ГЛАВА 10

ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

10.1. Четырехполюсникииихосновныеуравнения

Исследование режима работы сложной электрической цепи часто сводится к установлению связей между токами, напряжениями и мощностями различных ее участков. Режим работы остальной цепи при этом значения не имеет.

Рассматриваемую часть цепи можно определить обобщенными параметрами на соответствующих зажимах.

Часть цепи, которую характеризуют обобщенными параметрами, необходимыми и достаточными для составления уравнений связи между токами и потенциалами на ее зажимах, называют многополюсником. Число полюсов многополюсника равно числу зажимов на границе данной части цепи.

Четырехполюсники могут быть пассивными и активными. Рассмотрим пассивный четырехполюсник, представленный на рис. 10.1.

1		I1				I2	2
		U1		П				U2
								2ґ
1ґ
				Рис. 10.1

Разработаны шесть форм уравнений связи четырехполюсников. Уравнения в Z -форме связывают входное и выходное напряжения с

входным и выходным токами:

U1 = Z11I1 + Z12 I2 ;U2 = Z 21I1 + Z 22 I2.

Коэффициентами в этих уравнениях являются сопротивления Z . Их можно определить из режимов холостого хода. В режиме холостого хода за-

жимов 2–2′ (см. рис. 10.1) ток I2 = 0. Из уравнений связи получаем:

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-268-

ГЛАВА 10. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

10.1. Четырехполюсники и их основные уравнения

Z11 =	U	;	Z 21 =	U	2x	.
	1x
	I1x			I1x

В режиме холостого хода зажимов 1–1′ ток I1 = 0. Тогда сопротивления

Z12 =	U	1x	;	Z 22 =	U	2x	.
	I2x				I2x

Более компактной является запись уравнений связи в матричной форме:

			=	Z		Z	12
U1					11			I1		.
U2			Z 21			Z 22		I2

Если токи выразить через напряжения, получим уравнения связи в Y-форме:

Y

I1

=

11U1

−

Y

12U2

;

= −Y U

+Y U

.

I

2

21

1

22

2

Запись в матричной форме имеет вид

I

Y

11

−

Y

12

U

1

=

Y

1

.

I2

−

Y

21

22

U 2

Коэффициентами в этих уравнениях являются проводимости Y . Их можно определить из режимов короткого замыкания. В режиме короткого замыкания зажимов 2–2′ напряжение U2 = 0 . Из уравнений связи получаем:

		Y	11 =		I	;		Y	21 =		I
					1ê						2ê
				U1ê						U1ê

В режиме короткого замыкания зажимов 1–1′ напряжение U1 = 0 . Тогда можно найти остальные проводимости:

	Y			I			Y			I
		12 =		1ê	;			22 =		2ê	.
			U2ê						U2ê

Если отношение напряжения на входе к току на выходе не зависит от того, какие зажимы являются входными, а какие – выходными, четырехпо-

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-269-

ГЛАВА 10. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

10.1. Четырехполюсники и их основные уравнения

люсник является обратимым, у него Y 12 = Y 21 .

При каскадном соединении четырехполюсников (длинные линии) целесообразно записать уравнения в такой форме, чтобы U1 и I1 были выраже-

ны через U2 и I2 . Их называют уравнениями в А-форме и получают из уравнений в Y-форме:

U1 = AU2 + BI2 ;I1 = CU2 + DI2 ,

где A = Y 22 – безразмерная величина;

Y 21

B =		1		– сопротивление;
		Y	21

C = Y 11Y 22 −Y 12Y 21 – проводимость;

Y 21

D = Y 11 – безразмерная величина.

Y 21

При анализе четырехполюсников используют соотношение

AD − ÂC = Y 11Y 22 −Y 11Y 22 +Y 12Y 21 = Y 12 .
Y 21 Y 21	Y 21

Для цепей, где выполняется принцип взаимности, Y 12 = Y 21 . Тогда A D − B C =1.

Комплексные коэффициенты A, B, C, D зависят от конфигурации схе-

мы, параметров элементов и от частоты.

Запись уравнений связи в матричной форме имеет вид

U		1		A B U			2
				=				.
	I1			C D		I2

Аналогично можно получить систему уравнений связи относительно выходных величин:

U2 = DU1 + B I1;I2 = CU1 + A I1.

