ГЛАВА 4 ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.2. Трехфазный генератор

4.2.4. Условные положительные направления фазных и линейных напряжений и соотношения между ними

Обычно обмотки генератора соединяют звездой. Напряжения между началом и концом фазы (см. рис. 4.5) называют фазными (uА, uВ и uC ), а

напряжения между началами фаз генератора – линейными (uАВ, uВС , uCА ).

Внутренним сопротивлением фаз генератора можно пренебречь. В этом случае фазные напряжения U A , U B и UC считают численно равными ЭДС фаз.

Стрелка источника показывает направление повышения потенциала, поэтому за условные положительные направления фазных напряжений принимают направления от начала к концу фаз обмоток, а линейных напряжений– к началу фазы, являющейся вторым индексом в обозначении напряжения.

Любое линейное напряжение можно определить, рассчитав изменение потенциалов между соответствующими началами фаз генератора:

uAB = uA −uB ; uBC = uB −uC ; uCA = uC −uA .

Для комплексных значений эти уравнения имеют вид:

U AB =U A −U B ; U BC =U B −UC ; UCA =UC −U A .

Эти уравнения дают возможность построить топографическую диаграмму фазных и линейных напряжений (рис. 4.7).

	A
	U CA		U	AB
		U A
	120°	N	120°		U	B
U C	120°
C	U	BC				B

Рис. 4.7

Следует обратить внимание на противоположное направление стрелок на схеме, указывающих условное положительное направление напряжений и

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-95-

	ГЛАВА 4 ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ
	4.2. Трехфазный генератор
соответствующих им векторов на топографической диаграмме.
	Из диаграммы видно, что векторы линейных напряжений U AB , U BC ,
UCA	опережают по фазе соответственно векторы фазных напряжений U A ,

U B и UC на угол 30 .

Линейное напряжение по величине больше фазного в 3 раз, т. е. U л = 3Uф или Uф = U3л .

При соединении фаз обмоток генератора треугольником конец одной фазы соединяют с началом другой (рис. 4.8). В этом случае линейные напряжения равны фазным: U л =Uф .

		A
		e A		uA
	e C	N		uAB uCA
				e B
	C	uC	uB	B
				uBC

Рис. 4.8

Топографическую диаграмму напряжений в зависимости от способа соединения фаз приемников строят как представлено на рис. 4.9.

			+1
	A		A
	+1		UCA
UCA	UAB	C	UAB
	UBC		UBC
C	B		B
	а		б

Рис. 4.9

Если фазы приемника соединены звездой, рационально использовать топографическую диаграмму, изображенную на рис. 4.9, а, если треугольником – на рис. 4.9, б.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-96-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.3.Классификацияиспособывключения

втрехфазнуюцепьприемников

Трехфазные цепи бывают четырехпроводные и трехпроводные. Фазы генератора и фазы приемника могут быть соединены по-разному.

Приемники, включаемые в трехфазную цепь, могут быть одофазными и трехфазными. Начала и концы фаз трехфазных приемников обозначают соответственно буквами а, х; b, y; с, z.

Трехфазные приемники могут быть симметричными и несимметричными. У симметричных приемников равны между собой комплексные сопротивления фаз: Z a = Z b = Z c .

У несимметричного приемника нагрузка может быть равномерной, если сопротивления фаз равны между собой по в еличине (по модулю), или однородной, если ϕa = ϕb = ϕc .

4.4.Расчеттрехфазныхцепей

4.4.1.Соединение фаз приемника треугольником

1.Приемник несимметричный.

В схеме замещения электрической цепи, представленной на рис. 4.10, вычислить токи, если известны напряжения генератора и сопротивления фаз приемника.

		A	IA	a
		EA	Uca		Uab
			Ica	Z ca Z bc Zab	Iab
	EC	N
			c		b
			EB	Ubc	Ibc
	C		B IB

IC

Рис. 4.10

В трехфазной цепи различают токи фазные (Iab , Ibc , Ica ) и линейные (I A, IВ, IC ). Фазные токи вычисляют на основании закона Ома по формулам

	Uab			Ubc			Uca
Iab =	Z ab	;	Ibc =	Z bc	;	Ica =	Z ca	,

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-97-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.4. Расчет трехфазных цепей

где Uab ,Ubc	и Uca – комплексы напряжений на фазах приемника, а
Z ab , Z bc , Z ca	– комплексные сопротивления фаз.

