ГЛАВА 6 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.1.Основныепонятия. Законыкоммутации

Вповседневной жизни мы постоянно наблюдаем явления, которые показывают, что не во всех электрических цепях возможно мгновенное изменение режима работы. Например, телевизор или радиоприемник продолжают некоторое время работать после отключения от источника энергии.

Вшкольном курсе физики обычно демонстрируют следующий опыт.

Кисточнику энергии подключают две параллельные ветви, в одной из которых находится лампочка накаливания, в другой – лампочка накаливания и индуктивная катушка. После замыкания ключа первая лампочка загорается мгновенно, вторая – постепенно.

Эти опыты свидетельствуют о том, что в цепях с р еактивными элементами невозможно мгновенное изменение режима работы. Ранее мы изучали установившиеся режимы. Если в электрической цепи есть конденсаторы и индуктивные катушки, то при переходе от одного установившегося режима

кдругому наблюдается переходный процесс. Сам процесс изменения режима работы цепи (включение или выключение рубильника) в электротехнике называют коммутацией.

Последовательность событий такова: установившийся режим→ ко м- мутация → переходный процесс → новый установившийся режим.

Переходные процессы подчиняются двум законам коммутации. Первый закон коммутации: ток в ветви с индуктивной катушкой не

может измениться скачком.

Принято считать, что коммутация происходит мгновенно во время t = 0. Поэтому при рассмотрении переходных процессов различают два нулевых момента времени: t = 0 −, когда коммутация еще не произошла, и t = 0 +после коммутации.

Тогда первый закон коммутации можно сформулировать следующим образом: ток в индуктивной катушке до коммутации равен току в момент, наступивший сразу после коммутации, т. е. iL (0−) = iL (0+) .

Второй закон коммутации: напряжение на конденсаторе не может измениться скачком либо uÑ (0−) = uÑ (0+) .

Можно дать энергетическое обоснование законов коммутации. Энергию магнитного поля индуктивной катушки определяют по формуле

WM = Li2L2 . Мощность ÐÌ = dWdtÌ .

Если ток iL изменится скачком, то и WM изменится скачком. Тогда

мощность магнитного поля катушки будет равна бесконечности, что невозможно, так как не существуют реальные источники энергии с бесконечно большой мощностью.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-153-

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.1. Основные понятия. Законы коммутации

Энергия электрического поля конденсатора WÝ = Cu2Ñ2 , мощность

ÐÝ = dWdtÝ . Если напряжение uÑ изменится скачком, то WÝ изменится скач-

ком, ÐÝ = ∞, что невозможно.

Можно провести доказательства, исходя из противного, и на основании

формул uL = L didtL , iÑ = C dudtÑ .

Изучение переходных процессов очень важно, так как они положены в основу принципа действия некоторых устройств и аппаратов. Быстродействие современных ЭВМ таково, что в них практически нет установившихся режимов.

Кроме того, во время переходного процесса могут возникать токи и напряжения большие, чем при установившемся режиме. Электрическая цепь, пригодная для номинального режима работы, может выйти из строя при подключении к источнику энергии.

6.2.Классическийметодрасчета переходныхпроцессов

6.2.1. Суть метода

Составим систему уравнений электрического состояния в дифференциальной форме для схемы замещения, приведенной на рис. 6.1.

Рис. 6.1

Сначала выявим узлы, ветви, направим токи.

Система уравнений по законам Кирхгофа для мгновенных значений может быть записана следующим образом:

		i	−i		−i = 0;
		1	di	2	3
		L		+ Ri2 = u;
			1
			dt	1
					∫i3dt = 0.
	Ri2		−
				C

Как известно из математики, решение полученной системы линейных

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-154-

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.2. Классический метод расчета переходных процессов

дифференциальных неоднородных уравнений есть сумма двух слагаемых: частного решения неоднородных уравнений и общего решения однородных уравнений.

В качестве частного решения берут принужденный режим, вызывае-

мый внешними источниками энергии. Составляющие токов и напряжений, найденные в результате частного решения неоднородных уравнений, называют принужденными: iï ð , uï ð .

Общее решение однородного уравнения характеризует процессы, происходящие в цепи при отсутствии внешних источников энергии. В учебниках и в лекциях можно встретить утверждение, что эти процессы происходят за счет энергии, запасенной в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора. Но это неверно, так как переходные процессы происходят и при отсутствии этих запасов энергии, например при подключении незаряженного конденсатора к источнику энергии.

Эти процессы происходят за счет изменения энергии магнитного поля катушки и электрического поля конденсатора.

Составляющие токов и напряжений, найденные в результате общего решения однородных уравнений, называют свободными: iñâ , uñâ . Свободные

составляющие стремятся к нулю.

Классический метод расчета переходных процессов заключается в отыскании закона изменения любого тока и напряжения как суммы принужденной и свободной составляющих:

i = iï ð +iñâ ; u = uï ð + uñâ .

Когда свободные составляющие станут равны нулю, переходный процесс закончится. Отсюда следует, что принужденный режим – это новый установившийся режим после переходного процесса.

Далее рассмотрим классический метод расчета переходных процессов на ряде конкретных примеров.

6.2.2. Подключение реального конденсатора к источнику постоянного напряжения

Схема замещения рассматриваемой цепи приведена на рис. 6.2.

Составим систему уравнений электрического состояния. Так как схема одноконтурная, то можно написать только одно урав-

Рис. 6.2	нение по второму закону Кирхгофа:
	Ri + uÑ =U.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-155-

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.2.Классический метод расчета переходных процессов

Вэтом уравнении во время переходного процесса происходит изменение двух величин: тока i и напряжения на емкостном элементе uÑ . Напряже-

ние uÑ подчиняется второму закону коммутации, поэтому рационально выразить ток по закону Ома i = iÑ = C dudtÑ .

