ГЛАВА 2 ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

ПОСТОЯННОГО ТОКА

Всхемах замещения цепей постоянного тока только один вид приемников – резистивный элемент. Все электрические величины обозначают заглавными печатными буквами: I, U, E, кроме тока источника тока, который обозначают буквой J. Линейные электрические цепи состоят из линейных элементов, параметры которых не зависят от тока и напряжения.

2.1.Основныезаконы

2.1.1.Закон Ома

Внастоящее время под законом Ома понимают все соотношения, связывающие между собой напряжение и ток. По закону Ома напряжение на резистивном элементе пропорционально току в нем. Коэффициент про-

порциональности назван сопротивлением: U R = RI . Закон		Ома можно
сформулировать и относительно тока:
	I = GU ,
			1
где G	– проводимость, величина, обратная сопротивлению G =			.
			R

Проводимость измеряют в сименсах (См).

Геометрической интерпретацией закона Ома является вольтамперная характеристика (ВАХ). Для линейного элемента она имеет вид прямой линии (рис. 2.1).

	История создания закона Ома показывает	U
	роль личности и интернационализм в науке.
	В 1802 г. профессор физики петербургской
	Медико-хирургической академии, академик В. В.
	Петров впервые установил зависимость тока в про-
	воднике от площади поперечного сечения проводни-
	ка. Он первым ввел термин «сопротивление».
	В. В. Петрова можно считать первым русским		I
	электротехником, так как им впервые была показана	Рис. 2.1
	и доказана возможность практического применения

электричества для целей освещения. Свои разнообразные опыты В. В. Петров подробно описал в книге «Известие о гальвани-вольтовских опытах», которая вышла в С.-Петербурге в 1803 г. Это была первая книга на русском язы-

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-15-

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

2.1. Основные законы

ке, посвященная исследованиям явлений электрического тока.

В1821 г. англичанин Х. Дэви установил, что проводимость проводника зависит от материала и температуры.

В1820–1825 гг. немецкий физик Георг Сименс Ом более глубоко исследовал эти явления и сформулировал свой закон.

2.1.2. Первый закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа сформулирован для узла. Узел – это точка в схеме, где сходятся не менее трех ветвей. При использовании ЭВМ для ввода исходных данных узлами выделяют каждый элемент схемы замещения. Эти узлы называют ложными или устранимыми. В дальнейшем речь будет идти о неустранимых узлах.

Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

n

∑I j = 0.

j=1

Правило знаков: токи, одинаково направленные относительно узла, записывают с одинаковыми знаками.

2.1.3. Второй закон Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа относится к контуру. Алгебраическая сумма напряжений на приемниках в любом контуре равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом же контуре:

m

∑Uk

k=1

p

= ∑Ei .

i=1

С учетом закона Ома

m

∑Rk Ik

k=1

p

= ∑Ei .

i=1

Правило знаков: со знаком плюс записывают напряжения и ЭДС, направления которых совпадают с выбранным направлением обхода контура.

В 1845 г. Густав Роберт Кирхгоф, будучи студентом, написал работу, в примечании к которой были сформулированы два закона, являющиеся фундаментальными законами теоретической электротехники. Они были выведены в результате опытов.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-16-

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

2.1.Основные законы

2.1.4.Закон Ома для активной ветви

Активная ветвь, названная так из-за наличия источника ЭДС, изобра-

жена на рис. 2.2.
Между выходными			зажимами					E
ветви возникает напряжение Uab . Ин-				I	R		c _
дексация	показывает	направление ко a						+ b
второму индексу. Напряжение – это
разность	потенциалов	между двумя					Ua
точками, т. е. Uab =Va −Vb .
			точки а,				b
Определим потенциал						Рис. 2.2
исходя из	потенциала	Vb . Рассчитаем

изменение потенциала промежуточной точки с (см. рис. 2.2) по сравнению с Vb . Между точками b и c расположен источник ЭДС, поэтому потенциал

точки с отличается от потенциала точки b на величину Е. Стрелка источника показывает направление увеличения потенциала. Следовательно, потенциал точки с ниже потенциала точки b. Между точками с и а находится резистор сопротивлением R. Потенциал Va отличается от потенциала Vc величиной

напряжения на резисторе RI . Ток направлен от большего потенциала к меньшему, поэтому потенциал Va выше потенциала Vc .

