13. Изгиб бруса

13. ИЗГИБ БРУСА

13.1. Поперечный изгиб

В поперечном сечении балки при поперечном изгибе одновременно с изгибающим моментом возникает поперечная и сила

(рис. 13.1).

Прямолинейный брус, работающий на изгиб, называют балкой. Изгиб вызывают силы, перпендикулярные продольной оси z, или пары сил, лежащие в плоскостях, проходящих через ось z (рис. 13.2, а, б). Сама ось z, прямолинейная до деформации, при изгибе становится кривой линией. При этом волокна, расположенные в выпуклой части изогнутой балки, растягиваются, а в вогнутой – сжимаются.

Рис. 13.1

а

б

Рис. 13.2

Основные допущения. Нанесем на боковую поверхность балки сетку ортогональных линий и изогнем балку (рис. 13.3, а, б). В результате деформирования балки можно видеть:

273

И. В. Богомаз. Механика

Рис. 13.3

•продольные волокна искривляются по дуге окружности: одни укорачиваются, другие удлиняются; между ними есть слой волокон, которые не меняют своей длины – нейтральный слой, линию его пересечения с плоскостью поперечного сечения называют нейтральной осью (рис. 13.3, в);

•расстояние между продольными волокнами не меняется;

•поперечные сечения, оставаясь прямыми, поворачиваются на некоторый угол (рис. 13.3, б).

Если мы возьмем любое поперечное сечение (рис. 13.3, г), то действующие на него внутренние силы направлены в одну сторону выше нейтрального слоя и в другую – ниже нейтрального слоя. Воз-

никает пара сил, которая создает изгибающий момент Mx. Этот момент изгибает поперечное сечение относительно нейтрального слоя.

Относительное удлинение слоя A' B ', удаленного на расстояние y

от нейтрального слоя АВ (рис. 13.4) при θ 1, равно

		S	′ ′ − S	AB		(ρ+ y)θ−ρθ				y
ε =	=		A B		=			=			= K ,
			SAB			ρθ				ρ
где SAB – длина дуги нейтрального слоя АВ;							S ′ ′		– длина дуги слоя
							A B		1
A' B '; ρ – радиус кривизны нейтрального слоя; K =											– кривизна ней-
									ρ

трального слоя.

274

13. Изгиб бруса

Рис. 13.4

Получили, что деформация слоя A' B ' линейно зависит от его координаты y, отчитываемой от нейтральной линии.

Записывая закон Гука, имеем

σz = εE =	y	E.	(13.1)
	ρ

Итак, для вычисления величины напряжения σz в любом слое плоского сечения, удаленного от нейтральной линии на y, нужно знать радиус кривизны нейтрального слоя.

Вычислим нормальные напряжения с точках плоского сечения в зависимости от изгибающего момента Mx.

Нормальное напряжение в сечении при поперечном изгибе.

Рассмотрим статическую часть задачи применительно к сечению на рис. 13.4, б. Имеем

	→ ∫σz dA = 0,
∑Fz = 0
		A
		→ ∫σz x dA = 0,
∑M y = 0
		A
		→ ∫σz y dA = 0.
∑M x = 0
		A

Из первого уравнения системы (13.2)

∫A σz dA = Eρ ∫A y dA = 0 → ∫A y dA = 0 → Sx

(13.2)

= ∫y dA = 0.

A

275

И. В. Богомаз. Механика

Получили, что статический момент относительно нейтральной линии x равен нулю (Sx = 0). Это значит, что нейтральная линия проходит через центр тяжести поперечного сечения. Следовательно, нейтральная ось является центральной.

Из второго уравнения системы (13.2) имеем

∫A σz x dA = Eρ ∫A yx dA = 0 → J yx = ∫A yx dA = 0.

Полученный интеграл Jyx называется центробежным моментом поперечного сечения А. Если он равен нулю, это значит, что оси xy являются главными центральными осями сечения А.

Из последнего уравнения системы (13.2) имеем

M x = ∫σz y dA =	E	∫y	2	dA =	E	Jx .	(13.3)
	ρ				ρ
A		A

Здесь Jx = ∫y2 dA – осевой момент инерции.

A

Решая совместно уравнения (13.1) и (13.3), получим формулу для нормальных напряжений

σz =	M x	y .	(13.4)
	Jx

Формула (13.4) позволяет вычислять нормальные напряжения в любой точке поперечного сечения балки (удаленной от нейтральной оси на y), при этом изгибающий момент в сечении Mx и координату точки y удобно брать по абсолютному значению, а знак σ устанавливать из характера деформирования балки.

Напряжение σz максимально в точке, наиболее удаленной от нейтральной оси ymax:

		σz =	M x	ymax =	M x	,
			Jx		Wx
где W =	Jx	– осевой момент сопротивления сечения, который ха-
x	ymax

рактеризует сопротивляемость балки изгибу, измеряется в см3, зависит от формы и размеров поперечного сечения (табл. 13.1).

