ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

2.3. Потенциальная диаграмма

рис. 2.9. Между точками в и г, д и е нет резисторов, поэтому перемещения по оси абсцисс не происходит.

V

б
				в
a		R 1		R 2	R 3	R 4
						а	R
					е
			г

д

Рис. 2.9

Из потенциальной диаграммы можно найти напряжение между двумя любыми точками как разность потенциалов между ними.

2.4.Методырасчетатоков

2.4.1.Метод непосредственного использования законов Кирхгофа

Предварительно нужно выявить в схеме узлы и ветви. Ветвь – участок с одним током между двумя узлами. В схеме столько токов, сколько ветвей. Направления их указывают произвольно.

Число уравнений должно быть минимальным, но достаточным и равным числу неизвестных токов, т. е. m − mJ , где m – общее число ветвей в

схеме; mJ – число ветвей с источниками тока.

По первому закону Кирхгофа составляют n −1 уравнение, где n – число узлов схемы. В этих уравнения х учитывают и токи источников тока. При подготовке данных для ввода в ЭВМ известные величины записывают справа от знака равенства. Поэтому первый закон Кирхгофа формулируют следующим образом:

∑I = ∑J ,

где ∑I – алгебраическая сумма неизвестных токов ветвей в узле; ∑J – ал-

гебраическая сумма токов источников тока, присоединенных к этому же узлу.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-22-

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

2.4. Методы расчета токов

a
R1	R 2	R 3
J
E1		E 3
I1	I2	I3
b
Рис. 2.10

Недостающие уравнения дописывают по второму закону Кирхгофа. Уравнения по второму закону Кирхгофа составляют для контуров, не содержащих источников тока.

Рассмотрим применение метода для схемы рис. 2.10. Нужно определить все токи, если известны значения J, E1, E3, R1, R2 , R3.

Решение

1.Выявим узлы (а и b) и ветви.

2.Направим токи I1, I2 , I3 . Ток источника тока уже обозначен и известен.

3.Определим число расчетных уравнений:

m − mJ = 4 −1 = 3 .

4. Составим (n −1)= 2 −1 =1 уравнение по первому закону Кирхгофа:

J + I1 − I2 − I3 = 0

либо

I1 − I2 − I3 = −J .

5. Допишем два недостающих уравнения по второму закону Кирхгофа. Следует составлять уравнения для «главных», не содержащих в себе других контуров. Направление обхода разных контуров может быть разным.

Выберем направление обхода контуров по часовой стрелке. Тогда

U1 +U2 = E1 ;

−U2 +U3 = E3 .

Подставив выражения напряжений по закону Ома, получим следующую систему уравнений:

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-23-

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

2.4. Методы расчета токов

I1 − I2 − I3 = −J ;

R1I1 + R2 I2 = E1;−R2 I2 + R3I3 = E3 .

6. Решением системы находим токи.

Систему уравнений по законам Кирхгофа можно записать в матричной форме следующим образом: [a] [I ]= [F],

где [a] – квадратная матрица коэффициентов;

[I ] – матрица-столбец неизвестных токов ветвей;

[F] – матрица-столбец активных параметров, которыми являются токи

источников тока и ЭДС.

Уравнения в системе не однотипны, так как записаны на основании двух разных законов. В уравнениях по первому закону Кирхгофа коэффициенты aij

безразмерны и могут принимать значения ±1 или 0. В правой части Fj = ∑J . В уравнениях по второму закону Кирхгофа коэффициенты aij имеют

размерность сопротивления,

Fi = ∑E . Если j

– ветвь входит в i -й контур,

для которого составлено уравнение, то aij = ±Rij

не входит, aij = 0 .

Для рассмотренного примера

[a]=

1

−1

−1

[I ]=

I1

[F]=

− J

R1

R2

0

;

I2

;

E1

.

0

− R2

R3

I3

E3

Расчет по законам Кирхгофа является универсальным, но громоздким. Поэтому на его основе разработаны методы, позволяющие упростить решение.

