ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.3.Операторный метод расчета переходных процессов

=1,25 106 tept p=−5000 =1,25 106 te−5000t В.

Пример 6.8. С помощью теоремы разложения получено выражение искомой величины:

F (p)

0,25 106

( −1000+2000 j)t

0,25 106

( −1000−2000 j)t

1

=

e

+

e

=

F (p)

4000 j

−4000 j

2

= 2 Re

0,25 106

e

( −1000+2000 j)t

−1000t e2000 jt

=

4000 j

= 2 Re 62,5e

j

−1000t

e2000 jt

−1000t

e

j( 2000t−90° )

=

= 2 Re 62,5e

e

j

90î

= 2 Re 62,5e

= 2 62,5e−1000t cos( 2000t −90°) =125e−1000t sin 2000t. Угол λ= 0.

6.4. Применение метода переменных состояния для расчета переходных процессов

Расчет производят на ЭВМ. В качестве переменных состояния выбирают величины, подчиняющиеся законам коммутации, т. е. токи в индуктивных катушках и напряжения на конденсаторах.

Метод основан на решении двух групп уравнений, которые записывают в матричной форме.

Первая группа – это дифференциальные уравнения цепи относительно переменных состояния. Их записывают в канонической форме, т. е. представляют решенными относительно первых производных переменных состояния по времени. Такая запись удобна для решения на ЭВМ:

õ• = [A][x]+[B][e],

где [х] – матрица переменных состояния; [х] – матрица производных по времени от переменных состояния; [А] – матрица состояния;

[е] – матрица внешних воздействий, которыми являются ЭДС источников

ЭДС и токи источников тока.

Матрица состояния [А] всегда квадратная, размером n × n, где n – чис-

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-198-

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.4. Применение метода переменных состояния для расчета переходных процессов

ло переменных состояния. Если n = 2, матрица состояния	A11	A12
	[А]= A	A	.
	21	22

Пользуясь матрицей состояния, можно получить характеристическое уравнение

p2 + bp + c = 0.

В этом уравнении b = −(À11 + À22 ), ñ = À11 À22 − À12 À21 .

Вторая группа состоит из алгебраических уравнений. Они связывают матрицу выходных величин [y] с матрицами переменных состояния [x] и

внешних воздействий [e]:

[y]= [Ñ][X ]+[D][e].

Пример 6.9. Составить уравнения по методу переменных состояния для схемы рис. 6.39, если искомой величиной является закон изменения напряжения на резистивном элементе uR .

Ток в сх еме один, т. е.

i = iL = iC .

Уравнение по второму закону Кирхгофа в дифференциальной форме для этой схемы имеет следующий вид:

Рис. 6.39

L didtL + RiL + uC = e.

Отсюда didtL = − RL iL − L1 uC + L1 e .

По закону Ома ток iC = iL = C dudtC . Отсюда dudtC = C1 iL .

Первая группа уравнений в матричной форме:

			−	R
d iL				L
	u	=		1
dt
	C
				C

	−	1				1		0
				iL					e
		L
						+ L
									.
		0		uC					j
						0		0

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-199-

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.4. Применение метода переменных состояния для расчета переходных процессов

Во вторую группу входит только одно уравнение uR = RiL . Запись в матричной форме имеет следующий вид:

[uR ]= [R 0] uiL +[0	0] ej	.
C

Для более сложных схем разработаны различные способы составления уравнений по методу переменных состояния.

Рассмотрим способ, использующий принцип наложения. Этот способ можно применять, если в схеме нет контуров, все ветви которых содержат конденсаторы, и нет узлов с ветвями, каждая из которых содержит индуктивную катушку.

Пример 6.10. Составим систему уравнений для нахождения законов изменения тока i1 и напряжения u2 методом переменных состояния в схеме,

представленной на рис. 6.40.

Рис. 6.40

Схему изображают после коммутации, заменяя индуктивные катушки источниками тока, конденсаторы – источниками ЭДС (рис. 6.41). Токи и с- точников токов направлены так же, как токи в индуктивных катушках до

коммутации [iL (0−)], ЭДС – противоположно напряжениям uÑ (0−) . Ток iÑ совпадает по направлению с uÑ .

