ГЛАВА 3 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.14.Электрическиецеписвзаимнойиндуктивностью

3.14.1.Основные понятия и определения

При всяком изменении магнитного потока, пронизывающего какойлибо контур, в последнем наводится ЭДС.

Если магнитный поток создан током этого же контура, то говорят о явлении самоиндукции, ЭДС самоиндукции eL и индуктивности L.

Если магнитный поток создан током другого контура, то говорят о явлении взаимоиндукции, ЭДС взаимоиндукции eM и взаимной индуктивности М.

Рассмотрим две индуктивные катушки, имеющие магнитную связь (рис. 3.52). Зажимы второй катушки разомкнуты.

Если первую индуктивную катушку подключить к источнику напряжения u1, в ней появится т ок i1 , который создает магнитный поток Ф11, часть

которого Ф12 пронизывает витки второй катушки. Часть магнитного потока замыкается по воздуху (магнитный поток рассеяния Ф1S ).

i1

R1

Ф12

	u1	Ф1S	L1
			W1

		R2
	L2				u2
	W2

Рис. 3.52

Потокосцепление самоиндукции ψ11 =W1Ф11 наводит в первой катушке

ЭДС самоиндукции e = −	dψФ	= −W	dd	11	= −L	i
	11					1	.
L	dt	1	dt		1	dt
1

Потокосцепление взаимоиндукции ψ12 =W2Ф12 наводит во второй ка-

тушке ЭДС взаимоиндукции e = −	dψФ	= −W	d	12	.
	12
М2	dt	2		dt

Коэффициент, характеризующий способность тока создавать магнитный поток в другом контуре, называют взаимной индуктивностью М.

Взаимная индуктивность

Ì 12	=	dψ12	.
		di1

Тогда eM2 = −M12 ddit1 .

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-79-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.14. Электрические цепи с взаимной индуктивностью

Уравнения электрического состояния схемы замещения цепи нарис. 3.52:

u1 = R1i1 + L1 ddit1 ; u2 = −eM2 = M12 ddit1 .

Если зажимы второй катушки замкнуть, в ней появится токi2 . Все рассмотренное ранее наблюдается и в этом случае. Ток i2 создает магнитный

поток Ф22 = Ф21 + Ф2S .

Потокосцепление самоиндукции ψ22 =W2Ô22 наводит во второй катушке ЭДС самоиндукции

e = −	dψФ	= −W	dd	22	= −L	i
	22					2	.
L	dt	2	dt		2	dt
2

Потокосцепление взаимоиндукции ψ21 =W1Ô21 наводит в первой катушке ЭДС взаимоиндукции

e М= −	dψФ	= −W	d	d			i
	21			21	= −	21	2	.
М1	dt	1		dt			dt

По принципу взаимности для линейных цепей М12 = М21 = М .

Степень индуктивной связи характеризуют коэффициентом связи k, под которым понимают отношение:

k =

M

=

M ω

=

X M

,

L

L

L

ω L ω

X

L

X

1

2

1

2

L

1

2

где X M = M ω – сопротивление взаимной индукции.

Для решения вопроса о знаках прибегают к специальной разметке зажимов индуктивно связанных катушек. Два зажима двух индуктивно связанных элементов называют одноименными, если при одинаковых направлениях токов относительно них магнитные потоки самоиндукции и взаимоиндукции складываются. Одноименные зажимы обозначают точками.

Одноименные зажимы двух индуктивно связанных элементов обладают особенностью: при увеличении тока, направленного к зажиму одного элемента, возрастает потенциал на одноименном зажиме другого элемента. Поэтому на практике одноименные зажимы определяют следующим образом (рис. 3.53):

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-80-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.14. Электрические цепи с взаимной индуктивностью

R1

R2

+						+
E	L1		L2	V
_						_

RV ∞

Рис. 3.53

1) одну индуктивную катушку подключают к источнику постоянного напряжения;

2) к другой индуктивной катушке подключают вольтметр для измерения постоянного напряжения;

3) концы индуктивных катушек, подключенные к положительному полюсу источника и к положительному зажиму вольтметра, будут одноименными, если при замыкании ключа стрелка прибора отклонится в сторону положительных значений измеряемого напряжения.

3.14.2. Анализ цепи с последовательным соединением индуктивно связанных катушек

Возможны два случая включения: согласное и встречное.

При согласном включении магнитный поток самоиндукции совпадает по направлению с магнитным потоком взаимной индукции другой катушки. Это будет при одинаковых направлениях токов относительно одноименных зажимов (рис. 3.54). Направление магнитного потока определяют по правилу буравчика или правой руки: если охватить рукой катушку (пальцы направлены по току), то большой палец покажет направление магнитного потока.

При встречном включении магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции направлены противоположно. Это будет, если токи ориентированы относительно одноименных зажимов по-разному (рис. 3.55).

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-81-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
3.14. Электрические цепи с взаимной индуктивностью
	W1		W2
	ψ11		ψ12
	ψ21		ψ22
a	b	c	d
i	i
u
	Рис. 3.54
	W1		W2
	ψ11		ψ12
	ψ21		ψ22
a	b	c	d
i		i
u
	Рис. 3.55
1. Согласное включение.
Схема замещения цепи представлена на рис. 3.56.

i	R1	L 1		R2	L 2
	uR1	u L1	uM	uR2	uL2	uM
u		u1			u2
			Рис. 3.56

Входное напряжение складывается из напряжений на двух индуктив-

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-82-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.14. Электрические цепи с взаимной индуктивностью

ных катушках. Напряжения собственной индуктивности uL и взаимной индуктивности uM имеют одинаковые знаки.

Уравнение электрического состояния в дифференциальной форме:

u = u1 +u2 = R1i + L1 ddti + M ddti + R2i + L2 ddti + M ddti .

Для комплексных значений

U =U

1

+U

2

= R I + jX

L

I + jX

M

I + R

2

I + jX

L

I + jX

M

I =

1

2

= (R1

+ R2 )+ j(X L1

+ X L2

+ 2XM ) I = Z согл I .

Комплексное сопротивление

Z согл = Rсогл + jXсогл ,

где Rсогл = R1 + R2 , Xсогл = X L1 + X L2 + 2XM .

Векторная диаграмма приведена на рис. 3.57.

2. Встречное включение.

Схема замещения цепи представлена на рис. 3.58.

Напряжения собственной индуктивности uL и взаимной индуктивности uM направлены противоположно. Уравнение электрического состояния в дифференциальной форме:

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-83-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
3.14. Электрические цепи с взаимной индуктивностью
										jX M I
					U2
							jX L I
				U		R2 I		2
U1
				jX M I
				jX L I
R1I				1
							I
				Рис. 3.57
i	R1			L 1			R2			L 2
	uR1			u L1	uM		uR2		uL2		uM
u			u1					u2
				Рис. 3.58
u = u +u		= R i + L di			− M di		+ R	i + L		di	− M di .
1	2		1	1 dt		dt	2			2 dt	dt
Для комплексных значений

U =U

1

+U

2

= R I + jX

L

I − jX

M

I + R

2

+ jX

L

I − jX

M

I =

1

1

2

= (R1

+ R2 )+ j(X L1 + X L2

− 2XM ) I = Z встрI .

Комплексное сопротивление

Z встр = Rвстр + jXвстр ,

где Rвстр = Rсогл = R1 + R2 , Xвстр = X L1 + X L2 − 2XM .

Величину сопротивления взаимной индуктивности X M и взаимной

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-84-