Четырехполюсник называют симметричным, если при перемене местами источника питания и приемника токи источника питания и приемника не изменятся. При взаимной замене первичных и вторичных зажимов урав-

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-270-

ГЛАВА 10. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

10.1. Четырехполюсники и их основные уравнения

нения связи должны оставаться неизменными, т. е. A = D .

Все четырехполюсники, не удовлетворяющие этому условию, называют несимметричными.

В цепях с полупроводниковыми приборами для описания биполярных транзисторов используют H- и G-формы записи уравнений связи. Коэффициенты H и G называют гибридными.

Уравнения связи в Н-форме записывают следующим образом:

U1 = H11I1 + Í 12U2 ;I2 = H 21I1 + H 22U2 ,

где H11 = Z11 Z 22Z− Z12 Z 21 ; 22

Í

22

=

1

;

Z 22

Í

12

=

Z12

;

Z 22

Í

21 = −

Z 21

.

Z 22

Н-параметры можно определить из опытов холостого хода и короткого замыкания.

В режиме короткого замыкания вторичных зажимов напряжение U2 = 0 . Из уравнений связи получим:

Í 11 = U1ê – сопротивление;

I1ê

Í 21 = I2ê – передаточная функция по току.

I1ê

В режиме холостого хода первичных зажимов ток I1 = 0. Тогда из уравнений связи получим:

Í 12 = U1x – передаточная функция по напряжению;

U2x

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-271-

ГЛАВА 10. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

10.1.Четырехполюсники и их основные уравнения

Í22 = UI2x2x – проводимость.

Запись в матричной форме:

H

H

I1

U1

=

11

12

.

I2

H 21

H 22

U2

Уравнения связи в G-форме имеют вид

I1 = G11 U1 +G12 I2 ;

U2 = G21 U1 +G22 I2.

10.2. Определениекоэффициентовуравненийсвязи четырехполюсника

Комплексные коэффициенты пассивного четырехполюсника определяют опытным или расчетным путями. В последнем случае должна быть известна схема соединения пассивного четырехполюсника и ее параметры.

Для опытного определения проводят опыты холостого хода и короткого замыкания. При этом нужно измерять не только модули комплексных величин, но и их аргументы.

Рассмотрим нахождение коэффициентов в А-форме уравнений связи. В режиме холостого хода вторичных зажимов ток I2 = 0.

Уравнения связи принимают вид

U1õ = AU2 ;

I1õ = CU2.

Отсюда сопротивление Z1õ = U1õ = A .

I1õ Ñ

В режиме короткого замыкания вторичных зажимов напряжение

U2 = 0 .

Уравнения связи получаются упрощенными:

U = B I ;

1ê 2

I1ê = D I2.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-272-

ГЛАВА 10. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

10.2. Определение коэффициентов уравнений связи четырехполюсника

Сопротивление Z1ê = U1ê = B .

I1ê D

В режиме холостого хода первичных зажимов ток I1 = 0. Уравнения связи запишем следующим образом:

U		2õ	= DU		1	;
			= ÑU		.
I				1
	2õ

Сопротивление Z 2õ =	U	2õ	=	D	.
				C
	I2õ
В режиме короткого		замыкания первичных зажимов напряжение

U1 = 0 .

Уравнения связи имеют вид

U2ê = B I1;

I2ê = A I1.

Сопротивление Z 2к =	U	2к	=	B	.
				A
	I2к

Четвертым можно взять уравнение AD − BC =1.

Совместное решение четырех уравнений с четырьмя неизвестными дает формулы коэффициентов четырехполюсника в А-форме:

A =			Z1õ Z1ê		; B = AZ 2ê ; C =	A	; D =	AZ 2õ	.
		Z 2ê	(Z1õ − Z1ê )
						Z1õ		Z1õ

10.3. Схемызамещенияпассивногочетырехполюсника

Функции пассивного четырехполюсника как передаточного звена между источником питания и нагрузкой могут выполнять простейшие электрические схемы замещения: трехлучевая звезда (Т-схема) или эквивалентный ей треугольник (П-схема), представленные на рис. 10.2, а и б.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-273-

ГЛАВА 10. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
	10.3. Схемы замещения пассивного четырехполюсника
I1	Z 1	Z2 I2	I1	Z4		I2
	I3
U1	Z3	U2	U1	Z	Z 6	U	2
				5
	аа	Рис. 10.2		б

Величины сопротивлений должны быть такими, чтобы схемы замещения обладали теми же коэффициентами, что и заменяемый четырехполюсник.

