И. В. Богомаз. Механика

При сжатии вдоль волокон древесина работает сначала упруго, затем упруго пластически (рис. 11.8, б). Разрушение происходит с образованием характерной складки (рис. 11.8, в) в результате потери местной устойчивости рядом волокон.

При сжатии поперек волокон до небольшой нагрузки (точка В) существует линейная зависимость между силой и деформацией. Затем деформации сильно увеличиваются, а нагрузка растет незначительно. В результате образец спрессовывается – уплотняется (рис. 11.8, г). Разрушающая нагрузка определяется условно и соответствует сжатию образца на 1/3 высоты. Сопротивление древесины сжатию вдоль волокон в 8–10 раз больше, чем поперек.

11.2. Перемещения. Эпюра перемещений. Условие жесткости

Коши Огюстен Луи

(1789–1857)

Английский ученый Роберт Гук в 1678 г. на основе экспериментов с проволокой и пружинами сформулировал закон «Ut tensio, sic vis», т. е. «Каково удлинение, такова и сила».

В 1822 г. французский математик Луи Коши ввел понятия «напряжение» и «деформация». В современном виде закон Гука форму-

лируется так: «Относительная продольная деформация прямо пропорциональна соответствующему нормальному напряжению»:

ε =	σ	.	(11.8)
	E

Перейдем к вычислению деформаций (удлинения) стержня. Со-

гласно (11.3), (11.4) и (11.9) имеем

ε = AA, σ = NA , ε = Eσ ,

откуда

E = σε = AN AA .

240

11. Осевое растяжение и сжатие в пределах упругости

	Тогда абсолютное удлинение участка			Aстержня длиной A при
	A = const и E = const будет равно
	A =	NA	,	(11.9)
		EA

где EA – жесткость стержня при растяжении (сжатии).

Формула (11.9) выражает закон Гука для абсолютной продольной деформации, ее называют формулой жесткости при растяжении и сжатии.

Для бруса, имеющего несколько участков,

A = ∑ Ai .	(11.10)
Удлинение, связанное с температурным воздействием,
A°t = A α t ,	(11.11)
где α – коэффициент температурного расширения материала;	t – из-
менение температуры.

При растяжении (сжатии) поперечные сечения стержня перемещаются в продольном направлении; перемещения поперечных сечений – это следствие деформации. При осевом нагружении бруса длиной A и с постоянной площадью поперечного сечения A перемещение

δ(zi) любого i-го сечения
δ(z ) = zi		N (z)dz	=			1 zi			N (z)dz ,	(11.12)
						EA ∫
i	∫	EA
	0				0
а при одинаковой по длине силе N вычисляется по формуле
		δ(z ) =		N zi				.		(11.12’)
		i			EA

Эпюру перемещений δ(z) начинают строить от защемленного конца бруса, вычисляя перемещения в характерных сечениях (как правило, это границы участков).

241

И. В. Богомаз. Механика

Абсолютная деформация стержня при одинаковой по длине силе N ис постоянной площадью поперечного сечения A равна

A =	N	A dz	i	=	NA	.	(11.13)
	E A ∫				E A
0

В том случае, когда продольная сила и поперечное сечение не постоянные, то абсолютное удлинение участка длиной Ai вычисляет-

ся по формуле

	Ai =	Ai	N( z )dz	.	(11.13’)
		∫	E A( z )
		0

Если стержень имеет k участков нагружения, то полное (абсолютное) удлинение всего стержня вычисляют как алгебраическую сумму удлинений отдельных участков по формуле

k	k Ai	N (zi )dzi
A = ∑	Ai = ∑∫
			.	(11.14)
		E A(z )
i=1	i=1 0	i i

Общая формула для вычисления количества потенциальной энергии упругой деформации U, накопленной при растяжении и сжатии, имеет вид

k Ai	N	2 (z )dz	i
U = ∑∫		i		.	(11.15)
	2E A(z )
i=1 0		i

Для стержня, растянутого или сжатого силами F, F′, приложенными по концам вдоль оси (рис. 11.1, а), потенциальную энергию можно вычислить как работу внешних сил:

U =	1 F A.	(11.16)
	2

Дифференциальная зависимость между перемещением i-го сечения δz и продольной силой N(z) имеет вид

	dδz =	1	N (z)dz .	(11.17)
		E A(z)

242

11. Осевое растяжение и сжатие в пределах упругости

Зависимость (11.17) можно использовать для контроля эпюры δz: На участке, где Nz = const, перемещение δz изменяется по линей-

ному закону.

1.На участке, где N(z) изменяется по линейному закону, δz изменяется как квадратичная функция.

2.Если на участке N(z) > 0, то δz возрастает; если N(z) < 0, то δz убывает.

3.В сечении, где N(zO) = 0 (эпюра пересекает базисную линию), перемещение δz имеет экстремальное значение.

Растяжение (сжатие) сопровождается изменением поперечных размеров (рис. 11.9).

Рис. 11.9

Абсолютная поперечная деформация определяется как разность размеров после деформации и до нее:

a = a1 – a;

b = b1 – b.

Относительная поперечная деформация для изотропных материалов по всем направлениям одинакова.

ε′ = aa = bb .

Между поперечной и продольной относительными деформациями, которые всегда противоположны по знаку, в пределах закона Гука существует постоянное отношение

	ν =	ε′	′
		ε или ε		= −νε,	(11.18)

где v – коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона) – безразмерная величина, упругая постоянная материала, опреде-

243