И. В. Богомаз. Механика

ляемая экспериментально. Для всех изотропных материалов v = 0 – 0,5. Для пробки v ≈ 0; для каучука v ≈ 0,5; для стали v ≈ 0,3.

11.3. Расчеты на прочность и жесткость

Диаграмма растяжения содержит сведения о механических свойствах материала. Зная предел пропорциональности, предел текучести и предел прочности, можно установить для каждой инженерной задачи величину напряжения, которое можно рассматривать как безопасное напряжение. Это напряжение называют допускаемым или предельным напряжением.

Расчет на прочность ведется по первой группе предельных состояний по наибольшим, т. е. расчетным нагрузкам.

Предельное состояние строительного объекта18 – состояние строительного объекта, при превышении характеристик которого его эксплуатация недопустима, затруднена или нецелесообразна.

Условие прочности по предельным состояниям для бруса, работающего на растяжение (сжатие), имеет вид

σmax =	Nmax	≤ R ,	(11.19)
	A

где σmax − наибольшее по абсолютному значению напряжение в опас-

ном сечении, Па; Nрасч − продольная сила в опасном сечении от расчетных нагрузок, Н; A − площадь опасного сечения с учетом ослаб-

лений, м2; R − расчетное сопротивление материала бруса, Па. Расчетное сопротивление материала R получают путем деления

нормативного сопротивления Rn на коэффициент надежности по ма-

териалу. Для металла γm = 1,025–1,15, бетона γm = 1,3–1,5 (табл. 11.2):

R = Rn .

γm

18 Надёжность строительных конструкций и оснований. Основные положения: СТО 36554501- 014-2008: введ. в действие 23.09.2008. М.: ФГУП «НИЦ Строительство», 2008. 16 с.

244

11. Осевое растяжение и сжатие в пределах упругости

Таблица 11.2

		Расчетное сопротив-						Расчетное сопро-
	Материал	ление Rn, МПа					Материал	тивление Rn МПа
		на растя-	на сжатие					на рас-	на сжа-
		жение						тяжение	тие
	Чугун серый,						Углеродистые
	белый, в от-						стали:
	ливках:	20–30	70–110				Ст. 0 и Ст. 2	140	140
	СЧ12–28						Ст. 3	160	160
		25–40	90–150
	СЧ15–32						Ст. 3 в мостах	140	140
	Кладка из	До 0,2	0,6–2,5				Бетон	0,1–0,7	1–9
	кирпича
	Обычно при расчетах за нормативное сопротивление Rn прини-
	мают предел текучести		σy =	Fу		(на рис.11.5, а это точка С) или пре-
				Ao

дел прочности материала σu = FmaxA (на рис.11.5, а это точка Н).

Условие (11.19) позволяет решать три типа задач на прочность: 1. Проверка прочности (проверочный расчет). Известны внешняя нагрузка, материал, геометрические размеры. Вычислению подлежит σmax, которое сравнивается с расчетным сопротивлением мате-

риала – величиной R.

При расчетах возможны ситуации:

•σmax = R → прочность обеспечена, и конструкция рациональна;

•σmax << R → конструкция обладает большим запасом проч-

ности, что означает перерасход материала;

•σmax > R →допустимо в пределах 5 %;

•σmax > R → прочность конструкции не обеспечена.

2. Проектный расчет (подбор сечения). Известны внешняя нагрузка, материал; вычисляется требуемая (необходимая) площадь сечения A из условия прочности – формула (11.19):

A ≥	Nmax	.	(11.20)
	R

3. Определение несущей способности (предельно допускаемой нагрузки).

245

И. В. Богомаз. Механика

По вычисленному значению Nmax вычисляют величину расчетной нагрузки:

Nmax ≥ R A.

(11.21)

Расчет на жесткость ограничивает величину деформации (или перемещений) и производится для второй группы предельных состояний по нормативным нагрузкам.

Для обеспечения нормальной работы конструкции дополнительно ставится условие – упругое перемещение δz какого-либо сечения бруса не должно превосходить заданной допускаемой величины [δ].

