ГЛАВА 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

9.6.Расчет нелинейных цепей методом кусочно-линейной аппроксимации

9.6.2.Расчет катушки с ферромагнитным сердечником

Метод кусочно-линейной аппроксимации можно применять в случае, если материал сердечника имеет почти прямоугольную кривую намагничивания. Такой формой кривой намагничивания обладают некоторые высококачественные магнитомягкие материалы.

Пусть катушка с ферромагнитным сердечником подключена к источнику напряжения, которое меняется по закону u =Um sin ωt . Задана зависимость В(Н).

Нужно определить законы изменения потокосцепления ψ, напряжений uR и uL .

Выберем самый простой вид кусочно-линейной аппроксимации кривой намагничивания (рис. 9.15). Магнитная характеристика аналогична кривой намагничивания, так как получается путем умножения В и Н на постоянные величины (рис. 9.16).

				Рис. 9.16
Рис. 9.15

Уравнение электрического состояния катушки с ферромагнитным сердечником в самом общем виде можно записать следующим образом:

Ri + ddtψ =Um sin ωt ,

где Ri – напряжение на резистивном элементе uR ,

dψ – напряжение на индуктивном элементе uL . dt

Решение будет более интересным, если принять, что в начальный момент времени (t = 0) сердечник был намагничен до насыщения, причем потокосцепление ψ = −ψí . Этому состоянию соответствует точка 1 на магнитной

характеристике (см. рис. 9.16).

С увеличением напряжения сердечник начинает перемагничиваться. При изменении текущего угла ωt от 0 до ωt1 (рис. 9.17), когда пото-

косцепление ψ станет равным ψí , рабочая точка на магнитной характеристике перемещается в интервале 1–2. Этому интервалу соответствует значе-

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-256-

ГЛАВА 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

9.6. Расчет нелинейных цепей методом кусочно-линейной аппроксимации

ние тока i = 0. Напряжение uR = 0. Уравнение электрического состояния примет вид

uL = ddtψ =Um sin ωt .

Отсюда получаем закон изменения потокосцепления:

ψ = −Uωm cosωt + A.

Вычислим постоянную интегрирования А. Так как при t = 0 потокосцепление ψ = −ψí , запишем:

−ψí = −Um cos0° + A.

ω

Тогда −ψí = −Uωm + A, потому что cos0º = 1.

Отсюда A = Uωm −ψí .

Закон изменения потокосцепления в более полном виде:

ψ = −Uωm cosωt + Uωm −ψí = Uωm (1−cosωt) −ψí .

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-257-

ГЛАВА 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

9.6. Расчет нелинейных цепей методом кусочно-линейной аппроксимации

–ψн

Рис. 9.17

Выясним, до какого значения текущего угла ωt1

будет происходить пе-

ремагничивание сердечника.

При ωt = ωt1 потокосцепление ψ = ψí .

Тогда ψ

= −Um cosωt + Um −ψ

; 2ψ

= Um (1−cosωt

) .

í

ω

1

ω

í

í

ω

1

Отсюда cosωt =1

− 2ψí ω

;

ωt

= arccos 1−

2ψí ω .

1

Um

1

Um

Графики u, uR , uL , ψ представлены на рис. 9.17.

Если сердечник полностью перемагнитился при ωt1 < π,

то на интер-

вале значений текущего угла от ωt1

до

π потокосцепление ψ = ψí

= const .



Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-258-

ГЛАВА 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

9.6. Расчет нелинейных цепей методом кусочно-линейной аппроксимации

Тогда uL = ddtψ = 0, uR = Ri =Um sin ωt .

Рабочая точка на магнитной характеристике находится на интервале 2–3. При отрицательной полуволне входного напряжения сердечник вновь перемагничивается, потокосцепление меняется от ψí до −ψí . После пере-

магничивания до ωt = 2π потокосцепление ψ = −ψí = const (см. рис. 9.17).

Расчеты аналогичны приведенным для положительной полуволны входного напряжения. Далее процессы повторяются.

9.7. Явлениеферрорезонанса

Явление феррорезонанса возникает в цепях с нелинейными индуктивными катушками и конденсаторами, когда они компенсируют действие друг друга. Цепь имеет чисто активный характер.

Для достижения резонанса в линейных цепях нужно изменить параметры или частоту. Феррорезонанс возникает за счет изменения индуктивности при изменении величины тока и напряжения.

При анализе феррорезонансных явлений делаем допущения:

1.Считаем индуктивную катушку условно-нелинейным элементом, заменяя кривую тока ее первой гармоникой, полученной при разложении в ряд Фурье.

2.Пренебрегаем потерями на гистерезис, т. е. при анализе используем основную кривую намагничивания.

9.7.1. Феррорезонанс напряжений

Феррорезонансное напряжение наблюдается в цепи с последовательным соединением нелинейной индуктивной катушки и конденсатора.

1. Пренебрегаем активным сопротивлением (R = 0).

Упрощенная схема замещения анализируемой цепи представлена на рис. 9.18.

Векторная диаграмма изображена на рис. 9.19.

Рис. 9.18		Рис. 9.19

Входное напряжение U =UL +UC . Так как векторы напряжений UL и

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-259-

ГЛАВА 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

9.7. Явление феррорезонанса

UC противоположны, можно записать: U = UL −UC .

Результирующая вольт-амперная характеристика изображена нарис. 9.20.

ϕ > 0 ϕ < 0

U = UL −UC=f (I )

UL −UC =f (I )

Рис.9.20

Если вольт-амперные характеристики индуктивной катушки и конденсатора пересекаются, в цепи наблюдается феррорезонанс напряжений. Точка А соответствует режиму феррорезонанса. В этой точке UL =UC , угол ϕ = 0 .

На интервале от 0 до т. А напряжение UL >UC , угол ϕ > 0 , цепь имеет

индуктивный характер.

Правее точки А напряжение UL <UC , угол ϕ < 0 , цепь имеет емкост-

ный характер. Говорят, что при резонансе происходит «опрокидывание» фазы.

2. Учитываем активное сопротивление цепи.

Схема замещения представлена на рис. 9.21, соответствующая ей векторная диаграмма – на рис. 9.22.

				Рис. 9.22
	Рис. 9.21
Как видно		из векторной диаграммы, входное напряжение

U = UR2 +(UÑ −UL )2 . Эта формула позволяет построить результирующую

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-260-

ГЛАВА 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

9.7. Явление феррорезонанса

вольт-амперную характеристику с учетом активного сопротивления цепи

(рис. 9.23).

UL −UC (I )

Рис. 9.23

При феррорезонансе напряжений (т. А) напряжение UL =UC , входное напряжение U =UR , т. е. цепь имеет чисто активный характер. Первые гармоники тока и напряжения совпадают по фазе.

Рис. 9.24

На участке 0а UL >UC , цепь имеет активно-индуктивный характер, на участке ab UC >UL , поэтому цепь имеет активно-емкостный характер.

Пусть цепь с последовательным соединением нелинейной индуктивной катушки и конденсатора подключена к источнику напряжения, действующее

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-261-