ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ
		4.4. Расчет трехфазных цепей
	A	IA	R	a	X a
	B	I B	Rb		X b
					n
	C	I C	Rc		X c
	N	I nN	R nN
			Рис. 4.16
			Рис. 4. 16
Ток InN	равен геометрической сумме токов I A , IB , и IC .

Векторная диаграмма токов позволяет проверить правильность произведенных расчетов. Напомним, что углы ψu и ψi отсчитывают от положи-

тельного направления действительной оси. 1. Приемник симметричный.

Если приемник симметричный ( Z a = Z b = Z c = Z ), формула напряжения между двумя узлами может быть записана в виде

UnN = Y(U A +U B +UC ) = Y(EA + EB + EC ) = 0 .
3Y +Y nN	3Y +Y nN

Напряжение между нейтральными точками генератора и приёмника не возникает.

Напряжения генератора и приёмника соответственно равны. Линейные и фазные токи равны по величине и сдвинуты по фазе относительно друг

друга на угол 120 .

		U A			− j120		2			j120°
I A = Ia =			; IB = I A е			= a	I A;IC		= I A e		= a I A .
		Z a

Ток в нейтральном проводе

InN = I A + I B + IC = I A(1+ a2 + a) = 0 .

Топографические диаграммы генератора и приемника совпадают.

4.4.3. Соединение звездой четырехпроводной с нейтральным проводом без сопротивления

Схема замещения анализируемой цепи приведена на рис. 4.17.

По известным значениям напряжения генератора и сопротивлений фаз

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-104-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.4. Расчет трехфазных цепей

приемника нужно вычислить фазные и линейные токи, а также ток в нейтральном проводе, соединяющем нейтральные точки генератора и приемника.

	A	IA			a
					Ia
A	E	U A	a		Z
					U a
EC	N	InN		n
	EB	c		ZZb
C	U C U B	B	I c	c U c	U bIb
		IB
	IC
		Рис. 4.17

2. Приемник несимметричный.

Из схемы видно, что при соединении фаз приемника звездой фазные и линейные токи соответственно равны между собой, например, I A = Ia .

Нейтральный провод с нулевым сопротивлением соединяет нейтральные точки генератора и приемника, следовательно, их потенциалы равны

между собой: VN =Vn .

Если сопротивлением линии пренебрегают, то потенциалы начал фаз генератора и приёмника одинаковы: VA =Va ; VB =Vb ; VC =Vc . Поэтому фазные напряжения генератора и приёмника соответственно равны:

U А =Uа; U B =Ub ; UC =Uc .

Линейные и фазные токи определяют по закону Ома:

I A = Ia = U A ; IB

Z a

Ток в нейтральном проводе

	U B			UC
= Ib =	Z b	; IC	= Ic =	Z c	.

InN = Ia + Ib + Ic зависит не только от ха-

рактера и величины сопротивлений фаз, но и от схемы их включения. При перемене местами нагрузок двух фаз ток нейтрального провода может измениться в несколько раз.

Топографические диаграммы напряжений генератора и приемника совпадают. Нейтральный провод обеспечивает симметрию фазных напряжений приемника при несимметричной нагрузке.

Векторы фазных токов ориентируют относительно векторов соответст-

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-105-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.4. Расчет трехфазных цепей

вующих фазных напряжений приемника в зависимости от нагрузки фаз. Вектор тока в нейтральном проводе InN получают как геометрическую

сумму векторов фазных токов.

Векторно-топографическая диаграмма схемы рис. 4.18 представлена на рис. 4.19.

A IA

a

Ra

				X a
N	I nN			n
C	I C		Rc	X b
		c		b
	I B
B
		РисРис. .4.418. 18

+1

A a

		UA InN
+j	UCA	IB	IA
		N
		900
		n	UB	UAB
	IC
		UBC
C c	U			B b
	C
		РисРис. 4..194. 19

Топографические диаграммы генератора и приемника совпадают. Нагрузка фазы а имеет активно-индуктивный характер, поэтому вектор

тока I A отстает от вектора напряжения U A на угол ϕа , определяемый соот-

ношением сопротивлений фазы ϕа = arctg X a , т. е. являющийся аргументом

Ra

комплексного сопротивления Z a . Вектор тока IB опережает вектор напря-

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-106-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.4. Расчет трехфазных цепей

жения U B на угол ϕb = 90 . Вектор тока IC совпадает с вектором UC по на-

правлению. Вектор тока в нейтральном проводе можно построить как геометрическую сумму линейных токов.