Найдем сопротивления Т-схемы, эквивалентной четырехполюснику, уравнения связи которого записаны в А-форме.

По первому закону Кирхгофа ток

I1 = I2 + I3 = I2 +	U2	+ Z 2 I2	=	1	U2	+ 1+	Z 2	I2 .
		Z 3					Z 3
				Z 3

По второму закону Кирхгофа напряжение

		Z1			Z 2
	U1 =U2 + Z 2 I2 + Z1I1 =U2 + Z 2 I2 +		U2	+ Z1 1+		I2	=
					Z 3
		Z 3

		Z1						Z1 Z 2
	= 1+		U	2	+ Z1	+ Z 2	+		I2 .
		Z 3						Z 3

Сравним полученные уравнения с уравнениями связи четырехполюсника:

U1 = AU2 + B I2 ;I1 = CU2 + D I2.

Очевидно, что A =1+

Z1

; B = Z1

+ Z 2 + Z1 Z 2 ; C =

1

Z 3

Z 3

Z 3

Из совместного решения этих уравнений получим:

Z1 =

A −1

; Z 2 =

D −1

; Z 3 =

1

.

C

C

C

; D =1+ Z 2 .

Z 3

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-274-

ГЛАВА 10. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

10.3. Схемы замещения пассивного четырехполюсника

Аналогично либо путем преобразования звезды в эквивалентный треугольник можно получить значения сопротивлений Z 4 , Z5 и Z 6 П-схемы.

10.4. Режимчетырехполюсникаподнагрузкой

Четырехполюсники, к зажимам которых подсоединена нагрузка, изображены на рис. 10.3, а и б.

1

I1

I2 2

Z

U1

П

U2

Z

2

1вх

´

2

1

´

а

1

I1

I2

2

Z

П

Z

2 вх

1

U1

U2

1

´

			2
´
	б
	Рис. 10.3

Входное сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов 1–1′, когда к зажимам 2–2′ подсоединена нагрузка (рис. 10.3, а),

Z1âõ = U1 .

I1

Подставив U1 и I1 из уравнений связи в А-форме, получим

Z1âõ = ÀU2 + ÂI2 .

CU2 + D I2

Напряжение U2 = Z 2 I2 , тогда

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-275-

ГЛАВА 10. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

10.4. Режим четырехполюсника под нагрузкой

Z1âõ =	ÀZ 2 I2 + ÂI2	=		A	Z 2 + B	.
	C Z 2 I2 + D I2
			CZ 2 + D

Входное сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов 2–2′, когда к зажимам 1–1′ подсоединена нагрузка (рис. 10.3, б),

Z 2âõ = U2 .

I2

Подставив U2 и I2 из уравнений связи в А-форме, получим

Z 2âõ = DU1 + B I1 .

CU1 + A I1

Напряжение U1 = Z1I1 , поэтому

	Z 2âõ =	D Z1I1 + ÂI1	=	D	Z1 + B .
		C Z1I1 + A I1
				CZ1 + A

На практике применяют и другие выражения входных сопротивлений. Умножив и разделив выражение Z1âõ на A и C , получим

	Z1âõ	=	A		C			A	Z 2	+ B	.
			C		A		CZ 2 + D

Умножив и разделив выражение Z 2âõ на D и C , получим

Z 2âõ = D C DZ1 + B .

C D CZ1 + A

Подставив в эти формулы выведенные ранее соотношения

Z1õ = CA , Z1ê = DB , Z 2õ = CD , Z 2ê = BA ,

запишем выражения входных сопротивлений в следующем виде:

Z1âõ	= Z1õ	Z 2	+ Z 2ê	;
		Z 2
			+ Z 2õ

Z 2âõ	= Z 2õ	Z1	+ Z1ê	.
		Z1
			+ Z1õ

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-276-

ГЛАВА 10. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

10.5. Характеристическиепараметрычетырехполюсника

Пусть Z1 и Z 2 подобраны таким образом, что Z1âõ = Z1 и Z 2âõ = Z 2 (рис. 10.3). Такую нагрузку называют согласованной, а режим– согласованным.

Согласованный режим – это режим передачи максимальной мощности. При этом режиме не возникают отраженные волны. Поэтому к согласованному режиму стремятся в цепях слабого тока (радио, телефон, телеграф, телемеханика), так как отраженный сигнал, накладываясь на основные, мешает правильной работе аппаратуры. Для достижения согласованного режима между генератором и приемником включают соответствующие четырехполюсники.

