14. Внецентренное сжатие или растяжение

14. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ ИЛИ РАСТЯЖЕНИЕ

14.1. Определения. Условия прочности

Нагрузим брус силой F, приложенной параллельно оси бруса в точку с координатами {xF, yF} (рис. 14.1). Точку с этими координатами назовем полюсом.

При параллельном переносе силы F в точку центра тяжести поперечного сечения С возникнет две присоединенные пары, изгибающие брус в двух плоскостях: в плоскости yz пара, момент которой M x′ = F yF ; в плоскости xz пара, момент которой M ′y = F xF . Внут-

ренние усилия в любом сечении будут состоять:

•из продольной силы N(N = F), линия действия которой совпадает с осью бруса;

•из момента Mx, изгибающего брус в плоскости yz;

•из момента My, изгибающего брус в плоскости xz.

Эти три усилия совместно с внешними силами и парами сил, действующими на отсеченную часть бруса, должны обеспечить равновесие любой отсеченной части бруса.

Следовательно, внецентренное сжатие (растяжение) можно представить как сочетание центрального сжатия (растяжения) и изгиба в двух плоскостях, т. е. косого изгиба.

Рис. 14.1

305

И. В. Богомаз. Механика

Нормальные напряжения в любой точке сечения будут определяться по формуле

σ =	N	+	M	x	y +	M y	x ,	(14.1)
	A					J y
			Jx

где A – площадь поперечного сечения бруса; х и у – координаты исследуемой точки бруса.

ПодставимзначениявнутреннихусилийN, Mx, My в(14.1), получим

N

M

x

y

M y

x =

F

F y

F

y +

F x

F

F

σ =

+

+

+

=

1

+

A

J

J

A

J

J

x

y

x

y

A

Здесь iy =

J y

; ix =

J

x

– радиусы инерции.

A

A

y	F	y		x	F	x
			+				.
	i2				i2
		x				y

(14.1′)

Итак, напряжения, возникающие

в

исследуемой

точке бруса

с координатами {x, y}, будут иметь вид

F

y

F

y

x

F

x

(14. 1" )

σ =

1

+

+

.

i2

i2

A

x

y

Знак «минус» перед формулой (14. 1" ) используется в том случае, если нагрузка F сжимающая, а знак «плюс», если F растягивающая. Координаты полюса {xF, yF} и координаты исследуемой точки{x, y} нужно подставлять в это уравнение с учетом знаков относительно выбранной системы координат.

Вычислим уравнение нейтральной линии. Для этого приравняем уравнение (14. 1" ) к нулю, так как на нейтральной линии σ = 0:

1+	yF yo	+	xF xo	= 0 →	yF	ay +	xF	ax = −1.	(14.2)
	ix2		iy2		ix2
							iy2

Здесь xO ≡ ax и yO ≡ ay – отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях Cx и Cy (рис.14.2). Эти отрезки вычисляют из (14.2), положив поочередно xO = 0, yO = 0:

	iy2		i2
ax = −		, ay = −	x	.	(14.3)
	xF
			yF

306

14. Внецентренное сжатие или растяжение

Рис. 14.2

Из (14.3) следует, что нейтральная линия пересекает координатные оси в точках, принадлежащих квадранту, противоположному тому, в котором приложена сила. Для материалов, плохо сопротивляющихся растяжению, при работе бруса на внецентренное нагружение возникают растягивающие напряжения, что нежелательно.

Условия прочности по предельным состояниям. Для бруса из

хрупкого материала (чугун, бетон, кирпич и др.) при внецентренном сжатии условия прочности по предельным состояниям имеют вид

1

F

x

F

x

y

F

y

σ

= −

1

+

1

+

1

≤ R

,

i2

c

A

i2

uc

y

x

(14.4)

F

2

x

F

x

y

F

y

2

σ

= −

1

+

2

+

≤ R ,

i2

t

A

i2

ut

y

x

где {x1, y1} и {x2, y2} – координаты опасных точек сечения бруса, как наиболее удаленные точки от нейтральной линии; Ruc и Rut – расчетные сопротивления материала сжатию и растяжению (устанавливаются по пределу прочности σu материала).