При соединении фаз приемника треугольником напряжения на его фазах равны линейным напряжениям генератора (рис. 4.10), поэтому

	U AB			U BC			UCA
Iab =	Z ab	;	Ibc =	Z bc	;	Ica =	Z ca	. Сопротивлением линейных проводов при

этом пренебрегают.

Затем вычисляют линейные токи по уравнениям, составленным на основании первого закона Кирхгофа для узлов а, b, с:

I A = Iab − Ica ; IB = Ibc − Iab ; IC = Ica − Ibc .

Из этих уравнений следует, что геометрическая сумма векторов линейных токов равна нулю: I A + IB + IC = 0 .

	IC	A a
–	-Ibc	ϕca
	Ica
		UAB	–	-Ica
	UCA
			ϕ	Iab	IA
			ab
	C c ϕ	UBC		B b
	bc

Ibc

–IB -Iab

Рис. 4.11

Топографическая диаграмма и векторная диаграмма токов изображены на рис. 4.11. Вид векторной диаграммы токов зависит от характера нагрузки фаз приемника. Самой распространенной на практике является нагрузка ак-

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-98-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.4. Расчет трехфазных цепей

тивно-индуктивная. В этом случае вектор тока отстает от соответствующего вектора напряжения на угол ϕ, больший 0 , но меньший 90 .

Построение начинают с топографической диаграммы напряжений генератора (см. рис. 4.9, а, б). Далее строят топографическую диаграмму напряжений приемника. Если сопротивлением линии пренебрегаем, то потенциалы точек А и а, В и b, С и с одинаковы. Поэтому топографическая диаграмма приемника совпадает с топографической диаграммой генератора. Затем проводят векторы фазных токов под соответствующими углами к векторам фазных напряжений. Векторы линейных токов строят как геометрическую разность векторов токов тех двух фаз приемника, которые соединяют с данным линейным проводом. Удобнее вектор линейного тока получить как сумму вектора фазного тока, являющегося уменьшаемым, и вектора, противоположного вычитаемому фазному току (рис. 4.11).

Возможен другой способ построения векторной диаграммы токов, представленный на рис. 4.12.

		A a
	Ica	ϕca
			UAB
	UCA
IA	Ica	Iab	IB
			ϕab
		Ibc	Iab
C c	ϕbc		B b
		IC	UBC

Ibc

Рис. 4.12

Векторы фазных токов переносят в центр треугольника напряжений. Векторы линейных токов получают как геометрические разности соответст-

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-99-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.4. Расчет трехфазных цепей

вующих фазных токов.

2. Приемник симметричный.

У симметричного приемника комплексные сопротивления фаз равны между собой: Z ab = Z bc = Z ca , поэтому токи в фазах равны между с обой по

					2π		. Доста-
величине и сдвинуты относительно друг друга по фазе на 120					3
точно вычислить по закону Ома ток только одной фазы:
Iab =	Uab	=	U AB	.
	Z ab
			Z ab

Токи двух других фаз вычисляют, используя значение тока Iab :

Ibc = Iab e− j120 ; Ica = Iab e j120 .

Комплексы линейных токов определяют как разности комплексов соответствующих фазных токов.

Векторно-топографическая диаграмма при симметричной нагрузке изображена на рис. 4.13. Из диаграммы видим, что линейные токи по величине равны между собой и сдвинуты относительно друг друга по фазе на

угол 120 . Линейный ток по величине в 3 раз превышает фазный:

Iл = 3 Iф.

A a

UAB

UCA

IA

		Iab
		Ica	IB
				ab
		Ibc		I
			ϕab
C c	UBC	IC		B b
		Рис. 4.13
Векторы линейных токов I A , IB , IC			отстают по фазе соответственно от
 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие				-100-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.4. Расчет трехфазных цепей

векторов фазных токов Iab , Ibc и Ica на угол 30 .

Вычислив фазный ток Iab , можно записать значения всех линейных токов следующим образом:

			− j30			− j120			j120	.
IA =	3Iab e			; IB = IA e			; IC = IA e

Если нужно вычислить только величины токов, расчет производят по формулам

		Uфп		U	лг ;
	Iф =		=			Iл = 3 Iф .
		Zф
				Zф

4.4.2.Соединение звездой четырехпроводной

снейтральным проводом, обладающим сопротивлением

1.Приемник несимметричный.