2.4.2. Метод контурных токов

Метод используют для уменьшения числа совместно решаемых уравнений. Расчет производят для промежуточных неизвестных, которыми являются контурные токи, по уравнениям на основании второго закона Кирхгофа. Контурный ток– это нереальный, условный ток, замыкающийся по контурам схемы.

При расчете этим методом источники тока заменяют эквивалентными источниками ЭДС.

Покажем возможность такого преобразования для случая, более общего, чем рассмотренный в параграфе 2.2.

На рис. 2.11, а изображена часть разветвленной схемы с одним источником тока J, присоединенным к узлам 1 и 4. Режим в этой схеме не изм е- нится, если вместо одного источника тока J подключить три источника тока

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-24-

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

2.4. Методы расчета токов

соответственно к узлам 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, поскольку токи I22′ и I33′ равны

нулю (рис. 2.11, б). Очевидно, что схему рис. 2.11, б можно заменить эквива-

лентной ей схемой рис. 2.11, в, где Eэ1 = R1J ; Eэ2 = R2 J ; Eэ3 = R3 J . Направления контурных токов рационально выбирать одинаковыми, а

направление обхода контуров – совпадающим с направлением контурных токов.

	I	J	I	I	J	2	J	J	I
							3
1		R 1	4	1					4
			R 3			I22	I33
		R 2		R				R
									3
		2	3		1	2
							R 2	3
		a					б
		I					I	4
		1			E Э3
		R 1	E Э1
				E Э2
			2	R 2	3	R 3

в

Рис. 2.11

В этом случае можно составить трафаретную систему уравнений. Для схемы с тремя независимыми контурами она имеет вид

R11J1 − R12 J2 − R13J3 = E11;

−R21J1 + R22 J2 − R23J3 = E22 ;

−R31J1 − R32 J2 + R33J3 = E33,

где R11– собственное сопротивление первого контура, равное сумме сопротивлений резисторов этого контура; R12 = R21 – общее сопротивление первого и второго контуров; R13 = R31 – общее сопротивление первого и третьего контуров; E11 – собственная ЭДС первого контура (алгебраическая сумма ЭДС контура) и т. д.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-25-

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

2.4. Методы расчета токов

	E1		R1	I1
		J1		E3
	R 2 I2	I3	R 3
R 4	J2	R 5	J3	R 6
	I4	I5		I6
	E4		E6

Рис. 2.12

При одинаковых направлениях контурных токов по главной диагонали расположены со знаком плюс собственные падения напряжения контуров, остальные члены записаны в систему со знаком минус. Если пара контуров не имеет общего сопротивления, соответствующий член системы уравнений отсутствует.

Действительные токи находят через контурные, рассматривая каждую ветвь.

Вычислим токи схемы, приведённой нарис. 2.12. Направим контурные токи по часовой стрелке. Подставляя в трафаретную систему значения собственных и общих сопротивлений контуров, а также собственные ЭДС контуров, получаем

(R + R + R )J							1	− R J		2	− R J	3	= E − E					;
	1		2	3					2		3			1			3
−R2 J1 +(R2 + R4 + R5 )J2 − R5J3 = −E4 ;
−R J		1	− R J		2	+	(R		+ R		+ R )J		3	=	E	3	− E		.
	3			5				3		5	6							6
Решением системы найдем контурные токи.
В ветви с действительным током											I1 один контурный ток										J1. Их н а-
правления совпадают, поэтому I1 = J1.
В ветви с действительным током I2 два контурных тока:																				J1	и J2 . Ток
I2 совпадает по направлению с J2 ,									ток J1 – противоположен.											Следователь-

но, I2 = −J1 + J2 .

Вычислим остальные токи на основании аналогичных рассуждений:

I3 = −J1 + J3;I4 = −J2;I5 = J2 − J3;I6 = −J3.

Токи в ветвях, затронутых эквивалентными преобразованиями источников энергии, не равны соответствующим токам в ветвях заданной схемы и отличаются от них на токJ источника тока. Токи в ветвях исходнойсхемы можно вычислить, воспользовавшись уравнениями по первому закону Кирхгофа.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-26-