ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.8. Расчет цепей с несимметричной системой ЭДС

тре тяжести треугольника линейных напряжений (рис. 4.53).

4.8.2. Расчет цепей при динамической нагрузке

Для расчета цепей, содержащих трехфазные электродвигатели, используют метод симметричных составляющих.

4.8.2.1. Основные понятия

Метод основан на представлении любой многофазной несимметричной системы в виде суммы симметричных систем величин, число которых равно числу фаз. Эти симметричные системы называют симметричными составляющими. Они отличаются друг от друга порядком чередования фаз.

В симметричных системах величины равны по модулю.

Трехфазную несимметричную систему векторов можно разложить на три симметричные составляющие: прямой (рис. 4.54, а), обратной (рис. 4.54, б) и нулевой (рис. 4.54, в) последовательностей чередования фаз.

A1

A2

A0B0C0

C1	B1 C2	B2
а		б		в
	Рис. 4.54
			= a	2
При прямой последовательности чередования фаз B				A	, C			= a A .
		1		1		1		1
При обратной	последовательности	чередования	фаз		B		2	= a A	,
								2

C2 = a2 A2 .

При нулевой последовательности чередования фаз A0 = B0 = C0 .

Результирующая несимметричная составляющая векторов определяется суммой соответствующих векторов симметричных составляющих:

A = A1 + A2 + A0 ;

B = B1 + B2 + B0 = a2 A1 + a A2 + A0 ;

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-133-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.8. Расчет цепей с несимметричной системой ЭДС

C = C1 +C2 +C0 = a A1 + a2 A2 + A0 .

4.8.2.2. Разложениенесимметричнойсистемытрехвекторов насимметричныесоставляющие

Очевидно, что для разложения несимметричной системы трех векторов на симметричные составляющие достаточно найти векторы А1, А2 и А0 .

Сложим векторы А, В и С:

А = А		+ А	+ А
1		2			0
	2
+ В = а		А +	аА		+ А
		1	2	2		0
С = аА + а			А		+ А
		1		2		0

А+ В+С = 3А0 , так как (1+ а+ а2 ) = 0.

Отсюда

А

= 1 (А+ В+С).

0

3

Умножим В

на а, С

– на а2 . Сложим А и получившиеся выражения:

А = А

+ А

+ А

1

2

0

+

3

+ а

2

аВ = а

А

А

+ аА

1

2

0

а

2

3

+ а

4

+ а

2

С = а

А

А

А

___________________

1

2

0

____________________

2

так как à

3

= å

j360

= e

j0

=1, a

4

= a a

3

= a .

А+ аВ+ а

С = 3

А ,

1

Тогда

А1 = 13 (А+ аВ+ а2С).

Умножим В на а2 , С – на а. Сложим А и получившиеся выражения:

А = А1 + А2 + А0 + а2 В = а4 А1 + а3 А2 + а2 А0

аС = а2 А1 + а3 А2 + аА0

А+ а2 В+ аС = 3А2 .

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-134-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.8. Расчет цепей с несимметричной системой ЭДС

Следовательно, А2 = 13 (А+ а2 В+ аС).

4.8.2.3. Некоторые особенности трехфазных цепей в отношении симметричных составляющих

Трехфазная система ЭДС прямой последовательности чередования фаз представляет собой симметричную систему ЭДС, которая рассматривалась в п. 4.1, п. 4.2, п. 4.3, п. 4.4, п. 4.5, п. 4.6, п. 4.7. Система ЭДС обратной по-

следовательности чередования фаз аналогична, фазы В и С меняются местами по сравнению с прямой последовательностью чередования фаз.

Принципиальные особенности расчета цепей с несимметричной системой ЭДС связаны с нулевой последовательностью чередования фаз.

1. Линейные напряжения не содержат нулевой последовательности чередования фаз. Докажем это.

При соединении звездой линейное напряжение равно геометрической разности фазных:

U AB =U A −U B .

U A =U A1 +U A2 +U А0

–

U B = a2U A1 + aU A2 +U А0

U A −UB = (1− a2 )U A1 + (1− a)U A2 .

При соединении фаз обмоток генератора треугольником образуется замкнутый контур (рис. 4.55).

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-135-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.8. Расчет цепей с несимметричной системой ЭДС

A

	E	Z
	C
		0
Z	Рис. 4.55	E
		A

E

B

Z I

C B

Рис. 4. 55

Результирующая ЭДС контура равна геометрической сумме ЭДС. Для прямой последовательности чередования фаз

ЕА		+ Е	В	+ ЕС		= ЕА	+ а2 ЕА		+ аЕА		= ЕА (1+ а2		+ а)= 0.
1			1		1	1		1	1			1
Для обратной последовательности чередования фаз
ЕА	+ ЕВ		2	+ ЕС	2	= ЕА	+ аЕА		+ а2 ЕА		= Е	А (1 + а + а2 )= 0.
2						2		2		2		2
Для нулевой последовательности чередования фаз
			ЕА + Е			В + Е	С	= ЕА	+ ЕА	+ ЕА		= 3ЕА .
				0		0	0	0	0		0	0

За счет этой результирующей ЭДС в обмотках генератора возникает уравнительный ток I0 , греющий обмотки даже в режиме холостого хода:

I0 = 3EA0 = EA0 . 3Z Z

Линейное напряжение

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-136-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.8. Расчет цепей с несимметричной системой ЭДС

	U AB = EA		− Z I0 = EA − Z	EA	= 0.
				0
				Z
	0	0	0

При любом способе соединения U AB +U BC +UCA = 0. Составляющие

нулевой последовательности чередования фаз в сумме дать нуль не могут, так как они одинаковы. Поэтому в линейных напряжениях нет нулевой последовательности чередования фаз.

