ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

2.4. Методы расчета токов

2.4.3.Метод узловых потенциалов

Вкачестве промежуточных неизвестных принимают потенциалы узлов. Потенциал – функция многозначная, поэтому потенциал одного из уз-

лов принимают равным нулю. Рационально заземлять узел, в котором сходится максимальное число ветвей.

Уравнения составляют на основании первого закона Кирхгофа. В них подставляют значения токов, выраженные по закону Ома для активной и пассивной ветвей. Число уравнений равно числу незаземленных узлов. Систему можно записать в трафаретном виде:

G11V1		−G12V2	−G13V3	− −G1mVm	= J11;
−G21V1		+G22V2	−G23V3	− −G2mVm = J22 ;
−G V		−G V	−G V	− +G V	= J	mm	,
	m1 1	m2 2	m3 3	mm m

где G11 , G22 , ..., Gmm – собственные проводимости узлов, равные сум-

ме проводимостей ветвей, соединяющихся в соответствующем узле;

G12 , G21 , G13 , ... – общие проводимости между двумя узлами, равные

сумме проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы;

J11, J22 , ..., Jmm – узловые токи, равные алгебраической сумме произ-

ведений проводимостей активных ветвей на ЭДС этих ветвей и токов источников тока, соединяющихся в этом узле.

С положительным знаком берут ЭДС и токи, направленные к узлу. Составим систему уравнений для схемы на рис. 2.13:

	R 1	1	R 3 I3	E3 2 R 6
	I1				I6
E1			R2	R 5	E6
	J2
			I2
				I5
			I4
				R 4
			4	3
			E4
			Рис. 2.13

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-27-

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

2.4. Методы расчета токов

(G +G +G )V					−G V		−0	= G E + J		2	+G E		;
	1	2	3	1	3	2		1	1		3	3
		−G3V1			+(G3 +G5 +G6 )V2		−(G5 +G6 )V3	= −G3E3 +G6E6 ;
		−0			−(G5 +G6 )V2		+(G4 +G5 +G6 )V3	= G4 E4 −G6E6 .

Решением системы уравнений определим потенциалы узлов. Затем рассчитаем токи ветвей по закону Ома:

I1 = G1(V4 −V1 + E1 ) = G1( −V1 + E1 ) , так как V4 = 0;

I2 = −G2V1; I3 = G3(V1 −V2 − E3 ) ; I4 = G4( −V3 + E4 );

I5 = G5(V2 −V3 ); I6 = G6(V2 −V3 − E6 ).

		1
R1			R3
4		E		2
R2			R 4
	E2	3
		а	R 5
			R 1	E
		4
			R 2	E2

	E	1	E
R 1			R 3
			E
4			2
R2			E
			R 4
	E2	3
		б	R5
E	R 3
1			2
3
R5	R 4
в

Рис. 2.14

Если в схеме есть ветви, сопротивление которых равно нулю, то при составлении системы уравнений для вычисления узловых потенциалов получим неопределённость, потому что проводимости таких ветвей бесконечно большие. Рассмотрим один из путей устранения этого затруднения.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-28-

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

2.4. Методы расчета токов

На рис. 2.14, а изображена схема, одна из ветвей которой содержит только идеальный источник ЭДС E без сопротивления.

Если в каждую ветвь, присоединённую, например, к узлу 1, включить источник с ЭДС, равной Е и направленной от узла 1 (рис. 2.14, б), то токи во всех ветвях останутся неизменными; так как в уравнения по первому закону Кирхгофа ЭДС не входят, а в уравнениях по второму закону Кирхгофа они друг друга компенсируют.

Теперь потенциалы точек 1 и 3 одинаковы (V1 =V3 + E − E =V3 ). Их

можно объединить в одну точку (рис. 2.14, в). Для полученной схемы можно составить два независимых уравнения для определения потенциалов узлов.

Можно поступить иначе. Если потенциал точки 3 принять равным нулю, то потенциал точки 1 будет известен, так как V1 = E . Неизвестными яв-

ляются потенциалы узлов 2 и 4, к которым не присоединены ветви с нулевыми сопротивлениями.

