимости от одного аргумента. В условии токи ветвей заданы в функции от разных переменных: I1(U1 ) , I2 (U2 ) , I3 (U3 ) . Об-

щим для всех ветвей является напряжение между двумя узлами Uab . Запишем выражения напряжения Uab для всех трех ветвей схемы:

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-224-

ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

7.5. Расчет нелинейных цепей методом напряжения между двумя узлами

Uab = E1 −U1 ;

Uab = −E2 −U2 ;

Uab = E3 +U3 .

3. Построим графики токов I1(Uab ), I2 (Uab ) , I3 (Uab ) на основании полученных уравнений. График I1(Uab ) является зеркальным отображением

графика	I1(U1 ) , смещенным по оси абсцисс вправо на величину ЭДС Å1
(рис. 7.26). График I2 (Uab ) является зеркальным отображением		графика
I2 (U2 ) ,	смещенным по оси абсцисс влево на величину ЭДС Å2 .	График
I3 (Uab )	представляет собой график I3 (U3 ) , смещенный вправо по оси абс-

цисс на величину ЭДС Å3 .

Рис. 7.26

4. Найдем рабочую точку на пересечении графиков (I1 + I2 ) = f (Uab ) и

I3 = f (Uab ) . Для получения графика (I1 + I2 ) = f (Uab ) при ряде значений напряжения Uab суммируем токи I1 и I2 .

5. Определим токи в ветвях и напряжение Uab . Для этого через рабочую

точку А проведем вертикаль. На ее пересечении с осью абсцисс получим значение напряжения Uab , на пересечении с графиками токов– токи I1 , I2 , I3 .

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-225-

ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

7.5. Расчет нелинейных цепей методом напряжения между двумя узлами

Ток I2 получился с отрицательным знаком, что свидетельствует о не-

правильно выбранном направлении тока. Покажем верное направление тока I2 на рис. 7.24 пунктирной стрелкой.

7.6. Заменанесколькихпараллельныхветвей, пассивныхиактивных, однойилиэквивалентной

Рассматриваемая часть схемы представлена на рис. 7.27, а. ВАХ нели-

нейных элементов I1(U1 ) , I2 (U2 ) , I3 (U3 ) приведены на рис. 7.24, а, б и в. Эквивалентная схема представлена на рис. 7.27, б.

Рис. 7.27

Условие эквивалентной замены: равенство токов I и напряжений Uab в

схемах на рис. 7.27, а и б. Решение задачи заключается в отыскании ЕЭ и

графика I(UЭ).

На основании первого закона Кирхгофа ток I = I1 + I2 + I3 . Суммиро-

вать токи можно в функции от одного общего аргумента, которым является напряжение Uab .

Запишем выражения напряжения Uab для трех ветвей схемы на рис. 7.27, а и для схемы на рис. 7.27, б:

Uab = E1 −U1 ;

Uab = −U2 ;

Uab = −E3 −U3 ;

Uab = −EÝ −UÝ

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-226-

ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

7.6. Замена нескольких параллельных ветвей, пассивных и активных, одной или эквивалентной

Построим графики I1(Uab ), I2 (Uab ) , I3 (Uab ) (рис. 7.28). Все три графика являются зеркальными отображениями соответственно графиков I1(U1 ) ,

I2 (U2 ) , I3 (U3 ) .

График I2 (Uab ) проходит через начало координат, график I1(Uab ) смещен по оси абсцисс вправо на величину ЭДС Å1 , график I3 (Uab ) смещен по оси абсцисс влево на величину ЭДС Å3 .

Чтобы построить график I(Uab ) , нужно для ряда значений напряжения Uab суммировать токи I1 , I2 и I3 с учетом знаков.

Рис. 7.28

Напряжение Uab = Eэ при токе I = 0 , т. е. в точке пересечения гра-

фиком I(Uab ) оси абсцисс. Для получения ВАХ, эквивалентного НЭ I(Uэ), нужно график I(Uab ) переместить до пересечения с началом координат и

зеркально отобразить.

Можно путем подбора параллельно соединенных ветвей получить эквивалентный НЭ с вольт-амперной характеристикой, имеющей требуемый для решения какой-либо задачи вид.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-227-

ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

7.6. Замена нескольких параллельных ветвей, пассивных и активных, одной или эквивалентной

Рис.7.29

Рис.7.30

Рассмотренный прием позволяет упростить решение задачи.

Схема замещения нелинейной цепи, представленной на рис. 7.29, является сложной для решения. Если две пары параллельных ветвей заменить им эквивалентными, схема становится одноконтурной (рис. 7.30). Расчет такой цепи гораздо проще. После определения тока в схеме рис. 7.30 нужно вернуться к схеме рис. 7.29 для определения остальных токов.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-228-