Таким образом,

Va =Vb − E + RI,

Va −Vb = −E + RI.

Но Va −Vb =Uab , т. е. Uab = −E + RI .

Можно определить напряжение между двумя любыми точками, рассчитав изменение потенциалов между ними. При этом нужно вести расчет в сторону увеличения потенциала, т. е. от второго индекса напряжения к первому.

Решим уравнение относительно тока:

I = UabR+ E = G(Uab + E),

где G = R1 – проводимость ветви.

Это выражение называют законом Ома для активной ветви. Последнее выражение можно составить, исходя из следующих рассуж-

дений. Для появления тока в ветви (см. рис. 2.2) есть два условия: наличие разности потенциалов между концами ветви и действие источника ЭДС. Если направления ЭДС и напряжения Uаb совпадают с направлением тока, они

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-17-

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

2.1. Основные законы

способствуют его появлению и должны быть записаны в уравнение со знаком плюс. В противном случае – со знаком минус. Рассуждая таким образом, получим для тока ветви прежнее выражение.

2.1.5. Баланс мощностей

Баланс мощностей – это интерпретация			закона сохранения энергии
в электротехнике.
Мощность генераторов энергии в электрической цепи равна мощности
потребителей: Pг = Рн, причем
n	m
Рг = ∑Ei Ii + ∑U j		J j ,
i=1	j=1
n			m
где ∑Ei Ii – мощность источников ЭДС;			∑U j J j	– мощность источни-
i=1			j=1

ков тока; J j – токи источников тока, U j – напряжения на зажимах источников

тока.

Эти суммы алгебраические. Источник может как вырабатывать, так и потреблять (заряд аккумулятора) электрическую энергию.

Если направления ЭДС и тока через источник ЭДС совпадают, мощность источника записывают в уравнении баланса мощностей с положительным знаком. Он работает в режиме генератора.

При противоположных направлениях ЭДС и тока мощность в уравнении баланса учитывают с отрицательным знаком (режим потребителя).

Определение знака мощности источника тока поясняет рис. 2.3, на котором показана разметка зажимов источника тока, вырабатывающего (а) или потребляющего (б) электрическую энергию.

	+			_
		Iвн		R вн
	J	U	J
				U
		Rвн		I вн
	_			+
	а
				б

Рис. 2.3

Ток Iвн и напряжение U направлены в сторону уменьшения потенциала, что и позволяет разметить зажимы источника.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-18-

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

2.1. Основные законы

Мощность потребителей (нагрузок)

l

Рн = ∑Uk Ik

k =1

l

= ∑Rk Ik2 .

k =1

Эта сумма арифметическая.

Погрешность расчета не должна превышать (1–3) %.

2.2. Взаимноепреобразованиесхемзамещения источниковэнергии

В некоторых случаях для упрощения расчетов токов рационально заменить источники тока эквивалентными источниками ЭДС или сделать обратное преобразование.

У идеального источника ЭДС (идеального источника напряжения – ИИН) напряжение на зажимах не зависит от изменения нагрузки и равно ЭДС Е. Напряжение на зажимах реального источника ЭДС (РИН) меньше Е на величину падения напряжения на резисторе, учитывающем внутреннее сопротивление источника (рис. 2.4), т. е.

Uab = E − RвнI .

(2.1)

Чтобы получить это уравнение, нужно рассчитать изменение потенциалов между точками b и а.

График, иллюстрирующий эту зависимость, изображен на рис. 2.5. Его называют внешней вольт-амперной характеристикой (ВАХ).

