12. Плоские стержневые фермы

Этому условию удовлетворяют, например, следующие две системы опорных закреплений:

1)комбинация шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной опор для стержневых конструкций, опирающихся в двух точках;

2)комбинация трех шарнирно-подвижных опор, при этом направления реакций всех трех опор не должны пересекаться в одной точке и не должны быть параллельны друг другу.

Наличие у геометрически неизменяемой стержневой конструкции системы четырех и более опорных связей указывает на то, что сооружение статически неопределимо. Статически неопределимую стержневую конструкцию нельзя рассчитывать с помощью одних лишь уравнений статики.

12.2. Методы расчета плоских ферм

Рассмотрим принципы вычисления внутренних усилий в стержнях плоской фермы (рис. 12.8, а). Если в узлах фермы приложены сосредоточенные силы, в стержнях фермы возникают внутренние продольные усилия.

Для их вычисления используется метод сечения: рассечем стержень на две части произвольным сечением z (рис 12.8, б), отбросим вторую часть стержня. В поперечных сечениях рассеченного стержня возникнут внутренние усилия N , N ′, равные по модулю и противопо-

ложные по знаку.

Рис. 12.8

261

И. В. Богомаз. Механика

Равновесие отсеченной части I возможно тогда, когда силы, действующие на эту часть, равны друг другу по модулю и направлены в противоположные стороны. Запишем аналитическое условие равновесия для сечения z:

∑Fz =0, − N + F =0 → N1 = F.

Если ферма в целом под действием сил, приложенных к ее узлам, находится в равновесии, то и любой из ее узлов также будет находиться в равновесии, т. е. внешняя нагрузка, действующая на узел, и внутренние усилия в стержнях, сходящихся в данном узле, взаимно уравновешиваются.

На каждый узел фермы действует система внутренних и внешних сил, линии действия которых пересекаются в одной точке. Для такой системы сил уравнения равновесия состоят из двух уравнений:

∑Fix = 0, ∑Fiy = 0.

В первую очередь вычисляют опорные реакции. При вычислении реакций составляют уравнения равновесия для всей фермы в целом.

Рассмотрим способы расчета, позволяющие вычислить внутреннее усилие в каждом из элементов фермы.

Способ моментной точки (способ сечения). Способ момент-

ной точки применяется, главным образом, в тех случаях, когда удается рассечь ферму на две части так, чтобы при этом перерезанными оказались не более трех стержней с неизвестными внутренними усилиями, направления осей которых не пересекаются в одной точке

(рис. 12.9, а, сечение 1–1).

Направления осей трех таких перерезанных стержней пересекаются попарно в трех точках, не лежащих на одной прямой (рис. 12.9, б). Точка пересечения линий действия двух стержней называется моментной (на рис. 12.9, б это точки K, L, M), или точкой Риттера.

Составляя последовательно уравнения моментов всех сил (внешних и внутренних), действующих на отсеченную часть фермы относительно моментных точек, получаем уравнение с неизвестным внутренним усилием.

Для вычисления внутреннего усилия N5 составим уравнение моментов моментной точки K:

262

12. Плоские стержневые фермы

∑M K =RА AK − P2 KM + N5 h1 = 0 → N5 =	1	(P2 KM −VA AK ),
	h1

где h1 – плечо внутреннего усилия N5 относительно моментной точки K. Для вычисления внутренних усилий N4 и N6 составим сумму моментов относительно моментных точек точек L и М соответственно:

∑M L = −VA h2 + P2 h3 + N6 h = 0 → N6	=	1	(VA h2 − P2 h3 ),
		h

где h – высота фермы; h2 – плечо силы VА; h3 – плечо силы Р2;

∑MM = −VA AM − N4 h4 = 0, откуда N4 = −	1	AM VA .
	h4

а

б

Рис. 12.9

Упрощение, основанное на специальном выборе моментной точки, может быть достигнуто не только тогда, когда в разрезе встречается три стержня, но и в некоторых более сложных случаях.

Например, усилия в стержнях фермы (рис. 12.9, а) вычислим в следующем порядке: рассечем ферму сечением 1–1; определим моментные точки, составим уравнения моментов относительно этих точек, вычисляем усилия в стержнях N1, N3, N4. Далее проводится сечение 2–2,

263

И. В. Богомаз. Механика

которое рассекает уже четыре стержня. Однако количество неизвестных усилий в этом сечении равно трем. Это дает возможность вычислить N6, N7, N8 их при помощи трех моментных точек K, M и L

(рис. 12.9, б).

