ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.4.Расчет трехфазных цепей

4.4.5.Общий случай расчета симметричных режимов

Рассмотрим конкретныйпримердля схемы, представленной нарис. 4.22. Расчет существенно упрощается при переходе к однофазному эквиваленту.

1	2	3	4
A
B
C

n

РисРис. 4..422. 22

Решение

1. Все треугольники заменим эквивалентными звездами.

При соединении фаз генератора треугольником фазные напряжения равны линейным. При соединении фаз генератора звездой фазное напряже-

ние U A = U AB3 e− j30 .

При соединении фаз приемника звездой сопротивление фазы в 3 раза меньше сопротивления фазы эквивалентного треугольника: ZY = Z3∆ .

Схема замещения получившейся цепи представлена на рис. 4.23.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-110-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.4. Расчет трехфазных цепей

A	1	2	3	4
N	B			n’
C

n

Рис. 4.23

2. Нейтральные точки N, n и n′при симметричном приемнике имеют одинаковые потенциалы, поэтому их можно соединить между собой.

IA 1	2	3		Расчет токов выполняем для одной
A				фазы, схема замещения которой пред-
				ставлена на рис. 4.24.
EA			4	Токи в фазах равны по величине
				и сдвинуты относительно друг друга по
N			n	фазе на 120 :
	n
					= a	2
Рис. 4.24
				I B			I A ;	IC	= aI A .

4.5.Анализаварийныхрежимоввтрехфазныхцепях

4.5.1.Соединение звездой четырехпроводной

1.Холостой ход одной из фаз.

Схема замещения трёхфазной цепи при обрыве в фазе а приемника изображена на рис. 4.25. Точки а, b, с, n приемника коротко соединены соответственно с точками А, В, С, N генератора, поэтому потенциалы их одинаковы. Следовательно, напряжения на фазах приемника равны напряжениям

на фазах генератора.				Ток I A = Ia = 0. Токи IB	и IC не изменятся по сравне-
нию с нормальным				режимом работы. Их	вычисляют	по закону Ома:
Iл = Iф =	Uф	.	Ток нейтрального провода вычисляют по			первому закону
	Z ф
Кирхгофа (InN			= IB + IC ) аналитически или графически.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-111-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.6. Мощности трехфазных цепей

		A				a
		UA		InN		Ua
	N					n
					Zc		Z b
C	U U		B	c	U	Ub	b
	C	B		IB	c

IC

Рис. 4.25

2. Обрыв линейного провода

Схема замещения трёхфазной цепи при обрыве линейного провода Aа изображена на рис. 4.26.

	A					a
				UA	InN		Ua
	N					n
C	U U			B	c	U	Ub	b
	C	B			IB	c
				IC
					Рис. 4.26
Ток	I A = Ia = 0 ,			поэтому	напряжение	на фазе	а	приемника
Ua = Za Ia = 0. Точки b,			с, n приемника соединены коротко соответственно

с точками B, C, N генератора, т. е. Ub =UB ; Uc =UC .

Токи IB и IC не изменятся по сравнению с нормальным режимом работы. Ток нейтрального провода равен геометрической сумме токов IB и IC :

InN = IB + IC .

Топографическая диаграмма приведена на рис. 4.27. Напряжение Ua = 0, поэтому точка а на диаграмме совпадает с точкой n.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-112-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.6. Мощности трехфазных цепей

A

	UCA	UA
			UAB
	N	n
	U	a	UB
	C		Ub
	Uc	UBC
			B b
	C c
	Рис. 4. 27
	Рис. 4.27

3. Короткое замыкание фазы.

Режим короткого замыкания одной из фаз для случая, когда пренебрегают сопротивлением фаз генератора и проводов, является чисто теоретическим. Напряжение закороченной фазы становится равным нулю, напряжения на двух других фазах не изменятся.

На практике при возникновении такой аварийной ситуации срабатывает аппаратура защиты.

4.5.2.Соединение звездой трехпроводной

1.Холостой ход одной из фаз.