Рис. 6.41

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-200-

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.4. Применение метода переменных состояния для расчета переходных процессов

По закону Ома uL = L didtL ; iÑ = Ñ dudtÑ .

Отсюда didtL = uLL ; dudtÑ = iÑÑ .

	d iL		L 0 −1			uL
В матричной форме		u	=	0	Ñ	i .
	dt
		Ñ				Ñ

Разбиваем схему на четыре подсхемы. Тогда можно записать:

uL = HLLiL + HLCuC + HLee + HLj j,iC = HCLiL + HCCuC + HCee + HCj j.

В матричной форме:

uL	HLL HLC iL				HLe HLj			e
i	= H	CL	H	u	+ H	Ce	HCj	j .
C				CC C

Отсюда уравнения электрического состояния:

d

iL

L 0

−1

HLL

HLC iL

L 0

−1 HLe HLj

e

u

=

0 C

H

H

u

+

0 C

H

HCj

.

dt

CL

CC

Ce

j

C

C

[

]

[B]

À

Вторую группу уравнений можно записать соответственно:

i

H

1L

H

1C

i

L

H

1e

H

1 j

e

1

= H

+ H

j .

[y]= u

2L

H

u

2e

H

2 j

2

2C

C

[C]

[D]

Элементы

матриц

представ-

ляют собой входные или взаимные

проводимости

или сопротивления,

коэффициенты

передачи

тока

или

напряжения.

Рассмотрим каждую из под-

схем.

В подсхеме оставляем только

один источник энергии, остальные

источники ЭДС

закорачиваем,

ис-

Рис. 6.42

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-201-

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.4. Применение метода переменных состояния для расчета переходных процессов

точники тока – разрываем.

Подсхема 1

(рис. 6.42).

Так как в подсхеме действует только источник тока iL , то uL′ = HLLiL ,

iC′ = HCLiL , i1′ = H1LiL , u2′ = H2LiL .

Отсюда

HLL = uL′ , HÑL = iÑ′

, H1L

= i1′ .

iL

iL

iL

u ′

H2L =

2 .

iL

Ток источника тока будет замыкаться по закоротке, поэтому ток i1′ = 0,

а ток iC′ = −iL . Напряжение на резисторе

u2′ создано током

iL ,

поэтому

u2′ = R2iL .

Напряжение

uL′ = −R2iL . Тогда

HLL = −R2 ;

HCL = −1;

H1L = 0 ;

H2L = R2

Подсхема 2 (рис. 6.43).

В подсхеме действует только

источник

ЭДС

uÑ ,

поэтому

uL′′ = HLCuC ; i′′C = HCC uC ; i1′′= H1CuC ;

u ″

= H

2C

u .

2

C

Отсюда

HLC = uL′′ ; HCC =

iC′′

;

H1C =

i1′′

;

uC

uC

uC

Рис. 6.43

H2C =

u2′′

.

uC

Подсхема

одноконтурная,

ток iC′′ = i1′′= − uC .

Напряжение

R1

u2′′ = 0, напряжение

uL′′

= uC .

Тогда

HLC =1; HCC = −

1

; H1C = −

1

; H2C = 0

.

R1

R1

Подсхема 3 (рис. 6.44).

Рис. 6.44



Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-202-

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.4. Применение метода переменных состояния для расчета переходных процессов

Составляющие искомых величин от действия ЭДС е:

uL′′′= HLeå;

iC′′′

= HCeå;

i1′′′= H1eå;

u2′′′= H2eå.

Отсюда

HLe = uL′′′; HCe = iC′′′; H1e

= i1′′′; H2e = u2′′′.

e

å

å

å

å

′′′

′′′

=

′′′

= 0 . Напряжение

′′′

= 0 .

Ток i1

= iC

R1

. Напряжение u2

uL

1

1

Тогда

HLe = 0;

HÑe =

; H1e =

; H2e = 0.