2.4.4. Метод напряжения между двумя узлами

Этот метод является частным случаем метода узловых потенциалов и применим для схемы с двумя узлами.

Так как потенциал одного из узлов принимают равным нулю, то потенциал второго узла равен напряжению между этими узлами.

Если принять V2 = 0, то трафаретная система даёт одно уравнение:

G11V1 = J11,

где V1 =U12 .

Формулу для определения напряжения между двумя узлами в общем виде можно записать следующим образом:

	n		m
	∑Gi Ei +		∑J j
U12 =	i=1		j=1	,
		l
		∑Gi

i=1

где Gi − проводимости ветвей; n − число ветвей, содержащих источ-

ники ЭДС с отличными от нуля проводимостями; m − число ветвей, содержащих источники тока; l − число ветвей без источников тока.

Число слагаемых в числителе равно числу активных ветвей. С положительным знаком записывают Е и J , направленные к первому в индексе напряжения узлу.

Сумма в знаменателе формулы – арифметическая.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-29-

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

2.4. Методы расчета токов

Вычислив напряжение между двумя узлами, по закону Ома для ветви следует определить токи.

2.4.5. Метод эквивалентных преобразований

Метод эквивалентных преобразований применяют как самостоятельный для расчета токов в схемах с одним источником энергии и несколькими приемниками. Его можно использовать и для упрощения частей сложной схемы при расчетах другими методами.

Все приемники заменяют одним с эквивалентным сопротивлением. При этом токи и напряжения в частях схемы, не затронутых преобразованием, должны оставаться неизменными.

Находят токи в свернутой схеме. Затем возвращаются к исходной схеме с определением остальных токов.

Преобразование схемы проводят постепенно, рассматривая участки с последовательными и параллельными соединениями приемников. Предварительно нужно выявить узлы и ветви. Элементы, принадлежащие одной ветви, соединены между собой последовательно. В них один ток. Эквивалентное сопротивление последовательно соединенных резисторов равно сумме их сопротивлений:

n

Rэ = ∑Ri .

i=1

При параллельном соединении элементы схемы замещения находятся под одним напряжением и соединены между собой двумя выходными зажимами. Эквивалентная проводимость параллельно соединенных резисторов равна сумме их проводимостей:

		1				n	1
					= ∑				.
	R						R
			э			i=1
							i
Если параллельно соединены два резистора сопротивлениямиR1 и R2 ,
эквивалентное сопротивление
R		э	=			R1 R2				.
						R + R		2
					1

При параллельном соединении n одинаковых резисторов сопротивлением R эквивалентное сопротивление

Rэ = Rn .

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-30-

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

2.4. Методы расчета токов

Если способ соединения резисторов не ясен, нужно перечертить схему, начиная с одного входного зажима и заканчивая другим, изображая узлы с одинаковыми потенциалами (соединенные ветвью без сопротивления) как один узел.

В свернутой схеме ток определяют по закону Ома: I = E .

Rэ

При возвращении к исходной схеме с определением остальных токов удобно пользоваться формулой для определения тока в одной из двух параллельно соединенных пассивных ветвей.

Ток в одной из двух параллельно соединенных пассивных ветвей пропорционален току в неразветвленной части схемы. В числителе коэффициента пропорциональности записывают сопротивление другой пассивной ветви, в знаменателе – сумму сопротивлений двух пассивных ветвей.

Рассмотрим применение этой формулы на конкретном примере. Пример. Вычислить ток I1 в схеме рис. 2.15, если известны общий ток

I и сопротивления всех резисторов.

I1 R1 R2 R3

I R

R4 R5

Рис. 2.15

Решение

Ток

	I1	=			R4	+ R5	I .
			R1	+ R2	+ R3 + R4 + R5

Если схема не содержит последовательные и параллельные соединения резисторов, необходимо соединение треугольником (рис. 2.16, а), заменить эквивалентной ему звездой (рис. 2.16, б) или выполнить обратную замену.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-31-