Схема замещения анализируемой цепи представлена на рис. 4.14.

		A		IA			a
	EA		UA	Z nN	Za		Ua
EC	N		InN		I	a	n
				Zc				Z b
			EB				Ic Ib
C	U U		B	c	U		Ub	b
	C	B		IB	c

IC

Рис.4.14

По известным значениям напряжения генератора и сопротивлений фаз приемника нужно вычислить фазные и линейные токи, а также ток в нейтральном проводе, соединяющем нейтральные точки генератора и приемника.

Из схемы видим, что при соединении фаз звездой фазные и линейные токи соответственно равны между собой, например, I A = Ia .

Трехфазные цепи являются разновидностью цепей синусоидального тока, поэтому для их расчета пригодны все методы, применяемые в однофазных цепях. Анализируемую схему можно рассматривать как схему с двумя узлами (N и n) и рассчитать токи в ней методом напряжения между двумя

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-101-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.4. Расчет трехфазных цепей

узлами.

Напряжение между нейтральными точками генератора и приемника можно вычислить по формуле

UnN =

Y U

A

+Y U

B

+Y U

C

a

b

c

,

Y a +Y b +Y c +Y nN

где Y a

=

1

, Y b =

1

, Y c =

1

– комплексные проводимости фаз приемни-

Z b

Z c

Z a

ка; Y nN =

1

– комплексная проводимость нейтрального провода.

Z nN

Линейные и равные им соответственно фазные токи можно определить по закону Ома для активной ветви:

I A = Ia = Y a (U A −UnN ); IB = Ib = Y b (U B −UnN );

IC = Ic = Y c (UC −UnN ).

Выражения в скобках являются разностью потенциалов между началами (а, b, с) и концами (n) фаз приемников, т. е. фазными напряжениями при-

емника. Например, Ua = −UnN +U A . Поэтому уравнения можно переписать в виде

I A = Ia = Y a Ua ; IB = Ib = Y b Ub ; IC = Ic = Y c Uc .

Ток в нейтральном проводе можно вычислить по закону Ома для пассивной ветви или по первому закону Кирхгофа:

InN = Y nN UnN = Ia + Ib + Ic .

Топографическую диаграмму строят в два этапа:

Этап 1. Построение топографической диаграммы напряжений генератора (см. рис. 4.7).

Этап 2. Построение топографической диаграммынапряжений приемника. Напряжение – разность потенциалов между двумя точками. Если известна картина распределения потенциалов различных точек схемы на комплексной плоскости, то, соединив две соответствующие точки, можно получить вектор нужного напряжения. Если сопротивлением линии пренебрегают, то на схеме замещения начала фаз генератора и приемника коротко соединены между собой. Тогда потенциалы их будут одинаковы, точки А и а, В и b, С и с на комплексной плоскости совпадают. Между нейтральными точ-

ками генератора N и приемника n возникает напряжение UnN .

Точка n на комплексной плоскости смещена относительно точки N. По-

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-102-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.4. Расчет трехфазных цепей

этому напряжение UnN называют напряжением смещения нейтрали. Точку n

получим, построив вектор UnN (рис. 4.15). Соединив точки, соответствующие началам и концам фаз приемника, получим векторы фазных напряжений приемника Ua , Ub и Uc . Система фазных напряжений приемника несимметрична. Линейные напряжения не показаны, чтобы не усложнять рисунок.

A a

	Ua	IA
	UA
	UnN	ϕa	IB
N
	ϕ	n ϕb
UC	c		InN
	UB
Uc		Ub
C c		B b

IC

Рис. 4.15

Векторная диаграмма токов зависит от нагрузки. Построим векторную диаграмму для схемы замещения цепи, представленной на рис. 4.16.

Векторы фазных токов строят из точки n в зависимости от нагрузки в фазах. В фазе а нагрузка активно-индуктивная, поэтому ток I A отстает от

напряжения Ua на угол ϕа . Напомним, что угол ϕa является аргументом комплексного сопротивления фазы.

Токи IB и IC опережают напряжения Ub и Uc соответственно на углы

ϕb и ϕc .

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-103-