R1

R1

Подсхема 4 (рис. 6.45).

Рис. 6.45

В подсхеме действует только источник тока j , поэтому

	′′′′		′′′′		""	= H1 j j;	′′′′
	uL = HLj j; iC = HCj j; i1						u2 = H2 j j .
Отсюда HLj	= uL′′′′; HCj	= iC′′′′;	H1 j	= i1′′′′;	H2 j	= u2′′′′.
Ток i1	j	j		j		j		= −R2 j .
	= iC = 0 . Напряжение u2				= R2 j , напряжение uL
′′′′ ′′′′				′′′′			′′′′
Тогда	HLj = −R2 ; HCj		= 0;	H1 j = 0; H2 j = R2 .

Для получения законов изменения искомых величин в ЭВМ нужно задать матрицы [À], [B], [C], [D], [e] и [õ(0)]. Величины, подчиняющиеся за-

конам коммутации, ищем в схеме при t = 0 − (рис. 6.46).

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-203-

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.4. Применение метода переменных состояния для расчета переходных процессов

iL (0−)

uC (0−)

Рис. 6.46

Индуктивный элемент сопротивления постоянному току не оказывает, поэтому вместо него в схеме закоротка, конденсатор постоянный ток не пропускает. Ключ разомкнут.

Ток iL ( 0−) = 0, напряжение uC ( 0−) = å. Составим матрицы из найденных коэффициентов:

L	0	−1			−R
						2
[A]=					−1
0	Ñ
[B]= L	0		−1			0
						1
0	C				R
						1

−1 ; R1

−R2

0 ;

	0	−	1					1	0
[C]=							[D]=			.
				R1		;		R1
			0					0	R
R
	2								2

Законы изменения искомых величин можно получить в виде таблиц и графиков.

6.5. Расчетпереходныхпроцессовспомощью интегралаДюамеля

Этот метод применяют в цепях с одним источником напряжения, меняющегося по сложному закону.

При расчетах используют понятия входных и взаимных проводимостей. Входной проводимостью k-й ветви называют отношение токаk-й ветви к

ЭДС k-й ветви при отсутствии источников энергии в остальных ветвях:

G	=	Ik	, если E = 0 при i ≠ k .
kk			i
		Ek

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-204-

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.5. Расчет переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля

Взаимной проводимостью между k-й и j-й ветвями называют отношение тока k-й ветви к ЭДС j-й ветви при отсутствии источников энергии в других ветвях:

G =	Ik	, если E = 0 при i ≠ j .
kj		i
	E j

На основании принципа взаимности выполняется равенство Gkj = Gjk ,

которое может упростить вычисление взаимной проводимости.

Пусть в схеме действует один источник постоянной ЭДС. Тогда ток любой ветви схемы можно записать на основании закона Ома следующим образом:

I = GU ,

где G – входная или взаимная проводимость.

Закон Ома выполняется и для переходного процесса. Но при действии источника постоянного напряжения токи в ветвях будут переменными, следовательно, проводимости тоже будут величинами переменными, изменяющимися во времени. Поэтому их обозначают строчными буквами и называют переходными проводимостями. По закону Ома ток любой ветви во время переходного процесса нужно записать следующим образом:

i = gU .

Переходные проводимости, как и обычные, измеряют в сименсах. Они могут быть входными и взаимными. Пусть источник напряжения находится в

ветви № 1. Тогда ток i1 = g11U , ток i3 = g31U , где g11 – входная проводимость,

g31 – взаимная проводимость.

Переходную проводимость можно определить расчетным или опытным путями.

При расчетном определении gkk и gkj нужно найти закон изменения

соответствующего тока при подключении цепи к источнику с напряжением U =1 В.

При опытном определении gkk и gkj находят осциллографированием

тока в соответствующей ветви при единичном входном напряжении.

На переходные процессы распространяется теорема взаимности, т. е.

gkj = g jk .

