4.5. Середня арифметична проста і зважена.

Одним з найбільш поширених видів середньої є середня арифметична. Вона застосовується у тих випадках, коли обсяг варіюючої ознаки для всієї сукупності формується як сума значень ознаки у окремих одиниць сукупності, що вивчається.

Середня арифметична буває двох видів: проста і зважена.

Середня арифметична проста визначається виконанням двох простих операцій – складанням значень варіантів і діленням одержаної суми на їх кількість. Позначивши варіанти через х₁, х₂ і т.д., розрахунок середньої арифметичної можна подати за такою формулою:

Наприклад: Вік робітників однієї бригади будівельників становить 30, 34, 36, 40, 42, 45, 49, 52 років. Розрахувати середній вік будівельників.

Середній вік становить 41 рік.

Наведений вище розрахунок середньої можна дещо спростити: перед сумуванням помножити варіанти на частоти, тобто на число, що показує скільки раз цей варіант зустрічається у ряді розподілу. Таке множення варіантів на їх частоти у статистиці називається зважуванням, а розрахована на цій основі середня – середньою арифметичною зваженою.

Наприклад: Тарифний розряд робітників бригади, яка складається з восьми чоловік, складає:

Тарифний розряд робітників	2	3	4	5	6	Всього
Число робітників, чол.	-	2	4	2	-	8

Обчислити середній розряд робітників бригади.

Рішення : якщо частоти (ваги) позначити через f, то формула середньої арифметичної зваженої матиме такий вигляд:

Часто вирахування середніх величин здійснюється за даними не тільки дискретних, але й інтервальних рядів розподілу, коли варіанти ознаки подаються у вигляді інтервалу. В такому випадку, для обчислення середньої, спочатку потрібно перетворити інтервальний ряд в дискретний, для чого по кожній групі визначають середину інтервалу. Середина інтервалу розраховується як півсума його верхньої та нижньої межі. Після того, як знайдено середини інтервалів, подальші розрахунки здійснюються так само, як і в дискретному варіаційному

Наприклад: в таблиці 5.3. наведено розподіл робітників підприємства на групи в залежності від рівня продуктивності праці.

Визначити середній виробіток продукції у цілому по підприємству.

Таблиця 5.3.

Розподіл робітників підприємства в залежності від рівня продуктивності праці

Середній виробіток продукції на 1 робітника, грн.	Кількість робітників (f), чол.	Середина інтервалу (х), грн.	Хf, Тис.грн.
800 – 1000 1000 – 1200 1200 – 1400 1400 – 1600 1600 – 1800 1800 – 2000	20 80 160 90 40 10	900 1100 1300 1500 1700 1900	18 88 208 135 68 19
Разом	400	-	536

У наведеному прикладі середній виробіток по підприємству становить:

0. Математичні властивості середньої арифметичної та її розрахунок.

Середня арифметична має ряд математичних властивостей, важливих для спрощеного її обчислення. Найбільш важливі з них такі:

1. Добуток середньої на суму частот завжди дорівнює сумі добутку варіантів на частоти. Тобто:

2. Якщо від кожного значення варіанти відняти будь-яке довільне число А, то одержана середня арифметична зменшиться на те ж число. Тобто:

3. Якщо до кожного значення варіанти додати будь-яке число А, то середня арифметична збільшиться на це ж число. Тобто:

4. Якщо кожне значення варіанти помножити на довільне число А, то середня арифметична збільшиться у стільки ж раз. Тобто:

5. Якщо кожне значення варіанти поділити на довільне число А, то середня арифметична зменшиться у стільки ж раз. Тобто:

6. Якщо всі частоти поділити або помножити на будь-яке число, то середня арифметична від цього не зміниться.

7. Сума відхилень варіант від середньої величини завжди дорівнює нулю:

8. Сума квадратів відхилень варіант від середньої буде менше за будь-яку іншу величину:

Середню арифметичну можна розрахувати також способом відліку від умовного нуля, або способом моментів. Його використовують у рядах з рівними інтервалами і розрахункова формула має такий вигляд:

де m₁ – це момент першого порядку, і розраховується за формулою:

Методика обчислення середньої способом моментів:

1. від кожної варіанти відняти постійне число “А” (значення варіанти з найбільшою частотою);

2. поділити отримані варіанти на постійне число “і” – величину інтервалу;

3. отримані варіанти помножити на відповідні частоти “f” і розрахувати момент першого порядку;

4. розрахувати середню арифметичну.

Наприклад: За даними проведеного обстеження самостійної підготовки студентів до семінарських занять розрахувати середню кількість хвилин самопідготовки (таблиця 5.4)

Таблиця 5.4.

Розподіл студентів за кількістю хвилин,

що витрачаються на самопідготовку.

Кількість хвилин, що витрачаються на самопідготовку	Кількість студентів, чол	Середина інтервалу	Х1 = х – А А = 30	і = 10	х'f
5 – 15 15 – 25 25 – 35 35 – 45 45 – 55	10 12 25 22 16	10 20 30 40 50	-20 -10 0 10 20	-2 -1 0 1 2	-20 -12 0 22 32
Всього	85	-	-	-	-32 22 54