Схема замещения цепи при обрыве				в фазе а	приемника	показана	на
рис. 4.28.
		A			a
			UA			Ua
	N				n	Z b
					Zc
C	U U		B	c	U	Ub	b
	C	B		IB	c

IC

Рис. 4.28

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-113-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ
4.6. Мощности трехфазных цепей
	A a
U		UA	UAB
CA	Uаa
UC		N
		UnN	UB
UBC	n	ϕb	IB
C c	ϕc		B b
Uc	IC		Ub
	РисРис..44..2929

Построение векторно-топографической диаграммы проводим в три этапа, начиная с топографической диаграммы напряжений генератора. Затем строим топографическую диаграмму напряжений приемника. Точки а, b, с приемника коротко соединены с точками А, В, С генератора, потенциалы их соответственно одинаковы, и эти точки на комплексной плоскости совпадают (рис. 4.29). Нейтральные точки генератора N и приемника n не соединены между собой. Так как сопротивление фазы а становится при обрыве бесконечно большим, приемник является несимметричным, поэтому возникает на-

пряжение смещения нейтрали UnN . Соединение звездой при обрыве одной из

фаз превращается в последовательное соединение двух других фаз. В схеме рис. 4.28 фазы b и с подключены под линейное напряжение U BC . Если с о-

противления фаз b и с одинаковы, напряжение Ub =Uc = U2BC , следова-

тельно, точка n на диаграмме находится в середине вектора U BC . Соединив точки n и N, получим вектор напряжения смещения нейтрали UnN . Соединив точки, соответствующие началам и концам фаз приемника, получим векторы фазных напряжений Ua , Ub , Uc .

Напряжение на фазе а возрастает по сравнению с симметричным ре-

жимом работы и становится равным Ua = 23 UΛ . Напряжения на фазах b и с

находятся в противофазах. Направления векторов токов определяются характером нагрузки. Ток в фазе а равен нулю. Токи в фазах b и с одинаковы по величине. С учётом направлений на схеме рис. 4.28 их можно вычислить по

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-114-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.6. Мощности трехфазных цепей

закону Ома:

IB = −IC =	U BC
	Z b + Z c

На диаграмме рис. 4.29 векторы токов IB и IC построены для случая

активно-емкостной нагрузки.

Место нахождения точки n на топографической диаграмме определяет величину и направление векторов фазных напряжений приемника. При обрыве в фазе а Z a = ∞, Y a = 0 , поэтому формула напряжения смещения

нейтрали приобретает вид:

UnN = Y bU B +Y cUC .

Y b +Y c

Проще провести анализ с помощью векторно-топографических диаграмм, так как при холостом ходе одной из фаз цепь фактически превращается в последовательное соединение двух других фаз.

Положение точки n на топографической диаграмме зависит от нагруз-

ки.

1.1. Нагрузка в фазах b и с одинакова: Z b = Z c .

Напряжения на фазах b и с не зависят от вида нагрузки в фазах и равны половине линейного напряжения.

1.2. Нагрузка в фазах b и с однородная (ϕb = ϕc ).

A a

U	UA	UAB
CA

N

UC

UnN UB

C c	n	n	n n	B b

UBC

РисРис..4..3030

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-115-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.6. Мощности трехфазных цепей

Построение векторно-топографической диаграммы для последовательного соединения фаз b и с позволяет сделать вывод, что при любом роде нагрузки в этих фазах годографом вектора напряжения смещения нейтрали яв-

ляется вектор линейного напряжения U BC (рис. 4.30). Нейтральная точка n делит вектор U BC на отрезки, пропорциональные величинам сопротивле-

ний в фазах b и с.

1.3. Нагрузка в фазах b и с приемника чисто реактивная и разнородная. Проведенный анализ показал, что годографом вектора напряжения

смещения нейтрали являются прямые, продолжающие вектор U BC влево и

вправо (рис. 4.31). Точка n смещается в сторону фазы с меньшим по модулю сопротивлением.

A a

UCA UA UAB

N

	UC	UBC	UB
n	n		n	n
	C c	Рис. 4. 31	B b
		Рис. 4.31

На рис. 4.31 вектор UnN построен для приемника, схема замещения которого приведена на рис. 4.32 (X L > X C ).

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-116-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.6. Мощности трехфазных цепей

A

		n
B	X L	X C
C	c	b

Рис. 4. 32

Рис. 4.32

1.4. Нагрузка одной из фаз чисто активная, другой – чисто реактивная. Годографом вектора напряжения смещения нейтрали является полуок-

	ружность радиусом	U л	с центром в середине вектора U BC . Для схем зам е-
		2

щения, представленных на рис. 4.33, а и б, эта полуокружность расположена выше вектора напряжения U BC . Топографическая диаграмма изображена на рис. 4.34. В случае, когда R = X , нейтральная точка приемника n смещается

вертикально вверх. Независимо от величин R и Х отношение

Uф

= 2,732

,

UnN

U

Uф

что следует из равенства UnN =

л

−

(рис. 4.34).