При расчете бруса из пластичного материала ( Ruc = Rut ≡ R ) ис-

пользуется одно из условий для точки, наиболее удаленной от нейтральной линии.

307

И. В. Богомаз. Механика

При расчете однородного бруса на прочность при вненцентренном нагружении отпадает необходимость в построении эпюр внутренних силовых факторов, так как все сечения равноопасны.

Пример 14.1. Короткая чугунная стойка (рис. 14.3) сжата силой F, приложенной в точке D. Требуется вычислить положение нейтральной линии и определить несущую способность стойки, если расчетное сопротивление материала сжатию Rc = 120 МПа, растяжению Rt = 30 МПа.

Решение. Вычислим геометрические характеристики поперечного сечения (рис. 14.3).

Для этого разобьем сечение на два прямоугольника. Сечение симметрично, следовательно, координаты центра тяжести всего сечения {0, yc}. Введем вспомогательные оси Ox'yc. Вычислим относительно этих осей yc.

Имеем

A1 = 5 12 = 60 см2 , yc1 =10 + 2,5 =12,5 cм;

A = 4 9,5 = 40 см2	, y	c2	= 1	10 = 5 cм.
2			2

Площадь всего сечения

A = A1 + A2 = 60 + 40 = 100 см2.

Рис. 14.3

308

14. Внецентренное сжатие или растяжение

Координата центра тяжести сечения

∑

S ′

A

y

+ A

y

60

12,5 + 40

5

y

=

x i

=

1

c1

2

c2

=

= 9,5см.

A1 + A2

100

c

∑Ai

Совмещаем систему координат Сxсyc с центром тяжести сечения, проводим центральные оси, которые являются также главными осями

(рис. 14.4).

Вычислим осевые моменты инерции относительно главных осей

Сxсyc:		Jx = (Jx1 + a12 A1 )+(Jx2 + a22 A2 )=
	12 53	2			4 103			2			4
=		+3	60	+			+ 4,5		40	=1808см		,
	12				12
	J y = J y1 + J y2			= 5 123 +			10 43		= 773,3см4 .
					12		12

Рис. 14.4

309

И. В. Богомаз. Механика

Квадраты радиусов инерции:

2

J

x

1808

2

2

J y

773,3

2

ix

=

=

=18,08см

;

iy

=

=

= 7,73см

.

A

100

A

100

Вычислим положение нейтральной линии. Координаты полюса D: xF = –6 см, yF = 5,5 см. Отрезки, отсекаемые нейтральной линией от осей координат, определим согласно формуле (14.3)

	iy2		7,73		i2		18,08
ax = −		= −		=1,3 см; ay = −	x	= −		= −3,3см.
	xF		−6				5,5
					yF

Отложим вычисленные отрезки на соответствующих осях с учетом знаков, построим нейтральную линию сечения (рис. 14.5).

Запишем условия прочности для внецентренно сжатой стойки и определим ее несущую способность. Проводим параллельно нейтральной линии касательные к контуру сечения. Наиболее удаленные от нейтральной линии точки будут являться опасными точками: это точки

D{–6; 5,5} и K {6; 0,5}.

Вычислим напряжения в опасных точках D и K (рис. 14. 4):

F

xF

xD

yF

yD

F

(

−6

)

(

−6

)

+ 5,5 5,5

F

σD

= −

1

+

+

= −

1

+

= −7,33

;

2

2

A

7,73

18,08

A

A

iy

ix

F

xF

xK

yF

yK

F

(

−6

)

6

5,5 0,5

F

σK

= −

1+

+

= −

1+

+

= 3,504

.

2

2

A

7,73

18,08

A

A

iy

ix

Запишем условия прочности для каждой опасной точки:

σ	D	=	−7,33	F		≤ R , σ	K	= 3,504	F	≤ R ,
				A		c			A	t

откуда допускаемая нагрузка для сжатой Fс и растянутой Ft частей сечения будет

310