Вычисление внутренних усилий только в элементах верхнего или нижнего пояса в сложных фермах рассмотрим на примере фермы, показанной на рис. 12.10, а. Проведем сечение I–I, которое рассечет четыре стержня. Две моментные точки позволят вычислить усилия N7

и N10 (рис. 12.10, б):

∑ML =0→N10, ∑MK =0→N7 .

а

б

Рис. 12.9

Рис.12.10

264

12. Плоские стержневые фермы

Сечение II–II рассечет следующие стержни и т. д. Таким образом можно вычислить усилия в нижнем и верхнем поясе фермы.

Пример 12.1. Задана плоская ферма (12.11, а). Значение внешних сил задано, реакции опор предварительно вычислены. Вычислить усилия, возникающие в стержнях фермы № 1, № 2, № 3.

а

б

Рис. 12.11

Решение. Для вычисления усилий в стержнях фермы 1, 2, 3 применим метод сплошных сечений. Рассечем ферму сплошным сечением n–n (рис. 12.11, а), отбросим правую часть рассеченной фермы. Рассеченные стержни заменим соответственно усилиями: № 1→ N1, № 2→ N2, № 3→ N3 и рассмотрим равновесие левой части фермы от сечения (рис. 12.11, б). Попарно пересечем линий действия усилиий N2, N3 и N1, N2, тем самым определим положение моментных точек.

Моментной точкой для усилия N1 является точка K (рис. 12.11, б). Запишем уравнение моментов относительно моментной точки K:

∑M K = −VA a − N1 a1 = 0,

откуда

N1 = −VA .

Моментная точка для усилия N3 – точка Е. Запишем уравнение моментов относительно моментной точки Е (рис. 12.11, б):

	a		+ P	a	+ N	a = 0	,
∑ME = −VA a +	2			2
			2			3

265

И. В. Богомаз. Механика

откуда

N3 = 12 (3 VA − P2 ) .

Линии действия усилий N1 и N3 пересекаются в бесконечности, моментной точки для вычисления усилия N2 нет, поэтому для вычисления усилия N2 записываем проекцию всех сил, действующих на отсеченную часть фермы на ось Ax или Ay (рис. 12.11, б).

Угол α вычислим из геометрии задачи (рис. 12.12). Рассмотрим треугольник АВК.

AB =

4a2 + a2

= a

17;

4

4

sin α =

BO

=

2a 4

=

8

= 8

17

; cos α =

AO

=

a 4

=

2

=

2 17 .

AB

a 17

17

17

AB

2a 17

17

17

Для вычисления усилия в стержне № 2 составим уравнение проекций всех сил на ось Ay (рис. 12.11, б):

	∑Fiy = 0, VA − P2 + N2cos α = 0; N2 =	1	(−VA + P) =	17	(−VA + P) .
		cos α		2

Рис.12.12

Ответ: N = −V

, N

2

=

17

(−V

+ P), N

3

=

1 (3V

− P ) .

1

A

2

A

2

A

2

266

12. Плоские стержневые фермы

Способ проекций (способ вырезания узлов). Рассмотрим пло-

скую ферму, показанную на рис. 12.13, а. Вычислим усилия в стержнях фермы и построим эпюры внутренних продольных усилий, если

P1 = 20 кН, P = 10 кН.

Обозначим узлы заданной фермы буквами и пронумеруем стержни Выделим сечением ферму, отбросим связи, заменим их действие реакциями RA и RH, вычислим реакции опор. За моментные точки выберем шарниры A и H:

∑M A = 0, RH 3a − P2 2a − P1 1,5a − P2 a = 0 → RH = 20 кН;

∑M H = 0, − RA 3a + P2 2a + P1 1,5a + P2 a = 0 → RA = 20 кН.

Проверка:

∑Fy = RA − P2 − P1 − P2 + RH = 20 −10 −20 −10 + 20 = 0.

Искомые внутренние усилия обозначим символом Ni. Будем мысленно последовательно вырезать все узлы заданной фермы, рассеченные стержни заменять соответственно усилиями: № 1→ N1, № 2→ N2 и т. д. и вычислять соответствующие усилия способом проекций.

а

б

Рис. 12.13

267

И. В. Богомаз. Механика

Расчет основан на уравнениях равновесия системы сходящихся сил. Ввиду симметрии фермы и внешней нагрузки, приложенной к узлам фермы, достаточно вычислить усилия в стержнях левой половины фермы, так как усилия в симметричных стержнях, если внешняя на-

грузка симметрична, равны: N1 = N11, N2 = N10, N4 = N9, N5 = N7, N3 = N8, (рис. 12.13, б).

Расчет начнем с узла, в котором сходится не более двух стержней. В нашем примере это узел А (или Н).