276

13. Изгиб бруса

Таблица 13.1

Поперечное сечение

Момент сопротивления Wx

Осевой момент инерции Jx

W =

bh2

,

J

x

=

bh3

,

x

6

12

Wy =

bh2

J y

=

bh3

,

6

12

Wy =Wx

≈ 0,1d 3

J y = J x

≈ 0,05d 4

πD3

4

πD4

(1−α

4

),

Wy =Wx = 32 (1−α

) ,

J y = Jx =

64

α =

d

α =

d

D

D

Эту точку (эти точки) будем называть опасной точкой (опасными точками).

Пространственная эпюра σ изображена на рис. 13.5.

Рис. 13.5

277

И. В. Богомаз. Механика

Из анализа формулы (13.4) следует:

1. Напряжения σz изменяются по высоте сечения линейно.

2. По ширине сечения σz распределена равномерно (не зависит от координаты x).

3. Напряжение σz характеризует сопротивляемость балки изгибу, измеряется в см3, зависит от формы и размеров поперечного сечения

(табл. 13.1).

4. Напряжение σz = 0 при y = 0, т. е. на нейтральной оси. Числовые значения для Jx и Wx для различных сечений выбира-

ют из таблиц в справочниках (здесь табл. 13.1) или из Сортамента

(здесь в табл. 13.2, 13.3).

Для справки отметим, что осевым моментом инерции сечения относительно данной оси называется сумма произведений элементарных площадок dA на квадраты их расстояний до этой оси (рис. 13.5):

N	N
Jx = ∑yi2 Ai ,	J y = ∑xi2 Ai .
i=1	i=1

Здесь N число элементарных площадок.

При N → ∞ Jx = ∫y2dA, J y = ∫x2dA.

A A

Таблица 13.2

Уголки стальные горячекатаные равнополочные

(по ГОСТ 8509–86)

					b – ширина полки;									Ixy – центробежный мо-
					t – толщина полки;									мент инерции;
					А – площадь поперечного									I – момент инерции;
					сечения;									i – радиус инерции.
	Номер	Масса	Размеры		2		4			Ix	0	max	,	ix	0	max ,	Iy	0(	min ,		iy	(min),		I	xy		,
												( )				( )			)		0
	уголка	1 м,	b	t	А, см	Ix, см		ix, см		см4					см		см4				см			см4
		кг
	1	2	3	4	5	6		7				8				9		10			11		12
	2	0,89	20	3	1,13	0,40		0,59		0,63				0,75			0,17				0,39		0,23
		1,15		4	1,46	0,50		0,58		0,78				0,73			0,22				0,38		0,28

278

13. Изгиб бруса

Таблица 13.3

Двутавры стальные горячекатаные (по ГОСТ 8239–89)

			h – высота двутавра;					А – площадь поперечного
			b – ширина полки;					сечения;
			s – толщина стенки;					I – момент инерции;
			t – средняя толщина					W – момент сопротив-
			полки;					ления
Номер	Масса			Размеры, мм				А, см2		Ix, см4	Wx, см3
	1 м, кг	h		b	s		t
двутавра
10	9,46	100		55	4,5		7,2	12		198	39,7
12	11,5	120		64	4,8		7,3	14,7		350	58,4

Полярным моментом инерции сечения относительно центра О (полюса) называется взятая по всей его площади A сумма произведений элементарных площадок dA на квадраты их расстояний ρ до этой точки:

N

Jρ = ∑ρi2 Ai .

i=1

При N → ∞ Jρ = ∫ρ2dA, Jρ = J у + J х.

A

Центробежным моментом инерции сечения относительно осей координат Ox и Oy называется взятая по всей его площади A сумма произведений элементарных площадок dA на их расстояния до этих осей:

N

Jxy = ∑xi yi Ai . i=1

При N → ∞ Jxy = ∫x y dA.

A

Оси координат, относительно которых центробежные моменты инерции равны нулю, называются главными осями.

279

И. В. Богомаз. Механика

Момент инерции сечения относительно оси можно представить в виде произведения площади сечения на квадрат величины, называе-

мой радиусом инерции:

Jx = ix2 A; J y = iy2 A → ix =	Jx	; iy =	J y	.
	A		A

Единицы измерения радиуса инерции: см, м.

Моменты инерции относительно осей x1, y1, параллельных центральным осям x, y, вычисляются по формулам Шредера-Гюйгенса:

Jx = Jx +a2 A;	J y = J y +b2 A;	Jx y = Jxy + abA,
1	1	1	1

где а, b – расстояние между осями x1 и x, y1 и у соответственно; А – площадь сечения.

Из этих формул следует, что минимальными по величине момент инерции будет относительно центральной оси.

Значения моментов инерции и других геометрических характеристик для прокатных профилей (двутавры, швеллеры, уголки и т. д.) находят в сортаменте (таблицы прокатных профилей, поставляемых металлургическими заводами в соответствии с требованиями ГОСТов).

Касательные напряжения при изгибе. Формула Журавского.

