4.8. Поняття варіації та її основні показники.

Варіація - це коливання, мінливість значень будь-якої ознаки що є властивістю статистичної сукупності. Варіація зумовлена дією безлічі взаємопов'язаних причин, серед яких є основні і другорядні. Основні причини формують центр розподілу, другорядні — варіацію ознак, сукупна їх дія — форму розподілу.

Для виміру і оцінки варіації використовують систему абсолютних і відносних характеристик. До абсолютних характеристик відносяться: розмах варіації; середнє лінійне і середнє квадратичне відхилення; дисперсія. До відносних відносяться коефіцієнти варіації: коефіцієнт осциляції; квадратичний коефіцієнт варіації; лінійний коефіцієнт варіації.

Розмах варіації — це різниця між максимальним та мінімальним значеннями ознаки у сукупності. Показник характеризує межі, в яких змінюється значення ознаки. Розраховується розмах варіації за формулою:

R = x_max - x_min

Наприклад, вік робітників однієї бригади будівельників становить 25, 30, 34, 38, 45 років. Розмах варіації становить 45 – 25 = 20 років.

В інтервальному ряді розподілу розмах варіації визначають як різницю між верхньою межею останнього інтервалу і нижньою межею першого або як різницю між середніми значеннями цих інтервалі.

Дисперсія (σ²) – це середній квадрат відхилень. Це безрозмірна величина, яка на має економічного змісту та самостійного значення і являється показником, який необхідний для розрахунку середнього квадратичного відхилення.

Середнє квадратичне відхилення – це корінь квадратний з дисперсії. Характеризує величину на яку в середньому всі варіанти “х” відрізняються від середньої арифметичної величини. Чим менше варіація, тим менше значення середнього квадратичного та середнє лінійного відхилення. Чим менше середнє квадратичне відхилення, тим повніше середня арифметична відображає всю сукупність.

В таблиці 6.1. наведено розрахунок абсолютних характеристик варіації.

Таблиця 6.1.

Обчислення абсолютних характеристик варіації.

Показник

Середнє відхилення

Дисперсія

Лінійне

Квадратичне

За даними:

Не згрупованими

Згрупованими

4.9. Математичні властивості дисперсії та способи її обчислення.

Дисперсія (середній квадрат відхилень) має ряд математичних властивостей, вираховування яких дозволяє значно спростити її обчислення. Перелічимо їх:

Якщо всі значення ознаки “х” зменшити (або збільшити) на постійне число “А”, дисперсія не зміниться.
Якщо всі значення ознаки “х” змінити у “А” раз (помножити, поділити), то дисперсія збільшиться (зменшиться) у “А²” раз.

Якщо всі частоти замінити частками, значення дисперсії не зміниться.
Дисперсія від любої величини “А” (яка хоч трохи відрізняється від середньої арифметичної), завжди буде більше дисперсії розрахованої від середньої арифметичної.

при чому буде більше на певну величину – квадрат різниці середньою і цією величиною А : (х – А)². Тоді це можна виразити так:

Дисперсію можна також розрахувати як різницю квадратів: це різниця між середнім квадратом значень варіюючої ознаки та квадратом середнього значення середньої.