13. Изгиб бруса

В случаях, когда длина балки много больше высоты и ширины сечения ( h ), возникающие нормальные напряжения при изгибе значительно больше касательных напряжений. Вследствие этого касательными напряжениями в таких случаях можно пренебречь.

13.2. Расчеты на прочность при изгибе

Балки из материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (сталь), проектируются симметричными относительно оси x (рис. 13.10, а).

Условие прочности для балок из материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (сталь), имеет вид

σmax =	Mmax	ymax =	Mmax	≤[σ],	(13.13)
	Jx		Wx

где Mmax – наибольший по абсолютному значению изгибающий мо-

мент от нагрузок; [σ] – допускаемое напряжение; W =	Jx	– момент
x	ymax

сопротивления поперечного сечения балки.

Характер распределения σ(y) для симметричных сечений представлен на рис. 13.10, а, б.

а б в

Рис. 13.10

285

Mmax

И. В. Богомаз. Механика

Из эпюры σ(y) видно, что материал, расположенный у нейтральной оси, нагружен очень мало (рис.13.10, б). В целях экономии и снижения веса балок следует выбирать такие формы сечения, чтобы большая часть материала была удалена от нейтральной оси (на рис. 13.10, а пунктирные линии) – рациональная форма. Двутавровое сечение более экономично, чем прямоугольное (рис. 13.10, а, в).

Возьмем две одинаковые прямоугольные балки, закрепленные одним концом в неподвижной опоре с разной геометрией (рис. 13.11) и приложим к свободным концам силу F. Возможные разрушения могут произойти в опасном сечении, совпадающем с заделкой, изгибающий момент Mx, создаваемый силой F в обеих балках, равен

= F и не зависит от закрепления.

В первом варианте (рис. 13.11, а) балка изогнется при сравнительно небольшой величине силы F. Во втором варианте (рис. 13.11, б) для достижения того же результата понадобится значительно большая сила. В первом случае деформируемые слои материала балки в сечении ближе расположены к нейтральной оси х, а во втором – дальше. Из предыдущего материала известно, что нейтральная ось (нулевая линия) – это геометрическое место точек поперечного сечения, в которых нормальные напряжения равны нулю.

Поскольку основное сопротивление изгибу оказывают наиболее удаленные от нейтральной линии слои материала, целесообразно при изгибе ориентировать сечения балки так, чтобы в плоскости изгиба лежали точки сечения, наиболее удаленные от нейтральной оси. Следовательно, сечение на рис. 13.11, б, более рационально расположено, чем сечение на рис. 13.11, а.

а

б

Рис. 13.11

286

13. Изгиб бруса

Рис.13.12

Способность поперечного сечения сопротивляться деформации изгиба характеризуется осевым моментом сопротивления изгибу Wx Величина Wx зависит от формы и размеров поперечного сечения и от его ориентации по отношению к изгибающей силе. На рис. 13.12 приведена диаграмма соотношения моментов сопротивления Wx и Wy для некоторых профилей проката, широко применяющихся в практике.

Из диаграммы видно, что отношение Wx / Wy колеблется в пределах от 1 до 7. В связи с этим для рационального использования материала в строительных конструкциях с нагрузками в плоскости zy профиль проката следует располагать рационально, т. е. так, чтобы момент сопротивления относительно плоскости изгиба yz был макси-

мальным (Wxmax ), а плоскости xy – минимальным (Wymin ). Для стан-

дартных профилей типа двутавров и швеллеров величины осевых моментов сопротивления изгибу приведены в справочниках.

Для балок из хрупких материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию, следует применять сечения, несимметричные относительно нейтральной оси (тавровое, несимметричное двутавровое, П-образное). При этом целесообразно располагать сечение так, чтобы большаяегочастьсечениянаходиласьвсжатойзоне(рис. 13.13).

При этом приходится отдельно проверять наибольшие напряжения в растянутой и сжатой зоне. Условие прочности (13.7) распадается на два:

σp max =	M x max		;	σc max =	M x max	yc ≤[σc ]. (13.14)
	Jx	yp ≤ σp			Jx
						287

И. В. Богомаз. Механика

где yp и yc – расстояния от нейтральной оси до наиболее удаленных точек растянутой и сжатой зон; [σp] и [σc] – допускаемые напряжения на растяжение и сжатие.

Рис. 13.13

Пример 13.1. Подобрать сечение двутавровой балки (рис. 13.14), если длина пролета 1 = 3м, консоли 2 =1 м, равномерная нагрузка q = 30 кН/м, расчетное сопротивление материала изгибу R = 240 МПа.

Рис. 13.14

Решение. Вычислим реакции опор RA и RB, сделаем проверку вычисленных значений (рис.13.15, а).Запишем уравнения равновесия:

∑M A = 0, RB 3 −q 2,5 2,75 = 0 → RB = 30 2,5		2,75		= 68,75кH;
	3
∑M B = 0, − RA 3 +30 2,5 0,125 = 0 → RB =	30 2,5		0, 25		= 6, 25 кH.
		3

Проверка: ∑Fy = 6,25 −30 2,5 +68,75 = 0.