Введем гипотезы о характере распределения касательных напряжений в поперечном сечении балки:

1.Касательныенапряженияτyz всюдупараллельныQy (рис. 13.6).

2.Касательные напряжения τyz равномерно распределены по ширине сечения (на уровне y).

Отсечем верхнюю часть элемента балки dz, проведя горизонтальную плоскость на расстоянии y от нейтрального слоя (рис. 13.6).

Растягивающая сила N, действующая на отсеченную часть с правой стороны, больше, чем с левой, на величину

dN =

∫

dσ dA =

∫

d M x

y d A =

d M x

∫

y d A,

(13.5)

J

x

1

J

x

1

A отс. ч

A отс.ч

A отс.ч

где ∫ y1 d A = Sxотс.ч – статический момент отсеченной части относи-

Aотс.ч

тельно нейтральной оси z.

280

13. Изгиб бруса

Рис. 13.6
Поэтому
dN =	dM x	Sxотс.ч .	(13.6)
	Jx

Для того чтобы отсеченная часть элемента dz находилась в равновесии, в продольном сечении должны быть приложены касательные напряжения τyz, которые создают касательную (сдвигающую) силу dT.

Запишем условие равновесия:

∑Fz = 0 → dT = dN .	(13.7)
Сдвигающая сила dT вычисляется по формуле
dT = τzy by dz ,	(13.8)

где by – ширина сечения в той точке, где вычисляется касательное напряжение. По закону парности τyz = τzy = τ.

С учетом формул (13.6) и (13.7) выражение (13.8) перепишется:

τzybydz =		M x			Sxотс.ч
или		Jx
	dM x			Sxотс.ч
τyz =
						.	(13.9)
	dz
				by Jx
							281

И. В. Богомаз. Механика

Поскольку ddMz x = Qy , окончательно имеем

τyz =	Qy		Sxотс.ч
				.	(13.10)
	by
			Jx

Формулу (13.10) называют формулой Журавского, который впервые установил наличие касательных напряжений при изгибе и показал, что в некоторых случаях разрушение балок происходит не от разрыва волокон, а от нарушения сопротивления сдвигу.

Заметим, что принципиально безразлично, брать ли Sxотс.ч за-

штрихованной части или всей остальной части сечения, так как по абсолютному значению они равны: их сумма дает статический момент всего сечения относительно оси x, который равен нулю.

Анализ формулы Журавского. Из формулы (13.10) видно, что распределение касательных напряжений по высоте сечения зависит от его формы, т. е. от величины Sxотс.чby .

Рассмотрим прямоугольное сечение. Момент инерции сечения

J x = bh312 . Через произвольную точку k (рис. 13.7, а), отстоящую от

нейтральной оси на расстоянии y, проведем сечение, параллельное оси x. Ширина сечения by = b. Площадь отсеченной части, расположенной выше сечения,

Aотс.ч = b ( h2 − y ) ;

Рис. 13.7

282

13. Изгиб бруса

координата ее центра тяжести
	(	h	− y)	= 1 ( h + y) ;
y = y +		2
1			2	2	2

статический момент отсеченной части относительно нейтральной оси

Sотс.ч

= y A

=

b

(

h2

(13.11)

2

4

− y2 ) .

x

1 отс.ч

Подставляя полученные значения в (13.10), получим

τyz =

Qy Sxотс.ч

=

Qy b 2(h2

4 − y2 )

=

6Qy

(h4

4 − y2 ).

(13.12)

by Jx

b

b h3

12

bh3

Формула (13.12) показывает, что касательные напряжения по высоте сечения изменяются по закону квадратичной параболы (пере-

менная). При y = ± h2 в крайних волокнах τyz = 0, τ = 0, а при y= 0 на уровне нейтральной оси τyz = τmax:

τmax = 23bhQ = 32QA .

На рис. 13.7, б дан общий вид эпюры τ, знак напряжения τ не имеет принципиального значения, и его обычно не указывают.

Сопоставление наибольших нормальных и касательных на-

пряжений при изгибе. На рис. 13.8 изображены эпюры σz и τyz для прямоугольного сечения.

При сравнении эпюр σ и τ видно, что касательное напряжение

τmax возникает в тех точках, где σz = 0 (на нейтральной оси); касательные напряжения τyz = 0 в крайних точках сечения, где σmax.

Рассмотрим балку, нагруженную силой F. Пусть длина балки много больше высоты прямоугольного сечения, т. е. h (рис. 13.9).

В опасном сечении (заделки) Mmax = F , Qy = F. Тогда отношение σmax / τmax в опасном сечении будет равно:

283

И. В. Богомаз. Механика

M max

F

σmax =

=

;

W

x

b h2 6

σ

6F

2 bh

4

4

→

max

=

=

→ σmax =

τmax .

3Q

3F

bh2

3 F

h

h

τ

ma x

=

=

.

τmax

2A

2bh

Получили, что при

h , имеем 4

>>1, тогда σmax >> τmax .

h

Рис. 13.8

Рис. 13.9

284