Условие жесткости

δz ≤[δ] или A≤[δ],

(11.22)

где δz − перемещение заданного сечения (либо наибольшее перемещение); [δ] − допускаемое перемещение, которое регламентируется СНиПом.

Пример 11.1. Стальная колонна кольцевого поперечного сечения нагружена сжимающей силой (рис. 11.10, а). Дано: наружный

диаметр D = 20 см и внутренний диаметр d = 16 см; F = 50 кН;

E = 2 · 10–5 МПа.

Вычислить напряжение в поперечном сечении, абсолютное и относительное укорочение колонны; определить количество потенциальной энергии, накопленное в стержне.

Рис. 11.10

246

11. Осевое растяжение и сжатие в пределах упругости

Решение. Вычислим площадь поперечного сечения:

A = π4 (D2 −d 2 ) = π4 (202 −162 ) =113 см2.

Продольная сжимающая сила в любом поперечном сечении постоянна и равна: N = F (рис. 11.10, б).

Вычислим нормальное напряжение в поперечном сечении:

	σ = −	N	= −	500 103	= − 44 МПа.
		A		113 10−4

Абсолютное укорочение колонны по формуле (11.13)

A =	N A	=	500 103 3						= 6,63 10	−4	м = 0,66	мм.
	E A		5	10	6	113	10	−4
			2 10

Относительное укорочение колонны

ε =	A	=	6,63 10−4	= 2,21 10−4 .
	A		3

Количество потенциальной энергии упругой деформации, заключенное в стержне (колонне), равно

		1		500 103 6, 63 10−4
	U =	2	F A =		=165 Дж.
				2

Ответ: нормальное напряжение в поперечном сечении колонны σ = 44 МПа; абсолютное укорочение колонны A = 0,66 мм; относи-

тельное укорочение колонны ε = 2,21 · 10–4; количество потенциальной энергии упругой деформации U = 165 Дж.

Пример 11.2. Для ступенчатого бруса (рис. 11.11), жестко заделанного одним концом, построить эпюру продольных сил и эпюру

продольных перемещений.

Дано: q = 200 кН/м; F = 100 кН; A = 5 см2; E = 2 · 105 МПа.

247

И. В. Богомаз. Механика

Рис. 11.11

Решение. Для построения эпюры продольной силы N разделим брус на два участка. Строить эпюру начинаем от свободного конца бруса (рис. 11.12, а).

I участок: 0 ≤ z1 ≤ 0,8 м.

			N (z		= 0) = −F = −100кН,
				1
	N (z ) = −F + qz →			N (z	= 0,8) = −F + qA1 = −100 + 200 0,8 = 60 кН.
	1	1
				1

Вычислим значение z0, при котором эпюра продольной силы пересекает базисную линию:

N (z1 = z0 ) = −F + qz0 = 0 → z0 = Fq = 100200 = 0,5 м.

II участок: 0 ≤ z2 ≤ 1 м.

N (z2 ) = −F + qA1 = −100 + 200 0,8 = 60 кН.

Эпюра продольных сил показана на (рис. 11.12, б).

Для проверки численного значения N в заделке вычислим реакцию заделки H из уравнения равновесия (рис.11.12, а):

∑Fz = 0, − H + q A2 − F = 0 ,→ H = qA2 − F = 200 0,8 −100 = 60 kH.

При осевом нагружении бруса длиной A и с постоянной площадью поперечного сечения А, защемленного одним концом, перемещение δz любого сечения z будет соответствовать удлинению участка между сечением z и защемлением бруса.

248

11. Осевое растяжение и сжатие в пределах упругости

Рис. 11.12

4. Эпюру продольных перемещений начинаем строить от закрепленного конца. Перемещение любого сечения, находящегося на расстоянии z от закрепленного конца стержня, вычислим по формуле

δ = ∫Nzi dzi .

zi A E Ai

I участок. Сечение z2′ перемещается на δ2 в результате дефор-

мации части стержня, заключенной между данным сечением и заделкой (рис. 11.13, а). Здесь

N(z2′) = H = 60кH.

