7. Кинематика точки

7. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

7.1. Траектория, скорость, ускорение

Геометрическое место последовательных положений движущейся точки называется ее траекторией. Если в интервале времени t1 ≤ t ≤ t2 траектория – прямая линия, то движение в этом интервале называется прямолинейным, в противном случае оно называется криволинейным.

Скорость точки. Пусть положение движущейся точки М относительно произвольно выбранного неподвижного центра О определяется в момент времени t радиус-вектором r1 = r (t ), который соединя-

ет движущуюся точку М с центром О (рис. 7.1).

Вчастности, движение точки на интервале времени t1 ≤ t ≤ t2 называюткруговым, еслинаэтоминтервалеточкадвижетсяпоокружности.

Вследующий момент времени t1 = t + ∆t положение точки (точ-

ка M1) определяется радиус-вектором r2 = r (t + t ). За время ∆t = t2 – t1 радиус-вектор изменится на

r = r2 − r1 = r (t + t )− r (t ).

Средней скоростью Vcp точки за время ∆t называют соотноше-

ние	r , т. е. V		=	r .
	t	cp		t

Средняя скорость параллельна вектору r и не имеет точки приложения.

Рис. 7.1

133

И. В. Богомаз. Механика

Мгновенная скорость точки V в момент времени t определяется как предел средней скорости при t → 0, т. е.

					= lim	r	= dr	= r .	(7.1)
V		= lim V
		t→0 cp			t→0	t	dt

Производная по времени от функций обозначается точкой над символом этой функции, а вторая производная – двумя точками.

Вектор скорости приложен в точке М, направлен в сторону ее движения по предельному направлению вектора r→ 0, т. е. совпадает с касательной к траектории в точке М. Размерность скорости в СИ:V = длина/время = м/с. Часто скорость выражают в км/ч = 0,28 м/с.

Скорость – это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки.

Ускорение точки. Пусть движущаяся точка М в момент времени t имеет скорость V (рис. 7.2). В момент времени t1 = t + ∆t эта точка занимает положение М1, имея скоростьV1. Чтобы изобразить при-

ращение скорости

V

за время ∆t, перенесем вектор скорости V1 па-

раллельно самому себе в точку М, тогда V

=V1 −V .

Средним ускорением точки acp за время ∆t называется отноше-

ние

V

, т. е. a

=

V

.

t

cp

t

Вектор acp

совпадает с направлением вектора V

, т. е. направ-

лен внутрь вогнутости траектории.

Рис. 7.2

134

7. Кинематика точки

Ускорением точки a в момент времени t называют предел, к которому стремится среднее ускорение при ∆t → 0, т. е.

a = lim	V		= dV				= r .	(7.2)
					=V
t→0		t	d t

Вектор ускорения a всегда направлен внутрь вогнутости под любым углом к касательной к траектории движения (рис. 7.2). Размерность ускорения в СИ: [а] = длина/время2 = м/c2.

Ускорение – это векторная величина, которая характеризует быстроту изменения модуля и направления вектора скорости.

Вопрос о скорости был камнем преткновения до начала ньютоновской эпохи в механике. Задачи на вычисление скорости движения какого-либо тела тогда были неразрешимы. Кроме того, существовали многочисленные «парадоксы». Один из них придуман Зеноном, он хорошо показывает, насколько была сложна до Ньютона проблема вычисления и определения скорости движения. Зенон – греческий философ и астроном, живший на о. Кипр около 336 – 264 до н. э., известный еще и тем, что одним из первых правильно объяснил затмение солнца и луны.

Предположим, – говорил он, – что Ахиллес (рис. 7.3, точка M1) бегает в десять раз быстрее черепахи (рис. 7.3, точка M2). Тем не менее Ахиллес никогда не перегонит черепаху.

Рис. 7.3

135

И. В. Богомаз. Механика

	Действительно, пусть в начале со-
	стязания черепаха находилась в 100 мет-
	рах впереди Ахиллеса (S = 100 м). Допус-
	тим, что пространство непрерывно. Тогда
	ко времени, когда Ахиллес пробежит эти
	100 метров, черепаха окажется в 10 мет-
	рах впереди него. Пробежав и эти 10 мет-
	ров, Ахиллес увидит черепаху в 1-м метре
	впереди себя. За то время, пока он пробе-
Г. В. Лейбниц	жит этот метр, черепаха пройдет 10 сан-
(Leibniz, Gottfried Wilhelm	тиметров и т. д. до бесконечности. Следо-
von)	вательно, в любой момент черепаха будет
(1646–1716)	впереди Ахиллеса, и он никогда не смо-
	жет ее перегнать.

Для разрешения этого парадокса была высказана новая идея независимо Ньютоном и Лейбницем, которая положила начало новой области математики помимо хорошо изученных учеными в те времена геометрии и алгебры. В непрерывной среде для описания движения Ньютон ввел параметр t, назвал его абсолютным временем и стал рассматривать путь, пройденный Ахиллесом и черепахой в единицу времени, т. е. рассматривать движение в плоскости с координатами S, t (рис. 7.3). За одно и то же время ∆t Ахиллес пройдет путь ∆1 (точка M1′),

а черепаха ∆2 (точка M 2′), причем ∆1 = 10∆2. Соединяя полученные точки M1, M1′ и M2, M 2′ в плоскости S, t, получим две прямые под разными

углами к оси t. Очевидно, что если угол наклона прямой (1) – угол α, будет больше угла наклона кривой (2) – угла β, то Ахиллес перегонит черепаху в момент времени tO, когда прямые (1) и (2) пересекутся.

Новая идея заключалась в том, чтобы малые расстояния (путь ∆) рассматривать на соответствующих малых отрезках времени ∆t и посмотреть, что произойдет с частным, если отрезок времени ∆t брать все меньше и меньше. Тогда скорость движения Ахиллеса V1 и скорость движения черепахи V2 определятся через углы наклона прямых α и β (рис. 7.3) следующим образом:

		V = tgα = lim		1	,	V = tgβ = lim		2	.
		1	t→0	t		2	t→0	t
Предел	lim	(t)	был назван производной от функции ∆(t), т. е.
	t→0	t

136