4.6. Середня гармонічна та умови її застосування.

За своїми властивостями середня гармонічна застосову­ється тоді, коли загальний обсяг ознаки формується як сума зворотних значень варіантів. Середня гармонічна це величина обернена середній арифметичній, її розраховують із обернених значень ознаки.

Наприклад: Витрати робочого часу на виготовлення 1 деталі трьома робітниками становили ½, 1/3, ¼ години. Це означає, що кожен з них за 1 годину виробив 2, 3, 4 деталі відповідно. Середня кількість деталей вироблених трьома робітниками = (2+3+4) /3 = 3 деталі. В середньому на виготовлення 1 деталі витрачалось 1/3 години (обернений показник), тобто:

Ширше застосовується середня гармонічна зважена , яка розраховується за формулою:

; z = xf

Її застосовують тоді, коли показник, що виступає статистичною вагою “f”, відсутній і його слід додатково визначити на основі відомих варіант “х” і добутку варіант на частоту “xf”.

Наприклад: Виходячи з даних таблиці 5.5. потрібно розрахувати середню урожайність картоплі по двом областям в цілому.

Таблиця 5.5.

Область	Середня урожайність, ц/га.	Валовий збір, тис.т
Чернівецька Чернігівська	158,7 127,3	508 1309
Разом	-	1817

Складемо логічну формулу по розрахунку середньої урожайності:

(ц/га)

В даному прикладі був невідомий знаменник, а в цьому випадку застосовується формула середньої гармонічної зваженої. Середня урожайність картоплі в середньому по двом областям становить 134,7 ц/га.

4.7. Порядкові середні величини.

Середні арифметична і гармонічна є узагальнюючими характеристиками сукупностей за тією чи іншою варіюючою ознакою. В той же час для характе­ристики структури цих сукупностей застосовуються особливі показники, які називають у статистиці порядковими середніми. Зокрема, це мода і медіана.

Мода (Мо) - це значення варіанти, що найчастіше зустрічається в даній сукупно­сті (ряді розподілу). У варіаційному ряді це буде варіанта, що має найбільшу частоту.

У дискретному ряді моду легко відшукати візуально, бо це варіанта, якій відповідає найбільша частота. Наприклад, під час реєстрації жіночого взуття проданого протягом одного дня в одній із секцій магазину, було встановлено, що найбільш ходовим у день реєстрації виявився розмір 23,5, тобто у цьому випадку мода дорівнює 23,5 (таблиця 5.6.).

Таблиця 5.6.

Розподіл проданого жіночого взуття за розміром.

Розмір взуття	22,0	22,5	23,0	23,5	24,0	24,5	25 і >	Разом
Кількість пар,	15	36	70	102	93	76	58	450

Інколи зустрічаються ряди розподілу, в яких не одна, а дві варіанти од­наково модальні, тобто мають найбільші частоти. Це значить, що є дві моди, і розподіл тут бімодальний. Бімодальні розподіли вказують на якісну неод­норідність сукупності за досліджуваною ознакою.

В інтервальному ряді легко відшукується лише модальний інтервал, а сама мода визначається за формулою:

де х₀ – нижня межа модального інтервалу;

і – величина інтервалу;

f₁ - частота перед модального інтервалу;

f₂ – частота модального інтервалу;

f₃ - частота після модального інтервалу.

Медіана (Me) - це значення варіанти, що знаходиться в сере­дині упорядкованого варіаційного ряду, тобто ділить його на дві рівні части­ни: одна частина має значення варіюючої ознаки менше, ніж середня, а друга - більше.

В дискретному ряді розподілу, який має непарну кількість варіант і дані не згруповані, медіаною буде центральна варіанта. Якщо дискретний ряд розподілу має парну кількість варіант і дані не згруповані, то медіана розраховується як середня арифметична з двох варіант, які знаходяться у середині ряду.

Для визначення медіани за даними розподілу використовують накопичувальні (кумулятивні) частоти. Накопичувальні частоти розраховуються шляхом нагромадження частот, розпочинаючи з мінімального значення варіанти. У статистиці це називається акумуляція частот. Кумулятивні частоти полегшують пошук центральної варіанти, яка знаходиться наступним чином:

1. Загальна сума частот ділиться на два;

2. До одержаного результату додається 1;

3. З рядка накопичувальних частот відшукують значення, яке буде найбільш близьке до одержаного попередньо результату;

4. Значення варіанти (або інтервал значень), що відповідає знайденій накопичу вальній частоті і буде медіаною (або медіанним інтервалом).

Конкретне значення медіани розраховується за формулою:

де х₀ – нижня межа медіанного інтервалу;

∑f – сума частот;

S₀ – накопичувальна частота перед медіанного інтервалу;

F_Ме – частота медіанного інтервалу.

Використовуючи дані таблиці 5.3 розрахуємо медіану середнього виробітку продукції на одного робітника.

Мода і медіана, на відміну від степеневих середніх є конкретними хара­ктеристиками варіаційного ряду, мають певні значення, тому їх ще назива­ють описовими характеристиками, їх описовий характер пов'язаний з тим, що в цих величинах не погашаються індивідуальні відхилення, як це відбу­вається в середніх. Вони завжди відповідають повній варіанті. Мода і ме­діана не є типовими характеристиками в тих випадках, коли досліджуються сукупності однорідні і з великою чисельністю одиниць.