И. В. Богомаз. Механика

∑Fу

= 0, 2T cosα −Q = 0 →

T =

Q

Q

2z 2

Q

2z 2

=

+1 =

+1 кН.

2cos

α

2 2z

4 z

Ответ: T =

Q

2z 2

+1 кН.

4z

6.3. Равновесие твердого тела под действием трех сил

Теорема. Если тело находится в равновесии и на него действует система трех непараллельных сил, то линии действия этих сил должны пересекаться в одной точке (рис. 6.9).

Рис. 6.9

Пример 6.3. Стержень АВ опирается одним концом на гладкую вертикальную стену, а другим концом в угол В. Вычислить реакции в точках А и В, если вес стержня P = 10 кН, его длина 2 = 4 м, рас-

стояние ОВ = а = 7 м (рис. 6.10, а).

Решение. Выделим тело АВ, отбросим связи, заменим их реакциями связи. Реакция в точке А направлена нормально стене ОА и пересекает линию действия силы Р в точке С. При равновесии третья сила – сила реакции в точке В – также пройдет через точку С (рис. 6.10, б). Перенесем силы в точку С, получим систему сходящихся сил (рис. 6.10, в).

Аналитическое решение. Совместим с точкой пересечения линий действия систему координат x, y и рассмотрим геометрию задачи

(рис. 6.10, в).

128

6. Система сходящихся сил

а

б

в

г

Рис. 6.10

Из ВС´С имеем

AO = CC′ =

(AB)2 −(OB)2 = 4 2 −a2 = 16 −7 = 3 м,

CB =

′

2

′

2

=

7

1

43 м,

(CC )

+(C B)

9 + 4

= 2

sin ϕ = CC

′

3

2

6

′

=

=

;

cosϕ = C B

=

7

.

43

43

43

CB

CB

Запишем и решим систему уравнений равновесия:

∑Fx = 0,	→	NA − NB cosϕ=	0,
∑Fy = 0.		NB sin ϕ− P = 0.

(а)

129

И. В. Богомаз. Механика

	NB =	P	= P		43	=		10	43 =	5	43 ≈10,93 кН;
		sin ϕ			6			6		3
	NA = NB cos ϕ =			P	43			7	= 10		7 = 5	7 ≈ 4,41 кН.
					6			43
									6		3
	Геометрическое решение (рис. 6.10, б). Из											ВС´С имеем

tg ϕ = CCC′B′ = 2 73 = 6 77 .

Зная линии действия реакций NA и NB, построим замкнутый силовой треугольник (рис. 6.10, г). Из силового треугольника получим

tg ϕ=	P	→ NA =	P		=	10 7	=	5	7.
			tg ϕ			6 7		3
Тогда	NA
NB = P2 + NA2	= 100 + 25 7 =					1075	=	5	43 кН.
	9					9		3
Ответ: NA = 4,41 кН; NB = 10,93 кН.
Пример 6.4. Брусок АВ длиной			=10 м, на конце которого при-

креплен груз М весом P = 2 кН, опирается в точке А на гладкую вертикальную поверхность OA, а в точке С – на уступ (рис. 6.11). Вычислить, пренебрегая весом бруска и трением, реакции опор поверхностей А и С и расстояние АС при равновесии, если брусок образует с горизонтом угол α = 30°.

Рис. 6.11

130

6. Система сходящихся сил

Решение. Выделим тело АВ, отбросим связи и заменим их действие реакциями (рис. 6.11). Реакция в точке А направлена нормально поверхности ОА и пересекает линию действия силы Р в точке О. Согласно теореме о трех непараллельных силах, при равновесии третья сила – сила реакции точке С – также пройдет через точку О.

Рассмотрим геометрию задачи (рис. 6.12, а). Расстояние АС обозначим z = x.

Из ∆ACO имеем

tg α = CO	→ CO = x tg α = x sin α .	(а)
x	cosα
Рассмотрим ∆CBO:

СB = − x, угол β=90 −α.

Имеем

tgβ = ctg α =	CO	→CO = ( − x) tgβ =
	− x
= ( − x) tg (90		−α) = ( − x) cos α.	(б)
		sin α

Приравняем правые части уравнений (а) и (б), получим

x sin α	−(	− x) cos α	= 0 → x = cos2 α =10 cos2 30° =10(0,87)2	= 7,5м.
cos α		sin α

а

б

Рис. 6.12

131

И. В. Богомаз. Механика

Перенесем силы RA, P, RC по линиям их действия к точке О и рассмотрим полученную уравновешенную систему сходящихся сил (рис. 6.12, б). Совместим систему координат Oxy с точкой пересечения линий действия трех сил и запишем уравнения равновесия.

Имеем

	∑Fу = 0, RC cos30°− P = 0 → RC =	P	=	2	= 2,3 кН,
		cos30°		0,87

∑Fx = 0, − RC sin α + RA = 0 → RA = RC sin α =

=2,3 sin 30° = 2,3 0,5 =1,15 кН.

Проверка (рис. 6.12, а):

∑M A (Fi ) = RC x − P cosα = 2,3 7,5 −2 10 cos30° =17,25 −17,4 ≈ 0.

Ответ: AC = cos2 α = 7,5 м, RA = 1,15 кН, RC = 2,3 кН.

132