7. Кинематика точки

V = lim	(t)	=	dS(t)	.
	t
t→0			dt

Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц заложили основы новой области математики – дифференциального и интегрального исчисления.

7.2. Движение точки в плоскости

Координатный способ задания движения точки. Уравнения движения точки в декартовых координатах Оху имеют вид

x = x(t), y = y(t).

(7.3)

Уравнения (7.3) являются также уравнениями траектории точки, заданными параметрически. Уравнение траектории в системе координат Oxy будет иметь вид функции y = y(x) (рис. 7.4). Для получения этой зависимости следует из уравнений (7.3) исключить параметр t .

Уравнение траектории в явном виде будет иметь вид функции y = y(x).

Скорость и ускорение точки по модулю и направлению вычисляются по формулам

					= x2 + y2 = V 2	+V 2	, cos α =	x	;
V =	V
					x	y	V

137

И. В. Богомаз. Механика

a =

a

= x2 + y2 =

a2

+ a2

, cos α =

x

.

x

y

1

a

Пример 7.1. Движение точки M по плоскости Оху задано урав-

нениями движения

x = 2sin (2t ),

y = 4cos(2t ).

(а)

Построить траекторию движущейся точки, вычислить скорость и ускорение точки в моменты времени t1 = π4 и t2 = 58π .

Решение. Для построения траектории движущейся точки в де-

картовой системе координат определим область, в которой движется точка, т. е. область значений x(t) и y(t).11 Функции sin(2t) и cos(2t) ог-

раничены, т. е.		sin (2t)		≤1,		cos(2t)		≤1, получаем
		–2 ≤ x ≤ 2;						–4 ≤ y ≤ 4.

Выделяем область, ограниченную полученными неравенствами, за эту область точка при движении не выходит (рис. 7.4). Исключим параметр t из уравнений движения (a). Для этого первое уравнение делим на второе, второе – на четвертое, возводим их в квадрат и складываем между собой:

	x 2				= sin		2		(2 t )
	2
+
	y 2				= cos			2		(2 t );
	4
	x			2		y	2			= sin	2	(2t )+ cos	2	(2t ).
					+
	2					4

Учитывая, что sin2 (2t )+cos2 (2t )=1, получим

	x		2		y 2
				+			=1.	(б)
		2			4

11 В теории функций одной переменной эта процедура определяет область задания (существования) функций x(t) и y(t). Область определения функций в классической кинематике всегда определена: t ≥ 0.

138

7. Кинематика точки

Рис. 7.5

Траекторией движущейся точки является эллипс (рис. 7.5). Подставляя в (а) значение t = 0, находим

x t =0 = 2sin (0) = 0 ; y t =0 = 4cos(0) = 4 см.

Точка в начальный момент времени занимает положение M0 (0, 4). Определим направление движения точки. Уравнения движения (а) заданы возрастающей функцией x = 2sin(2t) и убывающей функцией y = 4cos(2t), поэтому при увеличении t координата х возрастает, а у убывает, следовательно, точка движется по эллипсу по часовой стрелке.

Вычислим модуль и направление вектора скорости точки М. Имеем

Vx = x = 2 2cos 2t = 4cos 2t , Vy = y = −4 2sin 2t = −8sin 2t ,

					(в)
V = V 2	+V 2		=	(4cos 2t)2 +(8sin 2t)2 ,
x		y
cos α =				4cos 2t	.

(4cos 2t)2 +(8sin 2t)2

139

И. В. Богомаз. Механика

Вычислим модуль и направление вектора ускорения точки М. Имеем

ax =

x

=Vx =

−4 2sin 2t

=

−8sin 2t

,

ay =

y

=Vy =

−8 2cos 2t

=

−16cos 2t

.

a = (8sin 2t) +(16cos 2t), cos(a, x) =

−8sin 2t

. (г)

(8sin 2t) +(16cos 2t)

При t1 = π4 из (а) получаем, что точка М имеет координаты х = 2,

у = 0, т. е. занимает положение (рис. 7.5) М1. Подставляя в (в) и (г)

время t1 = π4 , получим

V

4cos 2t

4cos(2 π)

= 0, V

=

−8sin 2t

π =

−8sin (2 π)

=

−8

,

=

π =

1x

t=4

4

1y

t=4

4

V =

V

2

+V 2

= 8 м/с,

, x) = 0

= 0;

α = −90°;

cos α = cos (V

1

1x

1y

1

1

8

1

a1x = −8sin 2t t=π4 = −8sin (2 π4) = −8 ,

a1y = −16cos 2t t=π4 = −16cos(2 π4) = 0,

a	= a2	+ a2	=8 м/с,	cosβ = cos(a, x) =			a1x	= −8 = −1,	β =180°.
1	1x	1y		1			a1	8	1
									точки М1 на
	Откладываем значения скорости V1 и ускорения a1

траектории (рис. 7.6, а, б).