288

13. Изгиб бруса

Построим эпюру Mx и эпюру Qy для контроля эпюры Mx (рис. 13.15, б, в). Из эпюры изгибающего момента Mx видно, что опасное сечение балки находится в сечении В: M xB = M xmax =15 кН м.

Подберем поперечное двутавровое сечение балки. Запишем условие прочности для выявленного опасного сечения D и вычислим требуемый момент сопротивления балки:

						M B
				σmax =		x	≤ R ,
						Wx
W	≥	M xD	=	15 103	= 0,0625 10−3 м3 = 62,5см3 .
x		R γc		240 106

Находим из сортамента подходящее значение момента сопро-

тивления: двутавр № 12 с Wx = 58,4 см3 . Проверим двутавр № 12 на прочность:

						M D		15 103
	σ	max	= σ	№12	=	x	=		= 256,8 MПа.
						W		58, 4 10−6
						x

Рис. 13.15

289

И. В. Богомаз. Механика

Сравниваем:

σmax = σ№12 = 256,8МПа и R = 240 МПа → σmax > R.

Вычислим возникшее перенапряжение

σ№12 − R	100% =	256,8 −240				100% = 6,5% > 5 %, что не допус-
σ№12			256,8
тимо.
Выбираем из сортамента двутавр № 14 с Wx = 81,7 см3.
Проверим двутавр № 14 на прочность:
	σ′max = σ№14		=	M xD	=	15 103		=183,6MПа.
						81,7 10−6
				Wx

Сравниваем:

σ′max = σ№14 =183,6МПа и R = 240 МПа → σ′max < R .

Прочность балки обеспечена с большим запасом. Ответ: выбираем двутавр № 14.

Пример 13.2. Шарнирно опертая двутавровая балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой q, силой F = 1,2qa и моментом m = 2,4q2 (рис.13.16).

Требуется построить эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx и вычислить их наибольшие значения; определить несущую способность балки q из условия прочности по нормальным напряжениям; проверить прочность балки по касательным напряжениям при вычисленной нагрузке q.

Рис.13.16

290

					13. Изгиб бруса
	Дано: Длина пролета балки = 6м,	a1	= 3,	a2	= 4 . Сечение
		a		a

балки – двутавр № 30а. Расчетное сопротивление материала на изгиб R = 210 МПа, на срез RS = 130 МПа.

Решение. Вычерчиваем расчетную схему (рис. 13.17, а). Запишем уравнения равновесия.

∑M A = 0, VB 10a − F 7a −q 7a 3,5a −m = 0 →

= 1,2qa 7a + 24qa2 + 2,4qa2 =

VB 3,5qa. 10a

∑M B = 0, −m −VA 10a + q 7a 6,5a + F 3a = 0 →

VA = −2,4qa2 + 45,5qa2 +3,6qa2 = 4,67qa. 10a

Проверка:

∑Fy =VA −7qa −1,2qa +VB = 3,53qa −7qa −1,2qa + 4,67qa =

=8, 2qa +8, 2qa = 0.

m = 2,4q2

а

2,4qa2

б

z0

a2 = 4a VA = 4,67qa a1 = 3a l = 10a

10,6qa2

z0

в

Рис. 13.17

291

И. В. Богомаз. Механика

Построим

эпюру

Mx

и эпюру

Qy

для

контроля эпюры Mx

(рис. 13.17, б, в). Вычислим Mmax:

M (z) = −m +VA z −

qz

2

,

2

Q

(z

o

)

=

d M x (z)

=V

A

−qz

0

= 0

→ z

0

=

VA

= 4,67a.

x

d z

z=zo

q

qz2

M max (z0 ) = −m +VA z0

−

0

=

2

= −2, 4qa2 + 4,67qa 4,67a −

q(4,67a)2

=13,3qa2 .

2

Вычислим несущую способность балки. Из сортамента

(ГОСТ8239–89) длядвутавра№ 30анаходим: Wx = 518 см3, Jx = 7780 см4, статическиймоментполусеченияSx = 292 см, толщинастенкиs = 6,5 мм.

Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид

			M max				13,3qa2
	σmax =			x		≤ R →		≤ R, откуда
				Wx			Wx
	W R			518	10−6 210 106			0,9
q ≤	x	=							= 22719 Н/м.
	13,3a2					13,3 0,62

Проверим прочность балки по касательным напряжениям. Ус-

ловие прочности по касательным напряжениям имеет вид

τ		=	Qmax S		x max ≤ R .
			y
	max					S
				Ix вy

Здесь

τ	max	=	Qymax расч Sxmax	=	4,67qa Sx max		=
			Ix вy			Ix вy
=	4.67 22719 0,6 292 10−6					= 36,7 MПa.
		7780 10−8 6,5 10−3

292