Напряжение, возникающее между двумя любыми точками в схеме, при переходном процессе тоже является функцией времени и пропорционально входному напряжению:

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-205-

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.5. Расчет переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля

uab = hU ,

где буквой h обозначена переходная функция по напряжению, которая является безразмерной величиной. Она представляет собой закон изменения напряжения uab при U = 1 В.

Рассмотрим введенные понятия на конкретном примере.

Пример 6.11. Определить входную переходную проводимость g11 , взаимную переходную проводимость g31 и переходную функцию по напряжению huC в схеме рис. 6.47, если R1 =1 Ом, R2 = 2 Ом, С = 50 мкФ.

Рис. 6.47

Решение

Чтобы определить требуемые в условии величины, нужно найти законы изменения соответственно токов i1 , i3 и напряжения uC при подключении

цепи к источнику ЭДС с Е = 1 В.

Определим законы изменения нужных величин классическим методом (возможно применение и других известных методов).

1. Определим искомые величины как суммы принужденных и свободных составляющих:

i1 = i1ï ð +i1ñâ ;

i3 = i3ï ð +i3ñâ ;

uC = uCï ð + uCñâ .

2. Вычислим принужденные составляющие в схеме при t = ∞ (рис. 6.48). Ключ замкнут, вместо конденсатора – разрыв цепи. Схема – од-

		ноконтурная,					ток	i3 ï ð = 0,	ток
		i	=		Å	= 1 = 0,33		А. Напряжение
		1 ï ð		R1	+ R2	3
		uC ï ð = R2i1 ï ð				= 2 0,33 = 0,66 В.
				Свободные			составляющие		меня-
	Рис. 6.48	ются по закону экспоненты:
 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие									-206-

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.5. Расчет переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля

i	= Aept ;	i	= Bept ;	u	= Cept .
1 ñâ		3 ñâ		C ñâ

Найдем корень характеристического уравнения р. Проще всего схему превратить в одноконтурную, закоротив источник ЭДС, разорвав ветвь с конденсатором и заменив все резисторы одним с эквивалентным сопротивле-

	нием R	=	R1 R2		=	2	Ом. Постоянная времени τ = R Ñ =	2	50 10−6	=	100
			R + R			3		3			3 106
	Ý						Ý
			1	2

с. Показатель степени ð = −1τ = − 3100106 = −3 104 ñ−1 .

Вычислим постоянные интегрирования А, В, С из начальных условий:

i1(0+) = i1 ï ð (0+) +i1 ñâ (0+) ; i3 (0+) = i3 ï ð (0+) +i 3 ñâ (0+);

uC (0+) = uC ï ð (0+) + u Ñ ñâ (0+) .

Этап 1. Вычислим ННУ uC (0−)

в схеме при t = 0 −. До коммутации схема не была подключена к источнику энергии, поэтому uC (0−) = 0 .

Этап 2. В схеме при			t = 0 +,
изображенной	с	учетом	ННУ
(рис. 6.49), определим ЗНУ. Ключ
замкнут, uC (0+) = uC (0−) = 0,			поэтому
							Рис. 6.49
вместо конденсатора – закоротка.
Ток источника замыкается по закоротке, поэтому
		i (0+) = i (0+) =			E	=1 А.
		1		3	R1
Принужденные	составляющие –			постоянные величины, следовательно,
i1ï ð (0+) = 0,33 А,	i3ï ð (0+) = 0 ,		uC ï ð (0+) = 0,66 В.
Свободные		составляющие		в начальный момент: i1ñâ (0+) = À;

i3ñâ (0+) = Â ; uC ñâ (0+) = Ñ .

После подстановки получаем уравнения:

1 = 0,33 + А; 1 = 0 + В; 0 = 0,66 + С.

Отсюда А= 0,67 ; В = 1; С = –0,66.

Входная переходная проводимость

g11 = 0,33 + 0,67e−3104 t См.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-207-

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.5. Расчет переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля

Взаимная переходная проводимость

g31 =1e−3104 t См.