2. Приемник симметричный.

Если приемник симметричный, токи в фазах и линиях равны между со-

бой по величине и сдвинуты относительно друг друга по фазе на 120 . Достаточно вычислить только один ток:

I A = Ia = U A .

Z a

Тогда IB = Ib = Ia e− j120 = a2 I A ; IC = Ic = I A e j120 = a I A .

Ток в нейтральном проводе InN = Ia + Ib + Ic = 0.

4.4.4. Соединение звездой трехпроводной

Схема замещения анализируемой цепи представлена на рис. 4.20.

	A		IA			a
	EA				Za	Ia
		UA	UnN			Ua
EC	N			Zc		n
		EB				Zb
						Ub Ib b C c
C	UC UB	B	IB	c Ic	Uc

IC

Рис.4.20

1. Приемник несимметричный.

Трехфазные цепи являются разновидностью цепей синусоидального тока, поэтому для их расчета пригодны все методы, применяемые в однофазных цепях. Анализируемую схему можно рассматривать как схему с двумя узлами (N и n) и рассчитывать токи в ней методом напряжения между двумя узлами. Напряжение между нейтральными точками генератора и приемника можно вычислить по формуле

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-107-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.4. Расчет трехфазных цепей

UnN = Y a U A +Y b U B +Y c UC ,

Y a +Y b +Y c

где Y a =	1	, Y b =	1	, Y c =	1	– комплексные проводимости фаз приемника.
	Z a		Z b		Z c

Линейные и равные им соответственно фазные токи можно определить по закону Ома для активной ветви:

I A = Ia = Y a (U A −UnN ); IB = Ib = Y b(U B −UnN );

IC = Ic = Y c (UC −UnN ).

Выражения в скобках являются разностью потенциалов между началами (a,b,c) и концами (n) фаз приемников, т. е. фазными напряжениями прием-

ника. Например, Ua = −UnN +U A .

Поэтому уравнения можно переписать в следующем виде:

I A = Ia = Y a Ua ; IB = Ib = Y b Ub ; IC = Ic = Y c Uc .

На основании первого закона Кирхгофа геометрическая сумма токов Ia , Ib и Ic будет равна нулю.

Уравнение Ia + Ib + Ic = 0 дает возможность проверить правильность реше-

ния.

Топографическую диаграмму строят в два этапа:

Этап 1. Построение топографической диаграммы напряжений генератора. Этап 2. Построение топографической диаграммы напряжений прием-

ника. Напряжение – разность потенциалов между двумя точками. Если известна картина распределения потенциалов различных точек схемы на комплексной плоскости, то, соединив две соответствующие точки, можно получить вектор нужного напряжения. Если сопротивлением линии пренебрегают, то на схеме замещения начала фаз генератора и приемника коротко соединяют между собой, тогда потенциалы их будут одинаковы. Точки А и a , B и b, C и c на комплексной плоскости совпадают. Между нейтральными

точками генератора N и приемника n возникает напряжение UnN . Точка n на комплексной плоскости смещена относительно точки N . Поэтому напряжение UnN называют напряжением смещения нейтрали. Точку n получим,

построив вектор UnN . Соединив точки, соответствующие началам и концам фаз приемника, получим векторы фазных напряжений приемника Ua , Ub и Uc . Система фазных напряжений приемника несимметрична.

Векторная диаграмма токов зависит от нагрузки.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-108-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.4.Расчет трехфазных цепей

2.Приемник симметричный.

Если приемник симметричный (Z a = Z b = Z c = Z, Y a = Y b = Y c = Y ), формула напряжения между двумя узлами может быть записана в виде

	UnN =	Y (EA + EB + EC )		= 0 .
		3Y
Напряжение	между нейтральными точками			генератора и	приемника
не возникает.
Напряжения	генератора и приемника соответственно равны.				Линейные и

фазные токи равны по величине и сдвинуты по фазе относительно друг друга на угол 120 .

A a

UCA	IC	UA		Ua	UAB
	N ϕ		n	IA
	ϕ	ϕ
	IB
UC	Uc			UB	Ub	B b
C c

РисРис. 4..214. 21

		U A			− j120			j120
I A = Ia =			; IB = I A e			; IC	= I A e	.
		Z a

Векторно-топографическая диаграмма для случая активноиндуктивной нагрузки построена на рис. 4.21.

Итак, напряжение между нейтральными точками не возникает при симметричной нагрузке, а также при наличии нейтрального провода с нулевым сопротивлением.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-109-