4.10. Види дисперсій та правило їх додавання.

Варіація ознаки формується під впливом різних факторів, серед яких можна виділити випадкові та систематичні. Отже, варіація може бути ви­падковою, що викликана дією випадкових причин, та систематичною, ви­кликаною дією постійних причин, факторів. Визначити кожну з них та їх роль в загальній варіації можна за допомогою дисперсійного аналізу.

Загальна дисперсія, яку ми уже розглянули, характеризує загальну ва­ріацію ознаки під впливом всіх умов і причин, що викликали цю варіацію.

Для визначення впливу постійного фактора на величину варіації по­трібно розчленувати всю сукупність на групи та визначити, як зміниться загальний результат під впливом фактора, покладеного в основу групу­вання. Для цього попередньо необхідно обчислити по кожній групі серед­ню величину ознаки, групові (часткові) дисперсії, середню з групових та міжгрупову дисперсії.

Групова (внутрішньо групова, часткова) дисперсія дорівнює середньому квадрату відхи­лень окремих значень ознаки у середині групи від середньої арифметичної відповідної групи. Вона може бути обчислена як середня проста і як зва­жена за формулами:

Ця дисперсія відображає варіацію ознаки лише за рахунок умов і при­чин, діючих у середині групи.

Середня з групових (часткових) дисперсій - це середня арифметична, зважена з групових дисперсій:

Міжгрупова дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень групових середніх від загальної середньої. Її формула:

- міжгрупова дисперсія;

- середня кожної окремої групи;

- загальна середня всієї сукупності;

- частоти (ваги).

Міжгрупова дисперсія характеризує варіацію результативної ознаки за рахунок групувальної ознаки.

Між наведеними видами дисперсій існує певне співвідношення: за­гальна дисперсія дорівнює сумі середній з групових дисперсій та між групової дисперсії:

Це співвідношення називають правилом додавання дисперсій. За його допомогою, знаючи два види дисперсій, можна визначити третій вид. Чим більший вклад міжгрупової дисперсії у загальну дисперсію, тим сильніший вплив групувальної ознаки.

У статистичному аналізі широко використовується показник, що виражає частку міжгрупової дисперсії в загальній дисперсії. Він називається емпіричним коефіцієнтом детермінації і позначається як .

Коефіцієнт детермінації говорить про те, яка питома вага всієї варіації ознаки обумовлена ознакою, що покладена в основу групування. Корінь квадратний з емпіричного коефіцієнта детермінації називається кореляційним відношенням, яке показує тісноту зв’язку між групувальною та результативною ознаками.

4.11. Дисперсія альтернативної (якісної) ознаки.

Серед варіюючих ознак, які вивчає статистика є такі ознаки, варіація яких проявляється в тому, що у одних одиниць сукупності вони є, а в інших їх немає. Наприклад, за місцем проживання все населення поділяється на міське та сільське; вчений ступінь у викладачів ВУЗів – доцент, професор та ін. Тобто, альтернативні ознаки – це ознаки, які мають одні одиниці сукупності і не мають інші.

Наявність альтернативної ознаки проявляється у значенні 1.

Відсутність альтернативної ознаки проявляється у значенні 0.

Частка одиниць, що володіють досліджуваною ознакою, позначається “р”.

Частка одиниць, що володіють досліджуваною ознакою, позначається “q”.

Значить:

p + q = 1 , звідси q = 1 – p

Розрахуємо середнє значення альтернативної ознаки:

Варіанта (х) Частка

1. q

2. р

————————————.

Всього: 1

Таким чином, середнє значення альтернативної ознаки дорівнює частці (р) одиниць, що володіють цією ознакою.

Обчислимо дисперсію альтернативної ознаки:

або . Таким чином, дисперсія альтернативної ознаки дорівнює добутку частки одиниць, які володіють цією ознакою, на частку одиниць, що нею не володіють.

Оскільки p + q = 1 (і не може бути більше), то дисперсія альтернативної ознаки не може перевищувати 0,25 (0,5 ∙ 0,5).

Наприклад: З 1000 перевірених деталей три виявились браковані. Розрахувати дисперсію альтернативної ознаки.

Р – це частка бракованих деталей. Р = 3/1000 = 0,003

q = 1 – p = 1 – 0,03 = 0,997

σ² = pq = 0,003 ∙ 0,997 = 0,003

Дисперсія бракованих виробів становить 0,003.