Перемещение сечения c – c будет равно:

	1	N (z2′) dz2		H	1	H			1	60 103 1
	δс−с = ∫		=		∫ dz2 =		z2		=		= 3 10−4 м .
		E 2A		2EA		2E A				2 1011 2 5 10−4
	0				0				0

II участок. В результате деформации II участка I участок как твердое тело перемещается на величину δc – c = 0,3 мм. Перемещение сечения d – d складывается из перемещения δc – c и деформации части стержня, заключенной между сечением d – d и c – c (рис. 11.13, а). Здесь

N(z1′) = H −qz1 .

249

И. В. Богомаз. Механика

Рис. 11.13

Перемещение сечения δd – d будет равно:

		0,8					′						0,8 (H − qz ) dz1
						N (z1 ) dz1													1				=
δd −d = δc−c + ∫										= δc−c + ∫								E A
							E A
			0									0
	H	0,8			q		0,8						H					0,8			q		2		0,8
= δc−c +		∫ dz1 −					∫ z1dz1 =δc−c +							z1				−					z1		=
	E A			EA									EA							2EA
		0					0											0							0
	= 3 10−4 +				60 103 0,8						−	200 103 0,82									=
												11
							11	10		−4						5 10			−4
			2 10 5									2 2 10

= (3 + 4,8 −6, 4) 10−4 =1, 4 10−4 м = 0,14мм.

Перемещение произвольного сечения δ(z1′) изменяется по квадратичному закону. Вычислим координату zo′, при которой δ(z1′) принимает экстремальное значение:

ddδz = Nz EA1 = (H −qz0′) EA1 = 0 → z0′ = Hq = 20060 = 0,3 м.

250

11. Осевое растяжение и сжатие в пределах упругости

Имеем

δ

(zo′ = 0,3) = δ

+

0,3

(H −qz

) dz2

=δ

+ H

z2

0,3

q

z22

0,3

∫

2

−

=

с

E A

с

max

EA

0

2EA

0

0

= 3 10−4 +

60 103 0,3

−

200 103 0,32

=

11

−4

11

5 10

−4

5 10

2 10

2 2 10

= 3 10−4 +1,8 10−4 −0,9 10−4 = 3,9 10−4 м =0,39 мм.

Эпюра перемещений δ(zi) показана на рис. 11.13, б. Полная абсолютная деформация стержня равна перемещению d – d: A = 0,14 мм

(удлинение).

Пример 11.3. Жесткий брус CD, деформацией которого можно пренебречь, поддерживается тремя стержнями и нагружен постоянной нагрузкой m и временной q (рис. 11.14, а). Подобрать размеры поперечных сечений: для первого стержня из двух равнополочных уголков; для второго − кольцевое; для третьего − квадратное

(рис. 11.15).

Дано: q = 42 кН/м, расчетное сопротивление материала стерж-

ней R = 240 МПа, a = 0,8 м.

а

б

Рис. 11.14

251

И. В. Богомаз. Механика

Решение. Вычислим внутренние усилия в стержнях от расчетной нагрузки. Выделим жесткий брус CD, заменим рассеченные стержни внутренними усилиями (рис. 11.14, б).

Из геометрии задачи вычислим тригонометрические функции угла β:

=

a

= 0,447

sin β

a

5

ABK → BK = 4a2

+ a2

= a 5 →

2a

cos β =

= 0,894.

a

5

Запишем уравнения равновесия:

стержень растянут

∑mB = 0, m + N2 2a −2,5qa2 = 0 →

N2 =

2,5qa2 −m

= 2,5 42 0,82 −44

=14,5 кН;

2a

2 0,8

стержень сжат

∑mK = 0, m + N3 a cos β+ N3 2a sin β−0,5qa2 = 0 →

N3 =

0,5qa2 − m

=

0,5 42 0,82 −44

= −21,4 кН;

a (cos β+ 2sin β)

0,8 (0,894 + 2 0,446)

стержень растянут

∑Fz = 0, N1 cos β+ N3 cos β = 0 →

N1 = −N3 = 21,4 кН.