			I	a	Uab
E					ВАХ ИИН
				Uab	E
					ВАХ РИН
Rвн
					Iкз
				b
					I
			Рис. 2.4		Рис. 2.5

Ток идеального источника тока (ИИТ) не меняется при изменении нагрузки. У реального источника тока (РИТ), схема замещения которого изображена на рис. 2.6, ток приемника связан с напряжением на зажимах источника тока следующей зависимостью:

I = J −GвнUab ,

(2.2)

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-19-

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

2.2. Взаимное преобразование схем замещения источников энергии

так как I = J − Iвн , а Iвн = GвнUab .

Внешняя ВАХ реального источника тока представлена на рис. 2.7.

	+	I	Uab ВАХ РИТ
	Iвн			ВАХ ИИТ
			Uхх
J	Gвн		Uab
	_		J	I
	Рис. 2.6		Рис. 2.7

Сопоставив рис. 2.5 и рис. 2.7, видим, что внешние ВАХ реальных источников ЭДС и тока аналогичны, поэтому возможна замена источника электрической энергии одного типа другим. Чтобы замена была эквивалентной, уравнения внешних ВАХ для источников должны быть одинаковыми.

Разделим уравнение (2.1) почленно на Rвн . Тогда

Uab = E − I ,

Rвн Rвн

отсюда

I =	E	−	Uab	.	(2.3)
	R
			R
	вн		вн

Сравнивая уравнения (2.2) и (2.3), делаем вывод, что замена источников будет эквивалентной, если

E = R J ;

J =

E

;

G

=

1

;

R

=

1

.

R

R

вн

вн

вн

вн

G

вн

вн

Воспользовавшись последними соотношениями, можно заменить источник тока эквивалентным источником ЭДС или сделать обратное преобразование.

Следует учесть, что эквивалентные источники энергии должны быть одинаково направлены относительно соответствующих узловых точек (см.

рис. 2.4 и рис. 2.6).

2.3. Потенциальнаядиаграмма

Потенциальная диаграмма дает картину распределения потенциалов в контуре.

Построим потенциальную диаграмму для одного из контуров сложной

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-20-

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

2.3. Потенциальная диаграмма

схемы (рис. 2.8). Потенциал одной из точек контура принимаем равным нулю. Пусть Va = 0 . Выбираем направление обхода контура по часовой стрел-

ке.

д

R 3

I3

г

_

_

E4	+	R 4	I 4
		e	a
			I 1
E 2			R 1
		R2	I 2 б

+ в

Рис. 2.8

Между точками а и б находится резистор сопротивлением R1. Потенциал Vб точки б отличается от потенциала Va на величину напряжения на этом резисторе R1I1 . Ток направлен от большего потенциала к меньшему, значит на пути от точки а к точке б потенциал увеличивается: Vб =Va + R1I1 . Потенциал Vв отличается от потенциала Vб на величину напряжения на резисторе сопротивлением R2 . Ток направлен от точки б к точке в, т. е. потенциал точки в меньше потенциала точки б: Vв =Vб − R2 I2 .

Потенциал Vг отличается от потенциала Vв на величину ЭДС Е2 .

Стрелка источника показывает направление увеличения потенциала, т. е. потенциал Vг <Vв :

Vг =Vв − E2 .

Вычислим потенциалы остальных точек на основании аналогичных рассуждений:

Vд =Vг − R3I3 ; Vе =Vд + Е4 ; Va =Vе + R4 I4 .

Если расчет токов и потенциалов произведен верно, потенциал последней точки должен быть равен нулю, что дает возможность проверить правильность решения.

По результатам расчетов строят потенциальную диаграмму. По оси абсцисс откладывают друг за другом в соответствующем масштабе сопротивления вдоль контура, начиная с заземленной точки. По оси ординат – потенциалы. Потенциальная диаграмма для контура на рис. 2.8 приведена на

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-21-