ГЛАВА 5 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

5.1.Причинывозникновения

1.Несовершенство промышленных генераторов электрической энер-

гии.

2. Существование генераторов специальных, отличных от синусоиды, форм сигналов.

3. Наличие в цепях нелинейных элементов, искажающих форму синусоидальных кривых электрических величин.

5.2. Способыизображениянесинусоидальных периодическихфункций

Графический способ (рис. 5.1). f (tω)

ωt

Рис. 5.1

2. Аналитический способ. Если периодическая функция удовлетворяет условию Дирихле (на всяком конечном интервале имеет конечное число разрывов первого рода и конечное число экстремумов), то ее можно разложить в ряд Фурье:

f (ωt) = A0 + A1msin (ωt + ψ1 )+ A2msin (2ωt + ψ2 )+ + Akmsin (k ωt + ψk )+ ,

где А0 – постоянная составляющая ряда; – гармоническая составляющая, меняющаяся с частотой k ω.

Ряд Фурье можно записать следующим образом:

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-141-

ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

5.2. Способы изображения несинусоидальных периодических функций

∞

f( ωt) = A0 + ∑Akm sin(kωt + ψk ) .

k =1

Совокупность гармонических составляющих несинусоидальной перио-

дической функции называют ее дискретным частотным спектром.

Первую гармонику ряда A1msin (ωt + ψ1 ) называют основной, остальные –

высшими.

В зависимости от допустимой точности расчетов частью высших гармоник пренебрегают. При разложении в ряд Фурье часть слагаемых может обращаться в нуль.

Так как гармоники изменяются с разной частотой, на графиках масштаб по оси абсцисс для каждого слагаемого ряда разный (рис. 5.2).

f1(1ωt)

ωt

f3 (3ωt)

Рис. 5.2

Время, равное одному периоду для первой гармоники, соответствует трем периодам для третьей гармоники, пяти – для пятой и т. д.

Все электрические машины обычно выполняют с симметричными магнитными системами. При разложении в ряд Фурье функций, симметричных относительно оси абсцисс, постоянная составляющая и все четные гармоники обращаются в нуль.

5.3. Действующиезначениянесинусоидальных периодическихтоковинапряжений

Понятие действующего значения, как и в цепях синусоидального тока, основано на сравнении по тепловому действию с постоянным током.

Действующее значение тока

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-142-

ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

5.3. Действующие значения несинусоидальных периодических токов и напряжений

			1	T
	I =			∫i2 dt .
		T
				0

Несинусоидальную кривую тока разлагают в ряд Фурье:

i = I0 + I1msin (ωt +ψi1 )+ I2msin (2ωt +ψi2 )+ I3msin(3ωt +ψi3 )+

После подстановки и соответствующих преобразований получим:

I = I02 + I12 + I22 + I32 +

Действующее значение несинусоидального тока равно корню квадратному из суммы квадратов действующих значений токов всех слагаемых ряда.

Действующие значения напряжения и ЭДС определяют аналогично:

U = U02 +U12 +U22 +U32 +

E = E02 + E12 + E22 + E32 +

Реальные источники энергии не могут вырабатывать ЭДС и токи, меняющиеся строго по синусоидальному закону. На практике говорят о практических синусоидах токов и напряжений.

									Практической синусоидой назы-
									вают такую кривую, у которой разность
							∆ ≤ 5 % Α макс		между соответствующими точками кри-
									вой и ее первой гармоники не превыша-
		Амакс							ет 5 % от максимального значения
									(рис. 5.3).
									При расчете цепей несинусои-
									дального тока, если позволяет требуе-
									мая точность, нередко несинусоидаль-
					π		ωt
	Рис. 5.3								ные кривые заменяют эквивалентными

им синусоидами.

Действующие значения несинусоидальной кривой и эквивалентной ей синусоиды одинаковы.

5.4. Коэффициенты, характеризующиепериодические несинусоидальныефункции

1. Коэффициент амплитуды определяют как отношение максимального значения к действующему:

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-143-

ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

5.4. Коэффициенты, характеризующие периодические несинусоидальные функции

ka = ÀìÀàêñ .

Для синусоиды ka = 2 =1,41.

