15. Устойчивость сжатых стержней

Вычислим величину коэффициента запаса устойчивости:

K = FFcr = 378200 =1,89.

Ответ: коэффициент запаса устойчивости стержня K = 1,89, что находится в пределах рекомендуемых значений.

15.8. Принципы рационального проектирования сжатых стержней

В основе рационального проектирования сжатых стержней лежат два принципа: равноустойчивость и экономичность.

Для обеспечения равноустойчивости сжатого стержня необходимо, чтобы гибкости в главных плоскостях были равны, т. е.

λx = λy.

(15.25)

Для этого при проектировании сечений стержней нужно стремиться к равенству главных моментов инерции:

Jmax ≈ Jmin (или imax ≈ imin ).

Нерационально применять такие формы сечений, у которых максимальный и минимальный моменты инерции значительно отличаются друг от друга (например, прямоугольное, двутавровое). Однако для стержней подобных сечений можно добиться равноустойчивости в главных плоскостях λx ≈ λy , если их по-разному закрепить

в этих плоскостях (рис. 15.9).

Исходя из условия (15.25) можно найти рациональное соотношение между радиусами инерции и размерами сечения:

	i	x	=	μy	,	(15.26)
	iy			μx

где μx и μy – коэффициенты приведения длины в плоскостях xOz

и yOz.

333

И. В. Богомаз. Механика

Рис. 15.9

Например, для стойки (рис. 15.9)

	i	x	=	μy	=	2	= 2,86 .
	iy			μx		0,7

Для прямоугольного сечения радиусы инерции

ix = JAx = h12 ; iy = JAy = b12 .

Вычислим рациональное соотношение между шириной h и толщиной b стойки.

Имеем

	ix	=	h		12	= h	= 2,86 → h = 2,86b.
	iy		12		b
						b

С позиции затрат материала (экономический фактор) сечение тем оптимальнее, чем больше его минимальный момент инерции Jmin (или imin) при одной и той же площади А. Этого можно добиться концентрацией материала по периферии сечения, т. е. проектируя сечение по-

334

15. Устойчивость сжатых стержней

лым. Указанным требованиям равноустойчивости и экономичности удовлетворяют тонкостенное трубчатое сечение, а также коробчатые тонкостенные сечения. Однако при проектировании необходимо предусмотреть постановку диафрагм (ребер жесткости), которые препятствуют короблению стенок.

а

б

Рис. 15.10

Полые сечения рационально компоновать из прокатных профилей (рис. 15.10) и полосовой стали, соединяемых по всей длине сваркой. В этих случаях хотя и не удается в точности выдержать условие (15.25), тем не менее при рациональном расположении сечения добиваются более оптимального экономичного решения.

Практический расчет сжатых стержней на устойчивость.

При расчете сжатых стержней на прочность требовалось выполнение условия

σ =	F	≤ R .	(15.27)
	A

При потере устойчивости сжатого стержня напряжения в его поперечных сечениях становятся равными критическим. Поэтому необходимо ввести в расчет коэффициент запаса устойчивости К по отношению к критическим напряжениям, тогда условие устойчивости таково:

σ′ =	F	≤	σcr
	A			.	(15.28)
			K

Коэффициент запаса устойчивости принимается несколько большим коэффициента запаса прочности. Это объясняется невозмож-

335

И. В. Богомаз. Механика

ностью точного учета случайных факторов, снижающих величину критической силы (эксцентриситеты, начальная кривизна стержня).

Введем обозначения

φ =		σ			=	σ	cr	.
				′
Отсюда		σ				KRc
	σcr			= φ R .					(15.29)
	K						c

Тогда с учетом (15.29) условие устойчивости при расчете по методу предельных состояний будет иметь вид

σ =

F

≤ φ R .

(15.30)

A c

где φ – коэффициент, уменьшающий расчетное сопротивление материала сжатию Rc, называемый коэффициентом продольного изгиба.

Он всегда меньше единицы и зависит от материала и гибкости стержня. Значения φ приводятся в виде таблиц в нормах проектиро-

вания (в СНиПах). В табл. 15.1 приведены значения коэффициента φ для стали.

			Таблица 15.1
Коэффициент ϕ продольного изгиба центрально сжатых стержней
	по СНиП 11–23–81
Гибкость	Сталь с расчетным сопро-	Гибкость	Сталь с расчетным сопро-
λ	тивлением R = 200 МПа	λ	тивлением R = 200 МПа
10	0,988	120	0,479
20	0,967	130	0,425
30	0,939	140	0,376
40	0,906	150	0,328
50	0,869	160	0,290
60	0,827	170	0,259
70	0,782	180	0,233
80	0,734	190	0,210
90	0,665	200	0,191
100	0,599	210	0,174
110	0,537	220	0,160

336

15. Устойчивость сжатых стержней

Условие (15.30) позволяет производить три вида расчета, аналогичные расчетам на прочность:

1.Проверка устойчивости выполняется непосредственно по формуле (15.30) при известных величинах сжимающей нагрузки, расчетного сопротивления материала R, площади сечения А, длины стержня A и способах его закрепления, благодаря чему определяется гибкость λ и по табл. 15.1 коэффициент φ.

2.Определение несущей способности проводится по известным размерам сечения стержня, его длине, способам закрепления и расчетному сопротивлению материала:

F ≤ φ R γc A.