Переходная функция по напряжению

huC = 0,67 −0,67e−3104 t .

Пусть на вход схемы подано напряжение сложной формы (см.рис. 6.50). Нужно найти закон изменения тока.

Непрерывно меняющееся напряжение заменим ступенчатой функцией с прямоугольными скачками ∆u.

Тогда процесс изменения напряжения можно представить как подключение при t = 0 постоянного напряжения u(0), а затем как подключение элементарных постоянных напряжений ∆u, смещенных относительно друг дру-

га на интервалы времени ∆τ и имеющих разные знаки (напряжение может возрастать или убывать).

Рис. 6.50

Для решения рационально использовать метод наложения. Рассмотрим процесс в какой-то момент времени t. Момент элементарного скачка напряжения обозначим τ.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-208-

	ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
6.5. Расчет переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля
Чтобы объединить два времени τ(и		t), будем рассматривать процесс,
исходя не из начального момента t = 0, а из момента рассмотрения процесса t.
В этом случае момент элементарного скачка напряжения (t – τ).
Предварительно нужно вычислить переходную проводимость g(t).
Составляющая тока от постоянного напряжения u(0) − g(t) u(0) . Сле-
дует обратить внимание: g(t), а не g(0), так как отсчет времени идет от t по
оси времени налево.					∆u , проис-
Составляющая тока от элементарного скачка напряжения
шедшего в момент времениτ, если отсчет вести от t = 0, и в момент времени
(t – τ), если отсчет времени идет от времени рассмотрения процесса t налево:
	g(t − τ)∆u.
Проведем касательную к точке, в которой произошел элементарный ска-
чок напряжения ∆u (см. рис. 6.50). Угол наклона касательной обозначимα.
Можно считать, что ∆u и ∆τ являются катетами прямоугольного треугольника.
Тогда	′		′
	∆u ≈ ∆τ tg α = ∆τ u (τ). Отсюда		g(t − τ) ∆u = u (τ) g (t − τ) ∆τ.
Элементарные скачки напряжения происходят на интервале от t = 0 до
t, для которого определяем закон изменения тока. Поэтому, суммируя со-
ставляющие тока от всех скачков, переходя к пределу при ∆τ → 0 и учиты-
вая составляющую тока от начального значения напряжения u(0), получаем
	t
	i(t) = g(t) u(0) + ∫u′(τ) g (t − τ)dτ.
	0
Эту формулу называют интегралом Дюамеля.
Пример 6.12. Определить закон изменения тока i(t), если					двухполюс-
ник подключен к источнику, вырабатывающему напряжение сложной фор-
мы, представленное на рис. 6.51.
	u(t)
	u1(0)		u2(t)
	t1		t2	t
	u1(t)
	Рис. 1.51
	Рис. 6.51
Сначала нужно определить переходную проводимость g(t), затем вы-
	Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие				-209-

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.5. Расчет переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля

явить интервалы времени, для которых законы изменения тока одинаковы. В рассматриваемом примере таких интервалов три:

0 ≤ t ≤ t1 , не включая скачок при t1 ; t1 ≤ t ≤ t2 , не включая скачок при t2 ;

t2 ≤ t < ∞.

Следует помнить, что процесс начался при t = 0, поэтому для любого интервала закон изменения тока включает значение g(t) u1(0) .

Закон изменения тока для первого интервала:

t

i(t) = g(t) u1(0) + ∫u1′(τ) g(t − τ)dτ.

0

Закон изменения тока для второго интервала:

t1

i(t) = g(t) u1(t) + ∫u1′(τ) g (t − τ)dτ + g(t −t1 ) [u2 (t1 ) −u1(t1 )]+

0

t

+∫u2′(τ) g (t − τ)dτ.

t1

Закон изменения тока для третьего интервала:

t
i(t) = g(t) u1(0) + ∫1	u1′(τ) g (t − τ)dτ + g(t −t1 ) [u2 (t1 ) −u1(t1 )]+
0
t2
+∫u2′(τ) g (t − τ)dτ+ g (t −t2 ) [0 −u2 (t2 )].
t1

Порядок расчета методом интеграла Дюамеля:

1. Определяем переходную проводимость g(t) , если нужно найти закон

изменения тока, или переходную функцию по напряжению h(t), если нужно найти закон изменения напряжения.