2. Коэффициент искажения – это отношение действующего значения основной гармоники к действующему значению всей кривой:

ku = AA1 .

Для синусоиды ku =1.

3. Коэффициент формы – это отношение действующего к среднему по модулю значению:

kф = ААср .

Для синусоиды kô = 2π2 =1,11 .

Среднее по модулю значение зависит от углов ψk и определяется по формуле

Àñð = 21π 2∫0π f (ωt) d (ωt).

Если функция не содержит постоянной составляющей и четных гармоник и не изменяет знака в течение каждого полупериода, то для нахождения Аср можно воспользоваться следующим выражением:

	2				1			1
Àñð =			À1mcosψ1	+	3	A3mcosψ3	+	5	A5mcosψ5	+ .
	π

5.5. Мощностивцепяхнесинусоидальноготока

Активная мощность – это среднее значение мощности за период:

P = 1 T∫u i dt .

T 0

Пусть u =U0 +U1msin (ωt + ψ1 )+U2msin (2ωt + ψ2 )+ ;

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-144-

ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

5.5.Мощности в цепях несинусоидального тока

i= I0 + I1msin (ωt + ω1 −ϕ1 )+ I2msin (2ωt + ψ2 −ϕ2 )+

После подстановки и соответствующих преобразований получим:

P =U0 I0 +U1I1cosϕ1 +U2 I2cosϕ2 +

Очевидно, что активную мощность получают суммированием активных мощностей всех подсхем:

P = P0 + P1 + P2 + Pk +

Реактивную мощность вычисляют суммированием реактивных мощностей подсхем с синусоидальными токами:

Q = Q1 +Q2 + Qk +

Полную мощность определяют как произведение действующих значений напряжения и тока в схеме: S = UI.

Эти три мощности, в отличие от цепей синусоидального тока, обычно не образуют прямоугольный треугольник:

S 2 ≥ P2 +Q2 .

Величину T = S 2 − P2 −Q2 называют мощностью искажения.

Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности и иногда приравнивают косинусу некоторого условного угла θ:

		χ = P = cosθ.
		S
		Углу θ можно дать графическую интерпретацию,
UЭ		пользуясь понятиями эквивалентных синусоид тока и на-
		пряжения, действующие значения которых равны дейст-
	I Э	вующим значениям несинусоидальных величин (рис. 5.4).
θ		Угол сдвига фаз между эквивалентными синусоидами то-
		ка и напряжения будет равен условному углу θ в случае,
		если мощность, вычисляемая по формуле P =UýIýcosθ,
Рис. 5.4		будет равна мощности, потребляемой цепью несинусои-
		дального тока.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-145-

ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

5.6. Расчетоднофазныхцепейпринесинусоидальных периодическихвоздействиях

1. Источник несинусоидальной ЭДС представим как ряд последовательно соединенных источников ЭДС (рис. 5.5, а), источник несинусоидального тока – как ряд параллельно соединенных источников тока с разной частотой (рис. 5.5, б).

	E 0
e(t)	e 1	i(t)	J 0	i 1	i 2
	e 2
	а			б

Рис. 5.5

2. При расчете применяют метод наложения. Рационально разбить схему на столько подсхем, сколько частот получается при разложении в ряд Фурье несинусоидальных ЭДС и токов. Подсхемы отличаются друг от друга не только источниками энергии, но и величинами реактивных сопротивлений, которые зависят от частоты:

XkL = kLω и XkC = kC1ω

Индуктивная катушка сглаживает кривые тока. Конденсатор увеличивает пульсацию кривой.

3.Определим требуемые по условию величины в подсхемах.

4.Найдем нужные величины в исходной схеме.

Мгновенные значения токов и напряжений в схеме получают суммированием соответствующих мгновенных значений в подсхемах. Действующие значения токов, напряжений и ЭДС определяют через соответствующие действующие значения в подсхемах по формулам:

I = I02 + I12 + I22 + Ik2 + ;

U= U02 +U12 +U22 + Uk2 + ;

Е= Е02 + Е12 + Е22 + + Еk2 + .

