13. Изгиб бруса

Рис. 13.18

Сравниваем: τmax = 36,7 Мпа, RS = 130 Мпа → τmax < RS. Прочность балки по касательным напряжениям обеспечена

(рис. 13.18).

Ответ: несущая способность балки q = 22,72 кН/м.

13.3. Перемещения при изгибе

Основные понятия. В случае прямого изгиба ось балки искривляется в плоскости действия сил, центры тяжести сечений получают линейные перемещения, а сами сечения поворачиваются

(рис. 13.19).

Искривленная ось балки называется изогнутой осью или упругой линией.

Рис. 13.19

293

И. В. Богомаз. Механика

Допущение о малости перемещений позволяет считать, что линейные перемещения – прогибы y – направлены перпендикулярно продольной оси z недеформированной балки. Наибольший прогиб называется стрелой прогиба и обозначается f (fmax).

Согласно принятому направлению осей координат (рис. 13.20) положительным будем считать прогиб вверх, отрицательным – вниз.

Рис. 13.20

Угол θ, на который каждое сечение поворачивается по отноше-

нию к своему первоначальному положению, называется углом поворота сечения.

Он определяется как угол между касательной к упругой линии и положительным направлением оси z.

Если уравнение упругой линии балки y = y(z), то y′(z) = tgθ20,

где угол θ – угол между осью Oz и касательной к кривой в данной точке, отчитываемый от положительного направления оси Oz против часовой стрелки.

При малых перемещениях θ	1 → tg θ ≈ θ, тогда можно принять
′	dy(z)
θ = y (z) =	dz	.	(13.15)

Угол поворота сечения равен первой производной от прогиба по абсциссе сечения.

Умение вычислять перемещения необходимо для расчетов на жесткость, при расчете статически неопределимых балок, решении задач динамики.

20 Геометрический смысл производной: наклон касательной к функции в точке определяется углом θ, тангенс которого равен производной от функции в точке касания tg θ = y′z (z) .

294

13. Изгиб бруса

Дифференциальное уравнение упругой линии. Деформация то-

го или иного сечения балки определяется кривизной K изогнутой оси (рис. 13.19), которая определяется формулой

		K =	1	=	M x (z)	,	(13.16)
			ρ
	1				EJx
где ρ=		– радиус кривизны.
	K

Если кривая задана уравнением y = y(z), то кривизна плоской кривой вычисляется по формуле

	K =	1	= ±		d2 y	dz2			.	(13.17)
		ρ			+ (dy	dz)	2	3 2
			1

Приравняв правые части уравнений (13.16) и (13.17), получим уравнение упругой линии балки.

		d2 y dz2				= ±	M	x	(z)	.	(13.18)
		+ (dy	dz)	2	3 2		EJx
	1

Решение полученного дифференциального уравнения в общем виде – довольно сложная задача.

Вертикальный предельный прогиб в балке, предъявляемый различными технологическими требованиями к конструкции при

пролетах 1 < < 24(12) м, соответствует 120 < [f ] < 250 . F

(СНиП 2.01.07–85 (с изм. 11993), пункт 10)

Так как допускаемый прогиб для балок регламентируется пределами 120 < [f ] < 250 , то образующиеся при этом углы поворота

сечений в любой точке балки малы, т. е. θ = dy / dz 1, тогда 1+ (dydz)2 ≈1 и дифференциальное уравнение (13.18) примет вид:

	y′′z	=	d2 y(z)	= ±	M	x	(z)	.	(13.19)
			dz2		EJx
									295

И. В. Богомаз. Механика

Уравнение (13.19) будем называть приближенным дифференциальным уравнением упругой линии. Выбор знака в (13.19) определяется принятой системой координат. Знаки изгибающих моментов Mx

и y′′z совпадают (рис. 13.20). Таким образом, в (13.19) можно оста-

вить один знак – «плюс».

Запишем уравнение (13.19) в виде

y	′′	1	M x (z) .	(13.20)
	(z) =	EJx

Универсальные уравнения перемещений при изгибе. Рассмот-

рим произвольно нагруженную консольную балку (рис. 13.21), где a, b, c, d – абсциссы точек приложения соответствующих нагрузок.