2.	Вычисляем g(t − τ)	или h(t − τ) , для чего в формулах t заменяем на
(t − τ) .			du(t)
3.	′			и в полученном вы-
	Определяем u (τ) . Для этого нужно найти		dt

ражении заменить t на τ.

4. Подставляем найденные значения в интеграл Дюамеля и производим вычисления до приведения подобных.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-210-

ГЛАВА 7

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

7.1. Основныепонятияиопределения

Нелинейные электрические цепи содержат нелинейные элементы, параметры которых зависят от тока либо напряжения.

В схемах замещения цепей постоянного тока приемными элементами являются идеальные резисторы, сопротивления которых меняются при изменении тока и напряжения.

Вольт-амперные характеристики линейных элементов – прямые линии, нелинейных – кривые.

Примером нелинейного элемента (НЭ) является электрическая лампочка накаливания, сопротивление которой находится в сильной зависимости от величины тока в ней.

Все НЭ делят на две большие группы: неуправляемые и управляемые. К неуправляемым НЭ относятся лампа накаливания, бареттер, диод, га-

зотрон.

Управляемыми НЭ являются трех- и более электродные лампы, транзисторы, тиристоры.

Вольт-амперная характеристика (ВАХ) НЭ может быть симметричной (рис. 7.1) и несимметричной (рис. 7.2).

Рис. 7.1

Рис. 7.2

У НЭ с симметричной ВАХ сопротивление не зависит от направления тока и напряжения. У НЭ с несимметричной ВАХ сопротивление зависит от направления тока и напряжения.

Вид ВАХ определяет область применения НЭ. Элемент с ВАХ, приведенной на рис. 7.1, можно использовать для стабилизации тока. Такой ВАХ обладает бареттер. На рис. 7.2 представлена ВАХ диода, который отличает односторонняя проводимость.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-211-

ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

7.1. Основные понятия и определения

Переменное сопротивление НЭ можно задать посредством ВАХ либо зависимостями статического и дифференциального сопротивлений от тока или напряжения.

Статическое сопротивление Rст характеризует НЭ в неизменном режиме. Оно равно отношению напряжения на НЭ к току через него:

Rñò = UI .

Статическое сопротивление можно определить тангенсом угла α между соответствующей осью координат и прямой, соединяющей рабочую точку с нулевой (рис. 7.3, а и б). При изображении ВАХ НЭ значения тока и напряжения могут быть отложены на разных координатных осях.

Рис.7.3

Дифференциальное (динамическое) сопротивление Rä равно отноше-

нию бесконечно малого приращения напряжения на НЭ к соответствующему бесконечно малому приращению тока:

Rä = dUdI .

Дифференциальное сопротивление можно определить тангенсом угла β наклона касательной к ВАХ в рабочей точке (см. рис. 7.3, а и б).

Дифференциальное сопротивление может быть отрицательным, если на участке ВАХ при увеличении тока напряжение уменьшается либо при уменьшении тока напряжение увеличивается.

Расчет нелинейных цепей очень сложен. Но если рабочая точка перемещается на небольшом участке, который можно считать практически линейным, то нелинейный рези-

стор, схема замещения которого изображена на рис. 7.4, Рис. 7.4 можно заменить линейной эквивалентной схемой, состоящей из источника энергии и резистора сопротивлением Rä .

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-212-

ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

7.1. Основные понятия и определения

Пример 7.1. Составить линейную схему замещения НЭ, ВАХ которого представлена нарис. 7.5, для рабочей точкиА.

Рис. 7.5

Проведем касательную к рабочей точке и запишем ее уравнение. Как видно из рис. 7.5, U = Rä I + E0 .

Этому уравнению соответствует линейная схема замещения, изображенная на рис. 7.6.