2Тогда уравнение примет вид

RC dudtÑ + uÑ =U.

Решим это уравнение как сумму двух слагаемых:

uÑ = uÑ ï ð + uÑ ñâ .

Найдем uÑ ï ð .

Теоретически переходной процесс длится бесконечно долго, поэтому принужденный режим рассмотрим как новый установившийся режим при t = ∞. Конденсатор постоянный ток не пропускает (iï ð = 0 ), Riï ð = 0. Отсюда

uÑ ï ð =U.

Вычислим uÑ ñâ . Из математики известно, что свободные составляющие меняются по экспоненциальному закону:

uÑ ñâ = Àåpt .

1. Определим показатель степени р, который является корнем характеристического уравнения. Запишем уравнение электрического состояния для свободной составляющей:

RC dudtÑ ñâ + uÑ ñâ = 0 .

Производной экспоненты является сама экспонента. Так как функция сложная, дифференцируем еще и показатель степени.

	В итоге производная	duÑ ñâ	= ðÀåpt . После подстановки в уравнение
		dt

электрического состояния получаем:

RCpAept + Aept = 0 .

Сократим на Aept :

RCp +1 = 0.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-156-

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.2. Классический метод расчета переходных процессов

Сравнив уравнение электрического состояния с характеристическим, делаем вывод: для получения характеристического уравнения в уравнении электрического состояния правую часть нужно приравнять к нулю, переменную величину заменить единицей, ее производную – р, вторую производную – р2 и т. д.

Решение p = − RC1 .

Величину

характеристического уравнения позволяет определить

1p = RC обозначают τ и называют постоянной времени.

Показатель p = −1τ . Так как [R]= Ом, [C]= Ô = Îñì , то [τ]= ñ.

2. Определим постоянную интегрирования А.

Постоянные интегрирования определяют из начальных условий с использованием законов коммутации.

Уравнение, по которому проводим решение, справедливо для любого момента времени, следовательно, и для начального:

uÑ (0+) = uÑ ï ð (0+) + uÑ ñâ (0+).

По второму закону коммутации uÑ (0+) = uÑ (0−) . До коммутации схема не была подключена к источнику энергии, поэтому uÑ (0−) = 0 .

Принужденная составляющая в данном примере является постоянной величиной, значит, uÑ ï ð (0+) =U.

Свободная составляющая uÑ ñâ = Àåðt при t = 0+ равна А. После подстановки получим: 0 =U + A. Отсюда A = −U .

1

t .

Тогда закон изменения напряжения u =U −Ue−

RC

Ñ

Закон изменения тока можно получить как из уравнения по второму

закону Кирхгофа, так и из закона Ома.

Из уравнения по второму закону Кирхгофа

1

t

U −u

U −U +Ue−

U

−

1

t

i =

RC

=

e

Ñ

=

RC

R

R

R

либо i = C

du

U

−

1

t

U

−

1

t

.

Ñ = C

e

RC

=

e

RC

RC

R

dt

Проиллюстрируем полученные уравнения графиками.

График напряжения uÑ (рис. 6.3) получаем суммированием графиков uÑ ï ð и uÑ ñâ . Составляющая uÑ ï ð =U = const . Свободная составляющая изме-

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-157-

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.2. Классический метод расчета переходных процессов

няется по закону экспоненты и стремится к нулю. В начальный момент uÑ ñâ (0+) = −U .

	C	uC	пр
	U
		uC
			t
		uC св
	–U		Рис. 6.3

График подтверждает, что напряжение на конденсаторе меняется плав-
но, что принужденный режим – это новый установившийся режим после пе-
реходного процесса.
iC
U
R
			t
Рис. 6.4
График изменения тока представлен на рис. 6.4.
При t = 0– тока не было, при t = 0+ ток	i	= U	, далее он стремится к
	Ñ	R

нулю по закону экспоненты.

Графики будут меняться при изменении параметров схемы R и С. Величина напряжения от них не зависит. Величина тока обратно пропорциональна сопротивлению R и не зависит от емкости С. Длительность переходного процесса прямо пропорциональна значениям R и С.

Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Практически переходный процесс заканчивается через (3–5)τ.

Постоянная времениτ – это время, в течение которого свободные составляющие уменьшаются в е раз (рис. 6.5).

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-158-

			ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
		6.2. Классический метод расчета переходных процессов
		iсв
			t1	t2	t
					Рис. 1.5
					Рис. 6.5
Время t		−t	= τ, если	it	= e ≈2,7 .
	2			1
		1		it2

Постоянной времени можно дать геометрическую интерпретацию:τ – это величина подкасательной к любой точке экспоненты (рис. 6.6), поэтому можно определить постоянную времени по известному графику изменения свободной составляющей и неизвестных параметрах схемы.

iсв
τ	t
Рис. 6.6

Длительность переходного процесса, зависящая от параметров, может быть различной.

Если в схеме замещения R = 100 Ом, С = 100 мкФ, то при замыкании ключа конденсатор заряжается с постоянной времени τçàð = 0,01 с. При раз-

мыкании ключа конденсатор будет разряжаться с τðàç ≈ 28 ÷àñî â, т. е. конден-

сатор будет сохранять напряжение на своих обкладках несколько суток и представлять собой опасность. Поэтому после окончания работы с конденсатором нужно использовать разрядное устройство.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-159-