Балка имеет пять участков. Поместим начало координат Oyz на левом конце балки, продолжим распределенную нагрузку q до правого конца и приложим нагрузку, ее компенсирующую. Составим выражение изгибающего момента для V участка.

Рис. 13.21

При составлении выражения изгибающего момента Mx(z) учитываются нагрузки, расположенные левее рассматриваемого сечения, в том числе и реакции опор, если балка шарнирно оперта:

M x (z) = m(z − a)o + F (z −b)1 + q(z −c)2 − q(z −d )2 .

2 2

Подставим Mx(z) в дифференциальное уравнение (13.20), получим

296

					13. Изгиб бруса
	d2 y(z)	=	1	M x (z) .	(13.21)
	dz2		EJx

Разделяем переменные в дифференциальном уравнении (13.21) и интегрируем. Первый интеграл свяжет угол поворота θ(z) рассматриваемого сечения z с нагрузкой (θ ≡ y′z (z) ) для балок постоянной же-

сткости:

θ(z) =	1		∫	M x (z)dz +C,
	EJx
EJx θ(z) = EJx C + m(z −a)1	+	F(z −b)2			+ q(z −c)3	− q(z −d)3	. (13.22)
1			1 2		1 2 3	1 2 3

Второй интеграл свяжет прогиб y(z) в сечении z с нагрузкой;

EJx y(z) = EJx D + EJx Cz +

	+	m(z −a)2	+	F(z −b)3		+	q(z −c)4		−	q(z −d )4	.	(13.23)
		1 2		1 2	3		1 2	3 4		1 2 3 4

Постоянные C и D вычисляются из граничных условий задачи. Для консольной балки (рис. 13.20) граничные условия задачи имеют вид при z = → угол поворота θ( ) = y′( )= 0, прогиб y ( )= 0 .

Вычислим константы интегрирования С и D:

	1		F( −b)		2				3				3
EJx C + m(	−a)	+				+ q( −c)					− q( −d)		= 0;
	1		1 2
							1 2 3				1 2 3
				2			F( −b)	3				4		4
EJx D + EJxC + m( −a)					+						+ q( −c)		− q( −d)		= 0.
							1 2 3
			1 2								1 2 3 4 1 2 3 4

(13.23')

Решая систему уравнений (13.23'), вычисляем значения констант

С и D.

297

И. В. Богомаз. Механика

Постоянные интегрирования C и D для различных видов закрепления (для разных граничных условий задач) приведены в справочниках по сопротивлению материалов21 (табл. 13.4).

				Таблица 13.4
Схема	Вид закрепления (граничные условия задачи)
	Начало координат совпадает с заделкой.
			θO(z = 0) = 0, yO(z = 0) = 0
	Однопролетная шарнирно опертая балка. Начало ко-
	ординат совпадает с шарнирной опорой.
		θA (z = 0) ≠ 0, yA (z = 0) = 0;
				) = 0
		yB (z =
	Консольная балка. Начало координат совпадает с ле-
	вой крайней точкой консоли.
	θ		(z = 0) ≠ 0, y (z = 0) ≠ 0;
		o		o
	yA (z = a) = 0, yB (z = a + ) = 0

Запишем формулы для вычисления угла поворота θ(z) и перемещение рассматриваемого сечения22.

EJxθ(z) = EJxC + m(z −a)1

+

F (z −b)2

+ q(z −c)3 − q(z − d )3

;

1

2!

3!

3!

EJx y(z) = EJx D + EJxC z +

m(z − a)2

F (z −b)3

q(z −c)4

q(z − d )4

+

+

−

2!

3!

4!

4!

21Писаренко Г. С., Яковлев А. П., Матвеев В. В. Справочник по сопротивлению материалов. Киев: Изд-во «Дельта», 2008. 812 с.

22Факториалом целого положительного числа (n!) называется произведение 1, 2, 3 … n = n!. Факториалы первых чисел и обратные им величины приводятся в справочниках по математике для инженеров и учащихся ВТУЗОВ.

298