Узел А (рис. 12.14, а):

∑Fi y = 0, RA + N1 sin 70D = 0;

∑Fi x = 0, N2 + N1 cos 70D = 0 ;

N1 = −sinV70A D = − 0,939720 = −21, 28 кН;

N2 = −N1 cos 70D = −(−21,28) 0,342 = 7,28 кН.

а б

Рис. 12.14

Построим из сил RA, N1, N2 силовой многоугольник и убедимся, что он замкнутый (рис. 12.14, б).

Узел В (рис. 12.15, а):

∑Fi x = 0 ,

268

12. Плоские стержневые фермы

−N1 − N4 cos 60D + N3 sin 75D = 0;

−(−21, 28) −0,5 N4 + 0,966 N3 = 0 ;

∑Fi y = 0, N4 sin 60D + N3 cos 75D = 0 ;

0,866 S4 + 0, 259 S3 = 0 ;

N4 = 5,7 кН, N3 = −3,344 N4 = −19,06 кН.

Построим из сил N1, N3, N4, силовой многоугольник и убедимся, что он замкнутый (рис. 12.15, б).

а б

Рис. 12.15

Узел С (рис. 12.16, а):

∑Fi y		= 0, N4 sin 50D + N5sin 78D − Р2 = 0 ,
	Р − N		sin 50o		10-5,7 0,766
N5 =	2	4		=		=5,78кH;
		sin 78D			0,978

∑Fi x = 0, − N2 − N4 cos 50D + N5 cos 78D + N6 = 0;

N6 = N2 + N4cos 50D − N5cos 78D =

= 7, 28 +5,7 0,643 −5,76 0, 208 = 9,75 кH.

269

И. В. Богомаз. Механика

а	б
	Рис. 12.16

Построим из сил P2, N2, N4, N5, N6, силовой многоугольник и убедимся, что он замкнутый (рис. 12.16, б). Результаты вычислений заносим в табл. 1:

Таблица 12.1

N1	N2	N3	N4	N5	N6	N7	N8	N9	N10	N11
–21,3	7,28	–19,06	5,7	5,76	9,75	5,76	–19,06	5,7	7,28	–21,3

Анализируя полученные результаты, можно отметить следующее:

• стержни № 1, № 3, № 4, № 8, № 9, и № 11 сжаты. Максималь-

ные усилия в стержнях № 1 и № 11 ( Nсжатmax → N1 = N11 = 21,3кH );

• стержни № 2, № 5, № 6, № 7 и № 10 растянуты. Максимальное усилие в стержне № 6 ( Nрастmax → N6 = 9,8кH ).

Построим эпюры продольных сил стержней плоской фермы

(рис. 12.17).

Подберем размеры поперечных сечений стержней, если стержни имеют квадратное сечение (рис. 12.17, б) из условий прочности при растяжении и сжатии. Расчётное сопротивление материала растяже-

нию Rt = 80 МПа, сжатию Rc = 120 МПа. Модуль упругости материала

E = 2 · 105 МПа.

Условие прочности

σ		=		Nрасч		≤ R			Nрасч
				А
	сжат					с
							→ A ≥				,
									R
σ		=		Nрасч ≤ R
	раст			А		t

270

12. Плоские стержневые фермы

где Nрасч = Nmax – значение продольной силы, вычисленное от расчётных нагрузок.

Условие прочности для опасного сечения при сжатии

N max

21,3 103

= 0,197 10−3

м2 =1,97 см2 .

A

=

сжат

=

γ

0,9 120 106

с

с

R

c

Площадь

квадрата

A

= a 2

, откуда

сторона квадрата

с

с

ac = 1,97 =1, 4 см.

Условие прочности для опасного сечения при растяжении

A =		Nрастmax				=	9,8 103	= 0,136 10−3	м2	=1,36 см2 .
		γ		R			0,9 80 106
t			с
				c

Площадь квадрата At = at 2 , тогда сторона квадрата

at = 1,36 =1,17 см.

а

б

Рис. 12.17

271

И. В. Богомаз. Механика

Из вычисленных значений ac и at выбираем наибольшее:

а = ac =1, 4 см.

Вычислим абсолютные удлинения первого и второго стержней по формуле

Ai

=

Ni Ai

,

E A

где EA – жесткость стержня при растяжении (сжатии).

Первый стержень сожмется на

A1 :

N A

21,3 103 A

1

−1

−3

1=

1 1

= −

= −5,9 10

A1 =

−0,59

10

A1

см.

2 105 1,97 10−3

EA

Второй стержень растянется на

A2 :

2

=

N2A2

=

7,3 103 A2

=1,9 10−1 A2 = 0,19 10−3 A1 см.

EA

2 105 1,97 10−3

272