(15.31)

3. Подбор сечения осуществляется по заданной нагрузке, расчетному сопротивлению материала R, известной длине стержня, способам закрепления его концов и выбранной форме поперечного сечения:

A ≥	F	.	(15.32)
	φ R γc

В это неравенство входят две неизвестные А и φ, которые нельзя выразить одну через другую. Поэтому подбор выполняется методом последовательных приближений. При этом задаются величиной коэффициента φ.

Обычно в первом приближении принимают φ1 = 0,5 ÷0, 6 и вы-

числяют площадь сечения А по формуле (15.32), затем радиус инерции i, гибкость стержня λ и соответствующее ей действительное значение ϕ1′ (табл. 15.1). Если величины φ1 и ϕ1′ существенно отличаются

друг от друга, то существенно будут отличаться действительное напряжение в стойке σ = F/A и допускаемое R φ1′. Поэтому расчет нуж-

но продолжить. Во втором приближении принимают

	φ2	=	φ1 +φ1′	.	(15.33)
			2

Последующие приближения делают аналогично.

Сечение считают подобранным удовлетворительно, если σ и R φ1′ отличаются не более, чем на 5 %.

337

И. В. Богомаз. Механика

Если в состав сечения входит прокатный профиль, то сходимость обычно имеет место лишь на первых итерациях. Затем ввиду дискретности сортаментного набора наступает этап скачкообразных изменений, поэтому на заключительных стадиях подбора сечения необходимо осуществить проверку устойчивости для некоторых ближайших прокатных профилей. В этом случае недонапряжение может оказаться и более 5 %.

Пример 15.3. Стальной стержень коробчатого сечения (рис. 15.11), имеющий длину = 4,5 м, сжат продольной силой F = 200 кН. Определить размер b поперечного сечения стержня. Расчет вести с помощью коэффициента продольного изгиба φ. Расчетное сопротивление материала R = 210 МПа, коэффициент условий работы γc = 0,9.

Решение. Запишем условие устойчивости

σ = FA ≤ ϕ R γc ,

откуда необходимая площадь поперечного сечения стержня равна

A ≥ ϕRF γc .

Рис. 15.11

338

15. Устойчивость сжатых стержней

Вэтой формуле две неизвестных величины – площадь сечения А

икоэффициент продольного изгиба φ. Поэтому решать задачу будем методом последовательных приближений, задаваясь величиной коэффициента φ.

Выразим геометрические характеристики поперечного сечения

игибкость стержня через размер b.

A = b2 −(0,7b)2 = 0,51b2 ,

тогда размер сечения b = A	.
	0,51

Момент инерции и радиус инерции относительно главных осей:

J =	b4		−	(0,7b)4			= 0,063b			4	,
	12				12
i =	J	X	=			0,063b4			= 0,35b .
	A					0,51b2
Гибкость стержня λ = μ l					= 0,5 450				= 643.
			i			0,35 b			b

Необходимую площадь сечения А и размер b найдем путем последовательных приближений.

Первое приближение. Задаем φ1 = 0,5, тогда

A ≥	F				=			200		103			= 21,2 см2	,
	ϕ R γc					0,5 210				102
1												0,9
	b =				A1		=	21,2 = 6,44 см.
	1	0,51						0,51
При этом гибкость стержня такова:
	λ = 643							=	643		=100.
		1				b1		6, 44

По табл. 5.1 для гибкости λ = 100 найдем ϕ1′ = 0,599 .

339

И. В. Богомаз. Механика

Коэффициенты φ1 и ϕ1′ существенно отличаются друг от друга,

следовательно, выбор неудачен. Действительно, расчетное напряжение в стержне

	σ =	F	=	200 103	= 94,3 МПа.
		A		21,2 10−4
		1

Допускаемое напряжение на устойчивость

ϕ1′ R γc = 0,599 210 0,9 =113, 2 МПа.

Недогрузка составляет	113, 2 −	94,3	100% =16,7% > 5%, следо-
	113,	2

вательно, нужно уменьшить площадь. Второе приближение. Принимаем

ϕ2 = ϕ1 +ϕ1′ = 0,5 +0,599 = 0,55. 2 2

			200 103
Повторим расчет:	A ≥			=19, 24 см2 ;
	2	0,55	210 102 0,9

b =	A2	=	19, 24 = 6,14 см.
2	0,51		0,51

Гибкость стержня λ2 = 6,14643 =104,7.

Используя линейную интерполяцию, по табл. 15.1 находим, что

ϕ′2 = 0,599 − 0,599 −0,537 (104,7 −100) = 0,569. 10

Проверим выполнение условия устойчивости:

	σ =		200 103		=104 МПа < ϕ′2 R γc = 0,569 210 0,9 =107,5МПа.
		19, 24		10−4

340

15. Устойчивость сжатых стержней

Рис. 15.12

Условие устойчивости выполняется, недогрузка составляет

3,3 %.

Ответ: окончательно принимаем площадь сечения A = 19,24 см2 и размер b = 6,14 см.

Очередное сообщение представительcтва регионального управления МЧС: «В пятницу утром, 26 ноября 2010 г. в Карелии обрушился мост через реку Кемь» (рис. 15.12).

Возможно, от порыва ветра (V = 21 мс) потеряли устойчивость стержни верхнего пояса фермы?!

341