Можно составить схему замещения с источником тока. Для этого уравнение касательной

разделим почленно на Rä :

Рис.7.6

U = I + E0 ,

Rä Rä

где E0 = J0 (см. рис. 7.5),

Rä

U = Iä .

Rä

Тогда получим уравнение	Рис. 7.7

Iä = J0 + I ,

которому соответствует линейная схема замещения, приведенная на рис. 7.7. Пример 7.2. Составить линейную схему замещения НЭ, ВАХ которого

представлена на рис. 7.8, для рабочей точки А.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-213-

ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

7.1. Основные понятия и определения

Рис. 7.8

Рис. 7.9
		Рис. 7.10

Проведем касательную к рабочей точке и запишем ее уравнение. Как видно из рис. 7.8, U = Rä I − E0 .

Этому уравнению соответствует линейная схема замещения, изображенная на рис. 7.9. Эквивалентная линейная схема замещения с источником тока приведена на рис. 7.10.

7.2. Расчетпростейшихнелинейныхцепей постоянноготокаграфическимиметодами

Расчет заключается в отыскании рабочей точки.

7.2.1.Расчет нелинейной цепи

споследовательным соединением элементов

Схема замещения рассматриваемой цепи приведена на рис. 7.11. Определить ток в цепи и напряжения на НЭ U1 и U2 , если заданы входное напря-

жение U и ВАХ каждого элемента (рис. 7.12,	I	НЭ1	НЭ2
а и б).
Задачу можно решить двумя способами.		U1
1. Отыскание рабочей точки на резуль-	U		2
тирующей ВАХ.
Ток в цепи один. Входное напряжение		Рис.27.11
 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие			-214-

ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

7.2. Расчет простейших нелинейных цепей постоянного тока графическими методами

на основании второго закона Кирхгофа складывается из напряжений на отдельных НЭ. В рассматриваемой цепи

U =U1 +U2 .

Рис.7.12

Поэтому для построения результирующей ВАХ нужно при одном значении тока суммировать напряжения на нелинейных элементах. Чем больше точек будет получено, тем точнее результирующая ВАХ.

По заданному значению входного напряжения находим рабочую точкуА на результирующей ВАХ (рис. 7.13) и соответствующее ей значение тока.По полученному значению тока находим напряжения на отдельных элементах U1 и U2 .

Рис. 7.13

2. Отыскание рабочей точки на пересечении ВАХ одного элемента с зеркальным отображением ВАХ другого элемента.

Решение этим методом поясняет рис. 7.14. Ток в цепи один, поэтому I1 = I2 = I . Строим график I (U1 ) . В рабочей точке на основании второго за-

кона Кирхгофа напряжение U1 =U −U2 . Построим график I(U −U2 ), кото-

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-215-

ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

7.2. Расчет простейших нелинейных цепей постоянного тока графическими методами

рый является зеркальным отображением графика I (U2 ) , смещенного вправо

на величину входного напряжения U . Очевидно, что графики пересекаются в рабочей точке А.

Рис. 7.14

Находим соответствующие ей значения тока I и напряжений U1 и U2 .

Этот метод рационально использовать для цепи с двумя элементами, один из которых – линейный. Так как его ВАХ является прямой линией, то для построения графика I (U −UËÝ ) нужны только две точки, одна из кот о-

рых с координатами (U, 0).

7.2.2.Расчет нелинейной цепи

спараллельным соединением элементов

	Схема замещения рассматриваемой це-
	пи приведена на рис. 7.15. Определить вход-
	ной ток I и токи I1 и I2 , если заданы входное
	напряжение и ВАХ каждого нелинейного
	элемента (рис. 7.16, а и б).
	Так как при параллельном соединении
Рис. 7.15	напряжения на элементах одинаковы и равны
	входному U , то на ВАХ отдельных элементов

находим токи I1 и I2 . Входной ток на основании первого закона Кирхгофа равен сумме токов в пассивных ветвях:

I = I1 + I2 .

5

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-216-