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-146-

ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

5.6. Расчет однофазных цепей при несинусоидальных периодических воздействиях

Активная мощность

P = P0 + P1 + P2 + + Pk +

Приборы разных электроизмерительных систем реагируют на разные значения несинусоидальных периодических электрических величин.

Приборы электромагнитной и электродинамической систем показывают действующие значения, магнитоэлектрической системы – постоянную составляющую, магнитоэлектрической с выпрямителем– среднее по модулю значение.

Пример. Найти закон изменения тока в схеме

рис. 5.6, если известны R, L, C ;

закон изменения неси-

i

R

нусоидальной ЭДС

e

L

e = E0 + E1m sin (ωt + ψ1e )+ E3msin (3ωt + ψ3e ).

C

РЕШЕНИЕ

1. Представим источник ЭДС как три последова-

тельно соединенных источника (рис. 5.7). Делим схему

Рис. 5.6

на три подсхемы с частотами 0, ω и 3ω.

2. В первой подсхеме с частотой, равной 0, и н-

дуктивный элемент

сопротивления

постоянному

току

не оказывает

(X L

= L 0 = 0), поэтому на его месте изобразим закоротку.

Сопротивление

0

1

емкостного элемента постоянному току

X C =

= ∞, поэтому в схеме в

C 0

0

этом месте будет разрыв (рис. 5.8).

E

i

R

0

e 1

L

E 0

R

e

C

3

Рис. 5.8

Рис. 5.7

Ток I0 = 0.

ка

3. Во второй подсхеме (рис. 5.9) комплекс максимального значения то-

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-147-

ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

5.6. Расчет однофазных цепей при несинусоидальных периодических воздействиях

I1m =	E	1 =		E e jψ1e	= I1me	j(ψ −ϕ )		= I1me	jψ	.
	1m			Z1e jϕ1		1e	1		1i
				1m

R + j Lω− j Cω

Закон изменения тока i1 = I1m sin (ωt + ψ1i ).

4. В третьей подсхеме (рис. 5.10) комплекс максимального значения тока

I3m =		E	3m				=	E3m eψ3e	= I
	R + j3Lω− j			1				Z3e jϕ3
				3Cω
		i	1				R
e 1							L
							C		e
									3
	Рис. 5.9

Закон изменения тока i3 = I3msin (3ωt + ψ3i

3me j(ψ3e −ϕ3 ) = I3m e jψ3i .

i

3

R

L

C

Рис. 5.10

).

5.Мгновенное значение тока в схеме представляем в виде ряда Фурье:

i= I1msin (ωt + ψ1i )+ I3msin (3ωt + ψ3i ).

5.7. Высшиегармоникивтрехфазныхцепях

Трехфазную систему несинусоидальных ЭДС раскладывают в ряд Фурье.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-148-

ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

5.7. Высшие гармоники в трехфазных цепях

Гармоники с номерами k = 3n +1, где n = 0, 1, 2, (1, 4, 7, 10, …) обра-

зуют прямую последовательность чередования фаз, т. е. обычную симметричную систему ЭДС.

Гармоники с номерами k = 3n −1, где n =1, 2, 3, (2, 5, 8, 11, …) обра-

зуют обратную последовательность чередования фаз, аналогичную прямой, в которой фазы В и С поменялись местами.

Гармоники с номерами k = 3n, где n =1, 2, 3, (3, 6, 9, 12, …) образу-

ют нулевую последовательность чередования фаз, представляющую собой три одинаковых вектора.

При анализе трехфазных цепей несинусоидального тока используют метод наложения.

Расчет подсхем с прямой и обратной последовательностями чередования фаз принципиально не отличается от расчета цепей с симметричной системой ЭДС.

В подсхемах с нулевой последовательностью чередования фаз наблюдаются следующие особенности:

1.Линейные напряжения не содержат гармоник, кратных трем.

2.В трехпроводной цепи линейные токи не содержат гармоник, кратных трем.

3.В трехпроводной цепи фазные напряжения приемника не содержат гармоник, кратных трем.

4.При соединении фаз приемника трехпроводной звездой при симметричной нагрузке возникает напряжение смещения нейтрали за счет гармоник, кратных трем.

5.При соединении звездой четырехпроводной ток в нейтральном проводе образует гармоники, кратные трем.