Входные сопротивления в согласованном режиме называют харак-

	теристическими и обозначают Z1ñ			и Z 2ñ :
	Z1ñ	=	AZ 2c	+ B	; Z 2ñ	=	D Z1c	+ B	.
			C Z 2c	+ D			C Z1c + A

Из совместного решения этих уравнений получим:

	Z1ñ =			A B		=			;
								Z1x Z1ê
				C D
	Z 2ñ =			D B		=				.
							Z 2x Z 2ê
				C A

У симметричного четырехполюсника A = D , поэтому Z1ñ = Z 2c =

= Z c = CB .

Следующим характеристическим параметром является постоянная передачи четырехполюсника g . Ее определяют при согласованном режиме

следующим образом:

g= 1 ln U1 I1 . 2 U2 I2

Постоянная передачи четырехполюсника является комплексной величиной:

g = a + j b ,

где а – коэффициент затухания; b – коэффициент фазы.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-277-

ГЛАВА 10. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

10.5. Характеристические параметры четырехполюсника

Коэффициент затухания

a= 1 ln U1 I1 = 1 ln S1

2 U2 I2 2 S2

характеризует изменение абсолютного значения напряжения (или тока) на выходе по сравнению с его значением на входе. Единица измерения – непер (Нп). Коэффициент затухания а = 1 Нп, если в режиме согласованной нагрузки

симметричного четырехполюсника отношение	U1	= e ≈ 2,718. В настоящее
	U2

время принята другая единица измерения, называемая белом (Б). Чаще пользуются в десять раз меньшей единицей– децибелом (дБ): 1 дБ = 0,115 Нп.

Коэффициент фазы

b= 12 (ψu1 −ψu2 )+ (ψi1 −ψi2 )

вобщем случае не является углом сдвига фаз между напряжениями и токами на входе и выходе.

Подставив в выражение постоянной передачи четырехполюсника

U1 = Z1c I1 и U2 = Z 2c I2 , получим

					2
	1		Z						Z
g =		ln		1c	I	= ln	I			1c	.		(10.1)
					1		1
	2				2
			Z 2c I2				I2		Z2c

Уравнение связи четырехполюсника в А-форме

I1 = CU2 + D I2 = C Z 2c I2 + D I2 = (C Z 2 + D) I2 .

(10.2)

Подставив уравнение (10.2) в уравнение (10.1), получим

g = ln(C Z 2 + D)		Z1c		.
		Z 2ñ

После подстановки формул характеристических сопротивлений

	Z1c =			A	B		и Z 2c =		D	B
			CD					C A

получим g = ln (AD + BC ).

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-278-

ГЛАВА 10. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

10.5. Характеристические параметры четырехполюсника

Это выражение можно записать в виде

eg

=

+

.

AD

BC

Величина e−g

является обратной eg :

1

−

e−g =

=

AD

BC

=

−

,

AD

BC

AD − BC

AD + BC

так как AD − BC =1.

Тогда гиперболические функции

chg = eg + e−g

=

;

AD

2

shg = eg − e−g

=

.

BC

2

Вычислим следующие значения:

Z1c

=

A

;

=

B

.

Z1c Z 2c

Z 2c

D

C

Умножив уравнения (10.3) на уравнения (10.4), получим:

(10.3)

(10.4)

Z1c chg = A; Z1c Z 2c sh g = B .

Z 2c

Разделив уравнения (10.3) на уравнения (10.4), получим:

Z 2c	chg = D ;		1		shg = C .
Z1c			Z1c Z 2c

Подставив коэффициенты в уравнения связи четырехполюсника, получим уравнения в гиперболических функциях:

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-279-

ГЛАВА 10. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

10.5. Характеристические параметры четырехполюсника

U

=

Z1c

ch gU

+

sh g I

;

1

2

Z

1c

Z

2c

Z 2c

2

1

Z 2c

I1

=

sh gU2

+

Z1c

ch g I2 .

Z1c Z 2c

У симметричного четырехполюсника A = D, Z1c = Z 2c = Z c . Тогда ch g = A.

Уравнения в гиперболических функциях принимают следующий вид:

U1 =ch gU2 + Z c sh g I2 ;I = 1 sh gU +ch g I .

1 Z 2 2

c

На основе теории четырехполюсника проводят анализ линий передачи электроэнергии, различных фильтров, электронных устройств.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-280-