При t2 = 58π из (а) получаем координаты точки М2:

x2 = − 2 = −1,41м, y2 = −2 2 = −2,83м.

140

7. Кинематика точки

Рис. 7.6

Вычислим, используя (в) и (г), модуль и направление векторов скорости V2 и ускорения a2 .

Имеем

V2x =

4cos 2t

t=

5π =

−2 2

, V2 y =

−8sin 2t

t=

5π = 4 2,

8

8

V = V

2

+V 2

= 8 +32 = 40 = 2 10 м/с;

2

2x

2 y

, x) = cos α

=

V2x

=

−2

2 = −

5

,

α

=134°.

cos(V

2

2

2

V

2 10

5

a2x

=

−8sin 2t

t=

5π = 4

2 , a2 y =

−16cos 2t

= 8 2 ,

8

10 м/с2;

a

=

a2

+ a

2

=

32 +128 =

160 = 4

2

2x

2 y

cos(a

2

, x)

= cosβ

2

=

a2x

=

4

2

=

5

, β

2

= 64°.

a2

5

4

10

Откладываем значения скорости V2 и ускорения a2 точки М2 на траектории (рис. 7.6, а, б).

141

И. В. Богомаз. Механика

Рис. 7.7

Вектор скорости точки совпадает по направлению с касательной к траектории в точках М1 и М2, а вектор ускорения в точках М1 и М2 направлен вовнутрь вогнутости траектории (к центру О).

Естественный способ задания движения точки. При естест-

венном способе задания движения точки задается:

•траектория движения точки;

•начало и направление увеличения дуговой координаты S;

•уравнение движения точки по траектории как функция времени: S = S(t), где S – дуговая координата, отчитываемая от начала движения (рис. 7.7).

Примером естественного способа задания движения является движение поезда: траектория и направление движения определены рельсами, а уравнение движения задано таблицей – расписанием движения поезда.

Движение точки рассматривается в координатах Mτn. Единичный вектор τ направлен по направлению вектора скорости, единичный вектор n перпендикулярен вектору τ, направлен по главной нормали кривой в сторону ее вогнутости (рис. 7.7).

Скорость точки M направлена по касательной и равна

V = S τ =Vτ τ.

Ускорение a точки M при естественном способе задания движения раскладывается на два: на касательное ускорение

aτ = S τ =Vτ τ

142

7. Кинематика точки

и нормальное ускорение

an = Sρ2 n = Vρτ2 n

a = aτ + an .

Касательное ускорение aτ характеризует изменение величины скорости, нормальное an – изменение направления вектора скорости.

Естественный способ задания движения – S(t) + траектория.

S

τ =Vτ τ.

V

=

a = aτ + an ,

где

касательное ускорение

aτ

= S =Vτ ; нормальное ускорение

S 2

V 2

a

=

=

τ

;

ρ

ρ

n

a =

a2

+ a2

, tg α =

aτ

.

τ

n

an

Движение точки в плоскости по окружности. Введем радиус-

вектор r = r (t) . Совместим начало радиус-вектора с центром окружно-

сти О, полярную ось направим по радиусу (рис. 7.8, а). Тогда при движении точки будет меняться только угол между радиус-вектором и осью , модуль радиус-вектора остается постоянным. Следовательно, описывать движение точки можно одним параметром – углом φ.

Зададим движение точки естественным способом. Совместим оси естественного трехгранника с точкой М – ось Mn совпадает с радиусом и проходит через центр окружности, ось Mτ направлена в сторону движения точки и перпендикулярна радиусу.

Известно, что длина дуги, радиус окружности и угол ϕ связаны

между собой:

S(t) = r ϕ(t).

Введем обозначения: ϕ = ω0 – круговая скорость, ϕ = ε0 – круговое ускорение.

143