6.При соединении фаз обмоток генератора треугольником в контуре возникает уравнительный ток за счет гармоник, кратных трем.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 5.1. Найти показания приборов электромагнитной системы

всхеме рис. 5.11, если ЭДС фазы А eA = E1msin ωt + E3msin3ωt + E5msin5ωt +

+E7msin7ωt + E9msin9ωt .

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-149-

ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
	5.7. Высшие гармоники в трехфазных цепях
	A 1
V	e А
	Нагрузка
e С	e В
	A 2

Рис. 5.11

Решение

1. Вольтметр подключен к фазе генератора. Но при соединении треугольником фазное напряжение равно линейному, которое не содержит гармоник, кратных трем. Поэтому

1

U

= E2

+ E2

+ E2

=

E2

+ E2

+ E2 .

V

1

5

7

2

1m

5m

7m

2. Цепь является трехпроводной, поэтому линейные токи не содержат гармоник, кратных трем.

Первый амперметр показывает действующее значение тока

IÀ1 = I12 + I52 + I72 .

3. Второй амперметр показывает ток в контуре, образованном фазами генератора. Уравнительный ток образует гармоники, кратные трем:

I	=	I 2 + I 2		.
	À2	3	9
Пример 5.2. Найти показания прибо-				e А
ров электромагнитной системы в схеме				e С
рис. 5.12, если ЭДС	фазы	А

eA = E1msinωt + E3m 3ωt + E5msin5ωt +

+E7msin7ωt + E9msin9ωt .		e В
Решение
1. Фазы обмотки генератора образу-		V	1
ют «открытый» треугольник. Напряжение
вольтметра V1 в каждой подсхеме равно	V 2
		Рис. 5.12
 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие		-150-

ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

5.7. Высшие гармоники в трехфазных цепях

геометрической сумме напряжений на фазах. В подсхемах с прямой последовательностью чередования фаз (с частотами ω и 7ω) и с обратной последовательностью чередования фаз (с частотой 5ω) показания первого вольтметра равны нулю. В подсхемах с нулевой последовательностью чередования фаз (с частотами 3ω и 9ω) показания первого вольтметра равны утроенному значению ЭДС.

Поэтому UV1 = 3E32 + E92 .

2. Первый вольтметр разрывает цепь, поэтому уравнительного тока не будет. Показания второго вольтметра включают в себя все слагаемые ряда Фурье:

UV2 = E12 + E32 + E52 + E72 + Е92 .

Пример 5.3. Найти показания приборов электромагнитной системы в схеме рис. 5.13, если в обмотке генератора наводится ЭДС, разложенная в ряд Фурье: eô =120sinωt + 20sin3ωt +12sin5ωt В.

	A						a
V 1		e	А		V22			C
								i a
	N		V 4				n
e С						C		C
			e В						b
C	V 3		B	c	i			i
						c			b

Рис. 5.13

Решение

1. Первый вольтметр показывает напряжение на фазе генератора, которое содержит все три гармоники:

2.

1

1

= 86 В.

UV =

U12m +U32m +U52m =

1202 + 202 +122

2

2

1

3. Второй

вольтметр показывает

напряжение на

фазе приемника.

В трехпроводной цепи оно не содержит гармоник, кратных трем, поэтому

	1					=	1
UV =					U12m +U52m					1202 +122 = 85 В.
	2
2			2
4. Третий вольтметр показывает линейное напряжение.
 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие													-151-

ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

5.7. Высшие гармоники в трехфазных цепях

Линейные напряжения не содержат гармоник, кратных трем. Поэтому при расчете учитывают две подсхемы: с первой и пятой гармониками. Первая гармоника образует прямую последовательность чередования фаз, пятая

– обратную. В обоих случаях линейное напряжение в 3 раз больше фазно-

го: U л1 =		Uф1 и U л5 =								Uф5. Таким образом,
	3							3
				3									3
		UV =					U12m +U52m =									1202 +122		=148 В.
				2									2
3

Четвертый вольтметр показывает напряжение смещения нейтрали, которое возникает за счет гармоник, кратных трем:

UV4 = U32m = 202 =14,1 В.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-152-