2. При соединении звездой четырехпроводной ток в нейтральном проводе образуют составляющие нулевой последовательности чередования фаз:

I A = I A1 + I A2 + I A0

+ I B = a2 I A1 + aI A2 + I A0 IC = aI A1 + a2 I A2 + I A0

InN = I A + IB + IC = 3I A0 .

3. При соединении фаз приемника звездой трехпроводной по первому закону Кирхгофа I A + IB + IC = 0 . Токи нулевой последовательности чередования фаз в сумме нуль дать не могут, поэтому линейные токи их не содержат.

4.При соединении фаз приемника звездой трехпроводной и симметричном приемнике фазные напряжения не содержат составляющих нулевой последовательности чередования фаз.

5.При соединении фаз приемника звездой трехпроводной при симметричной нагрузке возникает напряжение смещения нейтрали за счет составляющих нулевой последовательности чередования фаз.

4.8.2.4. Расчеттрехфазнойцеписсимметричнымприемником придействиинесимметричнойсистемыЭДС

IA	Z
A
IB	Z
B	n
I C	Z
C
InN	Z nN
N	Рис. 46. 5
	Рис. 4.56

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-137-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.8. Расчет цепей с несимметричной системой ЭДС

Трехфазные двигатели являются симметричными приемниками. Расчет при действии несимметричной системы ЭДС проводят методом

наложения.

При соединении фаз звездой четырехпроводной (рис. 4.56) схему делят на три подсхемы, в которых действуют симметричные составляющие ЭДС прямой, обратной и нулевой последовательностей чередования фаз.

При симметричном приемнике напряжение смещения нейтрали в пер-

вой и второй подсхемах не возникает, напряжения на фазах приемника равны со-

ответственно напряжениям на фазах генератора.

В первой подсхеме с прямой последовательностью чередования фаз токи по величине равны.

С учетом фазовых соотношений можно записать:

U

A

2

1

I A

=

Z a

;

IB

= a

I A

;

IC

= a I A

;

1

1

1

1

1

InN1 = I A1 + IB1 + IC1 = (1+ a2 + a)I A1 = 0.

Сопротивление токам прямой последовательности чередования фаз

Z1 =	U	A	=	U B	=	UC
		1		1		1 .
	I A			IB		IC
		1		1		1

Фазное напряжение (см. рис. 4.56)

U A = Z nN InN + Z I A .

Для первой подсхемы

U A1 = Z1 I A .

Этому выражению соответствует схема замещения, представленная на рис. 4.57, от которой можно перейти к однофазному эквиваленту (рис. 4.58).

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-138-

		ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ
		4.8. Расчет цепей с несимметричной системой ЭДС
A	IA	Z 1
	1
B		Z 1	n
				IA	Z 1
		Z 1
C				A	1
				UA1
N
				N
		Рис. 4. 57		РисРис. 4.58. 4.58
		Рис. 4.57

В подсхеме с обратной последовательностью чередования фаз расчет токов производят по формулам:

U

A

2

2

I A

=

Z a

;

IB

= a I A

;

IC

= a

I A

;

2

2

2

2

2

InN2 = I A2 + IB2 + IC2 = (1+ a + a2 )I A2 = 0.

Сопротивление токам обратной последовательности чередования фаз

Z 2 =	U	A	=	U B		=	UC			2	.
		2			2
	I A				IB			IC	2
		2		2

При статической нагрузке Z1 = Z 2 = Z . При динамической нагрузке обычно Z 2 < Z1.

IA 2	Z 2
A
UA 2
N
	Рис. 4.59

Напряжение	U A	= Z 2	I A . Этому выраже-
	2		2

нию соответствует схема однофазного эквивалента, представленного на рис. 4.59.

В третьей подсхеме действует система ЭДС нулевой последовательности чередования фаз. Ток в нейтральном проводе

InN0 = I A0 + IB0 + IC0 = 3I A0 .

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-139-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.8. Расчет цепей с несимметричной системой ЭДС

Если сопротивлением нейтрального провода не пренебрегают, то на-

пряжение U A	= Z nN 3I A	+ Z I A	.Отсюда ток I A =	U	A	.
					0
0	0	0	0	3Z nN + Z

Сопротивление токам нулевой последовательности чередования фаз

Z 0 = Z + 3Z nN.

Этим формулам соответствует схема однофазного эквивалента, представленная на рис. 4.60.

Токи в исходной схеме находят суммированием токов подсхем:

I A = I A1 + I A2 + I A0 ; IB = IB1 + IB 2 + IB0 ;

IС = IС1 + IС2 + IС0 .

A IA 0 Z 3Z nN

UA 0

N

Рис. 4.60

При соединении фаз звездой трехпроводной токи нулевой последова-

тельности чередования фаз отсутствуют, поэтому в расчете участвуют только подсхемы с прямой и обратной последовательностями чередования фаз.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-140-