ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.14. Электрические цепи с взаимной индуктивностью

индуктивности М находят вычитанием из Xсогл значения Хвстр :

Хсогл = XL + XL +

2XM ;

1

2

–

Хвстр

= XL

+ XL

− 2XM ;

1

2

Хсогл − Хвстр = 4ХМ .

Отсюда ХМ =

Хсогл

− Хвстр

, а

М =

Х

М

.

4

ω

Векторная диаграмма представлена на рис. 3.59.

jX L I

− jX M I

2

=

− jX M I

jX L I

1

U

I

R I

1

=

U2

U1

R2 I

Рис. 3.59

На участке цепи может наблюдаться емкостный эффект, если M > L. Реактивное сопротивление всей цепи в целом имеет индуктивный характер, так как М не может быть одновременно больше L1 и L2 , L1 + L2 ≥ 2M .

На приведенной диаграмме взаимная индуктивность M > L1 , но

M < L2 .

3.14.3. Анализ цепи с параллельным соединением индуктивно связанных катушек

Схема замещения анализируемой цепи представлена на рис. 3.60. Входное напряжение связано сразу с токами в двух пассивных парал-

лельных ветвях, поэтому выведенные ранее формулы эквивалентных преобразований не пригодны.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-85-

Z 1 = R1 + jX L1

L1

Рис. 3.60

i 1

R1

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.14. Электрические цепи с взаимной индуктивностью

Выведем формулу Z э с помощью уравне-

ний, составленных по законам Кирхгофа для комплексных значений. Будем одновременно рассматривать согласное и встречное включения.

Введем обозначения:

– комплексное сопротив-

ление первой индуктивной катушки;

Z 2 = R2 + jX L2 – комплексное сопротив-

ление второй индуктивной катушки;

Z М = jX M – комплексное сопротивление

i

M u

взаимной индуктивности.

Система уравнений по законам Кирхгофа имеет следующий вид:

I − I1 − I2 =U;Z1I1 ± Z M I2 =U;Z 2 I2 ± Z M I1 =U,

где знак плюс относится к случаю согласного включения. Выразим из уравнения (3.3) ток

I2 = U ZZ2M I1 .

Подставив это выражение в уравнение (3.2), получим:

Z1I ± Z M U ZZ M I1 =U .

2

Умножим левую и правую части на Z 2 :

Z1 Z 2 I1 ± Z M U − Z 2M I1 = Z 2 U1 .

	Отсюда I1 =	Z 2 Z M	U .
		Z1 Z 2 − Z 2M

Подставив значение I1 в выражение (3.4), получим:

	I2 =	Z1 Z M	U .
		Z1 Z 2 − Z 2M

i 2 R2

L2

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-86-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.14. Электрические цепи с взаимной индуктивностью

Входной ток I = I1 + I2 = Z1 + Z 2

Z1 Z 2 −

Отсюда Z э =	Z1 Z 2 − Z 2M	.
	Z1 + Z 2 2Z M

2Z M			U
Z 2M	U	=	Z э	.

Знак минус в знаменателе относится к случаю согласного включения.

Если Z M

, то Z э =

Z1 Z 2

U

U

= 0

Z1

+ Z 2

, I1

=

Z1

,

I2

=

Z 2

.

Векторная диаграмма представлена на рис. 3.61 (согласное включение) и рис. 3.62 (встречное включение).

					U
		I1					jX	M	I
									2
					jX L1 I1					jX M I1
	I2			R I
				1	1
			I		jX L	I2
		R2 I2			2
			Рис. 3.61
						− jX M I1				− jX M I2
			U
		I	jX L	I2
I2		1	2
									jX L I1
R2 I2		I			R1I1					1

Рис. 3.62

Вектор ± jX M Ik перпендикулярен вектору тока	Ik , а не вектору тока
рассматриваемой ветви.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-87-

ГЛАВА 3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.14. Электрические цепи с взаимной индуктивностью

3.14.4. Расчет электрических цепей при наличии взаимной индуктивности

При наличии взаимной индуктивности токи в ветвях зависят от токов других ветвей, поэтому для расчета можно использовать только методы непосредственного использования законов Кирхгофа и контурных токов, в которых эти зависимости учитываются.

В общем случае направление напряжения U M , обусловленного взаимной индуктивностью, можно определить по правилу: ток Ik и напряжение jM ωIk одинаково направлены относительно одноименных зажимов индук-

тивных элементов. Это правило дает возможность составить уравнение по второму закону Кирхгофа в случае, когда нельзя определить характер включения индуктивных элементов (согласное или встречное).

Чтобы устранить ограничения, накладываемые на методы расчета, прибегают к развязке магнитных связей, т. е. к замене цепи с взаимной индуктивностью ей эквивалентной, но без магнитных связей. Магнитная развязка применима для узлов, в которых сходятся не более трех ветвей (рис. 3.63).

Составим систему уравнений по законам Кирхгофа:

I1 + I2 − I3 = 0;

R1I1 + jX L1 I1 ± jX M I2 =U13;R2 I2 + jX L2 I2 ± jX M I1 =U23.

(3.5)

(3.6)

(3.7)

Подставив в уравнения (3.6) и (3.7) выражения «лишних» токов, найденные из уравнения (3.5), получим:

R1I1 + j (X L1 X M )I1 ± jX M I3 =U13 ;

R2 I2 + j (X L2 X M )I2 ± jX M I3 =U23 .

Этим уравнениям соответствует схема замещения без магнитных связей, представленная на рис. 3.64.

Правило развязки: если в узле сходятся три ветви и две из них индуктивно связаны, то для развязки в первые две ветви добавляют индуктивный элемент с сопротивлением ±ХМ, а в третью ветвь – элемент с сопротивлением

±ХМ. Верхние знаки относятся к случаю, когда в узле соединены одноименные зажимы индуктивно связанных элементов.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-88-