Проверка:

∑Fy = N1 sin β− N3 sin β+ N2 −qa =

=21 0, 446 + 21, 4 0, 446 +14,5 − 42 0,8 = 0.

252

11. Осевое растяжение и сжатие в пределах упругости

а

б

в

Рис. 11.15

Производим проектировочный расчет. Для этого запишем условие прочности при растяжении и сжатии:

σmax = NA ≤ R .

Из условия прочности подбираем размеры поперечного сечения стержня:

A ≥ RN .

Для стержня, составленного из двух равнополочных уголков

(рис. 11.15, а):

A1 ≥	N1	=	21, 4 103		= 0,1 10−3		м2 =1 см2,
	R
			240 106 0,9
для одного уголка требуемая площадь A						1	= 0,5 см2.
						= 2
По таблице	сортамента (ГОСТ 8509–86)									выбираем уголок
№ 2 ×20 ×3 с площадью сечения				A =1,13		см2. Перерасход материала
составит:		1,13 −0,5 100% =126%.
			0,5
								d		(рис. 11.15, б)
Для стержня из кольцевого сечения						α =
								D
										253

И. В. Богомаз. Механика

	A			≥	N2		= 14,5 103 = 0,06 10−3 м2 = 0,6 см2;
		2			R				240 106
отсюда					A 2 = πD4 2 (1−α2 )→ A 2= 0, 4 D2 ,
D ≥	A 2			=	0,6				=1, 22 см, d = 0, 7D = 0, 7 1, 22 = 0,85 см.
	0, 4				0, 4
Для стержня из квадратного сечения (рис. 11.15, в):
		A ≥				N3			= 21, 4 103	= 0,1 10−3 м2 =1 см2;
				3		R			240 106
						A3=a2 , a ≥ A = 1 =1 см.
										3
Ответ: уголок									№ 2 ×20 ×3 ; диаметры кольцевого сечения

D = 1,29 см и d = 0,9 см; сторона квадратного сечения b = 1 см.

Пример 11.4. Вычислить абсолютную деформацию конусообразного стального бруса под действием собственного веса (рис. 11.16, а). Длина бруса A = 200 м, диаметр основания d = 50 м,

объемный вес стали γ = 78 кН/м3, E = 2 · 105 МПа.

Решение. Расчетная схема может быть представлена в виде невесомого бруса, нагруженного равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис. 11.16, б). Абсолютная деформация бруса равна

A= ∫A N(z)dz.

0 E A(z)

Для отсеченной части конуса на расстоянии z от свободного конца бруса продольная сила N(z) равна весу нижней части бруса19:

19 Объем конуса V высотой Aи радиусом основания R равен V = 121 πd 2 A

254

11. Осевое растяжение и сжатие в пределах упругости

πd2 z

N (z) = Q

= γ

z

.

(а)

z

12

Вычислим диаметр поперечного сечения отсеченной части dz,

(рис. 11.16, в):

dz

d

=

→ dz

= z d .

(б)

A

z

A

Подставим диаметр dz сечения в (а), получим

N (z) =

γ

πd 2 z

3

.

12A2

Вычислим площадь поперечного сечения A(z):

πd

2

πd

2 z

2

A(z) =

z

=

4A2

.

4

Итак, абсолютная деформация бруса

A

A

γ

A

γ A

2

78 10

3

2

A = ∫

N (z)dz

=

γ

∫zdz =

z2

=

=

20011

=

0 E A(z) 3E

0

6E

0

6E

6 2 10

= 0, 26 10−2 м = 0, 26 см.

а

б

в

Рис. 11.16

255

И. В. Богомаз. Механика

Это удлинение составляет 13 от удлинения призматического

бруса той же длины.

Ответ: абсолютная деформация бруса A = 0, 26 см.

256