2

2

A

a

A

		n				n
B	R	X C		B	X L	R
C	c		b	C	c	b
		а	Рис. 4.33			б
			Рис. 4. 33

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-117-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.6. Мощности трехфазных цепей

A a

	UA
UCA	n n	UAB
n	N	n
UC	UBC	U
		B
	2
C c	UBC	B b
	0
	РисРис. 4..434.34

Для схем замещения, представленных на рис. 4.35, а и б, полуокружность расположена ниже вектора напряжения U BC .

A			A
	n				n
B	X C	R	B	R	X L
C	c	b	C	c	b
	а		Рис. 4. 35		б
			Рис. 4.35

Топографическая диаграмма изображена на рис. 4.36.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-118-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.6. Мощности трехфазных цепей

A a

UCA

UA UAB

N

UC UB

C c	0	B b
UBC		UBC
2
	n
n	n
РисРис..44..3636

При R = X точка n смещается вертикально вниз. Независимо от вели-

чин R и Х отношение	Uф	= 0,732, так как в этом случае UnN =	U	л +	Uф	.
	UnN				2
			2

1.5. Если приемник несимметричный и нагрузка в фазах b и с смешанного характера, причем род реактивной нагрузки различный, то прослеживаются следующие закономерности.

В случае, когда нагрузка в фазе b активно-индуктивная, а в фазе с – ак- тивно-емкостная, при любом соотношении параметров нейтральная точка n

смещается ниже вектора напряжения U BC . В случае, когда нагрузка в фазе b активно-емкостная, а в фазе с – активно-индуктивная, при любом соотношении параметров точка n смещается выше вектора напряжения U BC .

2. Обрыв линейного провода.	Aa приведена
Схема замещения цепи при обрыве линейного провода
на рис. 4.37.	a приемника
Ток I A = Ia = 0, поэтому напряжение на фазе

Ua = Za Ia = 0 . Потенциалы точек а и n одинаковы. Схема на рис. 4.37 пред-

ставляет собой последовательное соединение фаз b и c , подключенных под напряжением U ВС .

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-119-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.6. Мощности трехфазных цепей

	A			IA= 0		a
			UA		Za	Ua
	N				Zc	n	Z b
C	U U		B	c	U	Ub	b
	C	B		IB	c
	UBC			IC

Рис.4.37

Положение точки n на топографической диаграмме зависит от нагрузки так же, как и при обрыве в фазе. Расчет токов не отличается от рассмотренного при режиме холостого хода фазы.

При обрыве в фазе приемника напряжение на ней возрастает по сравнению с нормальным режимом работы, при обрыве в линии– cтановится равным нулю. Это дает возможность определить место аварии при отсутствии тока в фазе.

Векторно-топографическая диаграмма для случая, когда сопротивления фаз b и c одинаковы и имеют активно-емкостный характер, показана на рис.4.38.

A

	UCA		UA	UAB
		N	UB
	U
	C
	UBC		IB
C c		n	ϕb	B b
	Uc	ϕc	a	Ub
		IC

РисРис. 4..438. 38

3. Короткое замыкание одной из фаз.

Схема замещения цепи при коротком замыкании фазы а изображена на рис. 4.39.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-120-

ГЛАВА 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

4.6. Мощности трехфазных цепей

		A			a
			IA
		UA
	N				n		Z b
					Zc
C	U U		B	c	U	Ub	b
	C	B	IB		c
		IC
			Рис. 4.39
Сопротивление фазы а			Za = 0,	поэтому напряжение		Ua = Za Ia = 0 .

Построение топографической диаграммы (рис. 4.40) проведем в два этапа. Начнем с построения топографической диаграммы напряжений генератора. Потенциалы точек а и А, b и В, с и С (см. рис. 4.39) одинаковы, поэтому эти точки на диаграмме совпадают. Приемник несимметричный, поэтому между нейтральными точками генератора и приемника возникает напряжение. Точка n на диаграмме смещается относительно точки N. Так как точки а и n коротко соединены между собой, потенциалы их одинаковы и точка n на диаграмме совпадает с точкой а. Чтобы построить векторы напряжений на фазах приемника b и с, нужно соединить точки, соответствующие началам и кон-

цам фаз. Напряжение UnN =U A .

A a n

UC=Uc UAB

UCA

Ub

UA=UnN

N

UC UB

C c	UBC	B b

РисРис..44.40. 40

Из диаграммы видим, что напряжения на фазах b и с возрастают и становятся равными по величине линейным.

Токи IB и IC вычисляем по закону Ома:

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-121-