И. В. Богомаз. Механика

Измеряем модуль равнодействующей R и угол между осью x и R . Сравниваем полученные результаты.

6.2. Условия равновесия системы сходящихся сил

Аналитическое условие равновесия. Пусть на абсолютно твер-

дое тело действует система сходящихся сил. Тогда для равновесия этой системы сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействую-

щая системы R была равна нулю, т. е.

R = ∑Fi = 0.

Это условие равновесия в векторной форме. В проекциях на оси декартовых координат условия равновесия системы сил представляют так:

Rx = ∑Fix = 0; Ry = ∑Fiy = 0; Rz = ∑Fiz = 0,

т. е. для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из осей координат была равна нулю. (Для плоской системы сил в проекциях будут только два условия равновесия). Например, аналитическое условие равновесия системы сил на рис. 6.6, а имеет вид

а

б

Рис. 6.6

124

				6. Система сходящихся сил
		F	= 0,	S2 + S1 cos 78°− S3 cos 50°− Sn = 0;
Rx = 0,	∑ ix
	→	F	= 0.	→
Ry = 0,				S1 sin 78°+ S3 sin 50°− P = 0.
	∑ iy

Геометрическое условие равновесия системы сходящихся сил. Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный на этих силах, как на сторонах, был замкнутым. Построим силовой многоугольник для системы сил (рис. 6.6, а).

Из точки С (рис. 6.6, б) проводим прямую, параллельную линии действия силы S1, и откладываем отрезок вдоль этой линии, равный модулю этой силы, далее через его конец проводим прямую, параллельную линии действия силы S2 (угол между линиями действия сил S1

иS2 равен 78°) и откладываем на ней отрезок, равный модулю силы S2,

ит. д. Если силы S1, S2, S3 … Sn в равновесии, то силовой многоугольник получится замкнутым.

Пример 6.1. Шар весом Р =10 кН подвешен на нерастяжимой нити в точке А и удерживается горизонтальной нерастяжимой нитью, привязанной в точке В, угол α = 60 (рис. 6.7, а). Вычислить реакции связей.

Решение. Выделим шар, отбросим связи и заменим их силами натяжения TA и TB (рис. 6.7, а, б). Тогда на шар будут действовать три силы: вес Р (внешняя сила) и две реакции связей. Все силы пересекаются в точке О (центр шара) и лежат в одной плоскости (рис. 6.7, б).

а

б

в

Рис. 6.7

125

И. В. Богомаз. Механика

Совместим прямоугольную систему координат с точкой О и запишем условия равновесия:

∑Fix = 0,	−TA sin α +TВ = 0,
	→	TA cos α − P = 0.
∑Fiy = 0.

Решая полученную систему уравнений, имеем

T =	P		=	10	= 20	кН, T =	P sin α	= 5 0,87 =8,7 кН.
A	cos	α	0,5			В	cos α	0,5

Проверим полученный результат графически. Строим силовой многоугольник (рис. 6.7, в). Совмещаем начало системы координат с точкой пересечения линий действия сил, т. е. с точкой О. Из точки О проводим прямую, параллельную линии действия вектора силы Р, и откладываем на ней 5 масштабов, затем через начало и конец вектора Р проводим прямые, параллельные линиям действия TA и TВ до их

пересечения между собой. Силовой многоугольник, составленный из этих сил, замкнутый; равнодействующая этих сил равна нулю; силы Р, TA и находятся в равновесии. Измерив стороны построенного си-

лового треугольника в масштабе силы Р, определим реакции TA и TB. Подтвердим полученный результат теоремой синусов:

P

=

TВ

=

TA

,

откуда

sin 30°

sin 60°

sin 90°

P

P sin 60°

= 5 0,87 =8,7 .

T =

= 2P ,

T

=

A

sin 30°

В

sin 30°

0,5

Ответ: TA = P = 20 кН, TB = 8,7 кН.

Пример 6.2. На нерастяжимой нити АВС в её середине подвешен груз весом Q. Точки А и С, расстояние между которыми , находятся на горизонтальной прямой (рис. 6.8, а).

Смещение точки В от прямой АС равно z. Вычислить натяжение нити в зависимости от отношения 2 / z .

126

6. Система сходящихся сил

а

б

в

Рис. 6.8

Решение. Рассмотрим геометрию задачи. Из ∆AOB (рис. 6.8, б) вычислим гипотенузу АВ и тригонометрические функции угла α, как

функции аргумента

/ z :

AB =

z

2

2

2z 2

+

=

+1;

2

2

sin α =

AO

=

2

=

1

;

AB

2z

2

2z

2

2

+1

+1

cos α =

z

=

2z

.

AB

2z

+1

Рассмотрим равновесие узла В: вырежем узел (рис. 6.8, в), отбросим связи, заменим отброшенные связи реакциями. Силы натяжения TA, TC (реакции связей) направлены вдоль нитей АВ и ВС к точкам подвеса А и С. Совместим прямоугольную систему координат с точкой В. Запишем условия равновесия аналитически и решим полученные уравнения:

∑Fx = 0, (−TA +TС )sin α = 0 →TA =TС ≡T;

127