8. Динамика

Рис. 8.10

Итак,

	V (t) =	g	th ( gk t ).
		k
	Здесь th ( gk t ) – гиперболический тангенс (рис. 8.10).
	Из рис. 8.10 видно, что при x → ∞ V (t) →			g	, что согласуется
				k

с результатом (б).

V =V (t = ∞) = g .
пр	k

	Ответ: V (t) =	g	th( gk t ).
		k

8.3. Теорема об изменении кинетической энергии

Работа силы. Пусть сила F (Fx , Fy , Fz ), равнодействующая всех сил системы, приложена к точке M ; dr {dx,dy,dz} – элементарное пе-

ремещение точки M вдоль ее траектории по дуге P1P2, α – угол между векторами F и dr (рис. 8.11). Элементарной работой dА силы F называют скалярное произведение

dA = F dr .

165

И. В. Богомаз. Механика

Рис. 8.11

Формулы вычисления элементарной работы:

dA = F dr = F r cosα или dA = F dr = Fxdx + Fydy + Fzdz .

Работа, совершаемая силой при перемещении точки по дуге P1P2,

A = ∫ dA.

P1P2

Работа линейной силы упругости. Пусть материальная точка M

связана с неподвижной вертикальной поверхностью пружиной и может перемещаться вдоль оси Ох (рис. 8.12). Оттянув пружину, точку переместим в координату x1 и обозначим это положение точки за начальное. Запишем начальные условия задачи: при t = 0 x = x1. Если мы отпустим пружину, то сила упругости Fx = –kx (k > 0) будет стараться вернуть все на свое место. Тогда работа силы упругости на перемещении x0 x1

	A = −k xО xdx = −k	x2		xО = k (x − x				).
	∫	2			2	1	О
	x			x
	1		1

Рис. 8.12

166

8. Динамика

Работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинения (или сжатий) пружины.

Работа силы тяжести. Пусть m – масса точки, которая переместилась из точки M1(x1, y1, z1) в точку M2(x2, y2, z2) под действием силы тяжести F(0, 0, –mg), g – ускорение свободного падения.

Рис. 8.13

Вычислим работу, которую совершила сила тяжести. Имеем

P2	z
A = ∫	(Fxdx +Fydy +Fzdz)=−mg ∫2 dz =−mg(z2 −z1 )=mg(z1 −z2 )=mgh,
P1	z1

где h = z1 − z2 – высота, с которой опустилась точка. При подъеме точки

P	z
A = ∫2	(Fxdx +Fydy +Fzdz)=−mg∫1 dz =−mg(z1 −z2 )=−mg h.
P	z
1	2

Поступательное движение твердого тела. При поступатель-

ном движении твердого тела все точки тела имеют одинаковые по модулю и направлению перемещения и, следовательно, скорости

(рис. 8.14). Тогда, если сила F приложена к точке Mk, то Vk ≡V . Имеем

dA = F drk = F Vk dt = F Vdt = F dr .

167

И. В. Богомаз. Механика

Рис. 8.14

Элементарная работа силы, приложенной к какой-либо точке тела, движущегося поступательно, равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения точки приложения силы.

Вращение твердого тела в плоскости относительно непод-

вижного центра. При вращении твердого тела вокруг неподвижного центра в плоскости (рис. 8.15) перемещение точки приложения силы Mk вычисляется по формуле drk ≈ dSk = dφ · hk, где hk – кратчайшее расстояние между точкой Mk и центром вращения (радиус вращения точки М), причем drk hk . Тогда элементарную работу силы F опре-

делим по формуле

dA = F drk = F d rk cos ϕ= Fτ hk dϕ= MОdϕτ.

Здесь MO(F) – момент силы F относительно центра вращения О.

Элементарная работа силы, приложенной к какой-либо точке тела, вращающегося вокруг неподвижного центра в плоскости, равна произведению вращающегося момента на элементарный угол поворота тела.

Рис. 8.15

168

8. Динамика

Кинетическая энергия. Кинетическая энергия материальной точки

T = 12 mV 2 .

Кинетической энергией механической системы называется сумма кинетических энергий всех точек, входящих в систему:

	T =	1	∑mkVk2 .	(8.12)
		2
			k

Кинетическая энергия твердого тела, двигающегося посту-

пательно. При этом виде движения скорости всех точек тела одинаковы (рис. 8.16). Тогда

	T =	1	∑mkVk2 =	1	VC2	∑mk =	1	VC2	M ,
		2		2			2
			k			k

где M – масса тела.

Кинетическая энергия твердого тела, движущегося поступательно, равна половине произведения массы тела M на квадрат его скорости.

Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. При этом виде движения модуль скорости любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен Vt = ω · ht; где ω – модуль угловой скорости твердого тела, ht – расстояние от точки до оси вращения (рис. 8.17).

Рис. 8.16

Рис. 8.17

169

И. В. Богомаз. Механика

Подставляя V = ω · h в формулу (8.12), получим

T =	1	∑mkVk2 =	1	∑mk ω2hi2 =	1	ω2 ∑mk hi2 =		1	ω2	J z .
	2	k	2	k	2	k		2
Здесь	Jz = ∑mk hi2 = ∑ mk hi2 → Jz = ∫h2dm						– момент инерции
		k		k→∞

твердого тела относительно оси вращения z.

Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела.

Моменты инерции некоторых элементарных фигур, имеющих постоянную плотность ρ, представлены в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Тело

Ось z

Jz

Тонкий стержень длиной L

Проходит через центр С

Jz

=

ML2

перпендикулярно стержню

12

Прямоугольник со сторо-

Проходит через центр па-

Jz

=

ML2

нами L и H

раллельно стороне H

12

Прямоугольник со сторо-

Проходит через центр пер-

Jz =

M

(

L2 + H 2

)

нами L и H

пендикулярно к плоскости

12

Диск радиуса R

Проходит через центр пер-

Jz = MR2

пендикулярно плоскости

2

Круговой цилиндр радиу-

Проходит через центр па-

Jz = MR2

сом R, длиной H

раллельно H

2

Круговой цилиндр радиу-

Проходит через центр пер-

Jz = M

R2

+

H 2

сом R, длиной H

пендикулярно H

4

12

Теорема об изменении кинетической энергии точки. Найдем связь между работой и изменением скорости. Пусть материальная точка массой m перемещается вдоль оси Ох под действием силы, например, разжатой пружины, закрепленной в начале координат – в точке О (рис. 8.18). Уравнение движения точки имеет вид

m ddVtx = Fx .

170

8. Динамика

Рис. 8.18

Умножим обе части этого уравнения на Vx = ddxt и учитывая, что

	dV		1 dV		2
Vx	x	=		x		, получим
	dt		2 dt

d mV 2					dx
		x		= F		.	(а)
		2		x	dt
dt

Умножим на dt правую и левую части уравнения (а), получим

d		mVx2		= F dx .	(8.13)
		2		x

В этом виде равенство имеет очень наглядный смысл: при смещении точки на dx сила совершает работу Fxdx, в результате чего из-

меняется величина кинетической энергии точки mV2x2 , характери-

зующая движение точки и, в частности, модуль ее скорости. Если точка смещается из положения x1 в положение x2, а ее скорость при этом изменяется от V1 до V2, то, интегрируя (8.13), получим

V2

mVx2

x

2 F dx .

d

=

(б)

V∫1

x

2

x∫1

V2

2

2

2

x2

Учитывая, что ∫d

mVx

=

mV2

−

mV1

, A1−2 =

∫Fxdt , оконча-

V

2

2

2

x

1

1

тельно находим

mV 2

mV 2

( 2 ) −T (1 ) = A

2

−

1

= A

→.T

.

2

2

1−2

1−2

171

И. В. Богомаз. Механика

Изменение кинетической энергии материальной точки при перемещении из положения 1 в положение 2 равно работе силы, действующей на точку в том же перемещении.

Теорема об изменении кинетической энергии системы. Изме-

нение кинетической энергии системы при каком-либо элементарном перемещении равно элементарной работе внешних сил, действующих на точки системы:

T ( 2 ) −T ( 1 ) = A	.	(8.14)
1−2

Пример 8.6. Механическая система (рис. 8.19) состоит из диска, обмотанного нерастяжимой нитью, на конце которой прикреплен груз. Дано: m1 = 40 кг, R = 0,4 м, m1 = 60 кг. Вычислить ускорение при подъеме груза, если на диск приложен вращающий момент

Mвр = 0,24 кН м.

Решение. Вычислим кинетическую энергию системы, равную сумме энергией всех ее тел.

T = T1 + T2.

(а)

Диск вращается вокруг центра вращения О, груз движется поступательно, тогда кинетическая энергия каждого тела механической системы соответственно имеет вид

T =	1 J	O	ω2	,	T =	1 m V 2.	(б)
1	2		1		2	2 2 2

Рис. 8.19

172

8. Динамика

Выразим линейные и угловые скорости в выражении (б) через перемещение груза S и его скорость V = S . Направления движений тел изображены на рис. 8. 19:

									φ =		S	→		ω=			ϕ		=			S			.						(в)
											R											R
Подставляя выражения (в) в (б), получим
		1		2	1				2		1	2		Jz										1			2		1	2
									S z
T	=		J	ω =		J				=		S			,			T			=					m V		=		m S	.
		2			2				R2		2			R2										2					2
1			z	1			z									2										2 2				2

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий элементов системы, т. е.

		1		2		Jz			1 2
T =T1 +T2	=		S				+ m2	=		S	m		.
		2				R2			2
						1

Выражение, стоящее в скобках, имеет размерность массы (кг), следовательно, слагаемые в скобке представляют собой приведенную

массу заданной механической системы, обозначим ее m . Момент инерции диска Jz = 12 m1R2 .

Вычислим значение приведенной массы системы:

J

z

m R2

1

1

m

=

+ m

=

1

+ m

=

m

+ m

=

40

+60

=80кг.

R2

2R2

2

2

2

2

1

2

Вычислим работу, совершенную внешними силами, сообщив механической системе перемещение, при котором груз поднимается на S. Тогда, имея в виду (а), получим

AS = ∑AS = −m2 g S + Mвр	ϕ = (−m2 g +			Mвр	) S = F S;
k				R
F = −40 10	+	240	= 200 Н.
		0,4

173