И. В. Богомаз. Механика

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИКИ

1.1. Прямоугольная декартова система координат

Рене Декарт

(René Descartes) (1596–1650)

Наиболее элементарными измерениями в механике, кроме простого счета, являются измерения расстояний. Расстояние вдоль заданной прямой АВ аддитивно, т. е. его можно представить в виде алгебраической суммы двух расстояний АC + CВ = АВ, где точка С лежит между точками А и В (рис. 1.1, а). Но если два расстояния взяты не на одной прямой, то их сумма не может быть определена однозначно без дополнительных условий. Если А, Q, В – три точки, то расстояние AB определяется не только расстояниями AQ и QB, т. е.

AB ≠ AQ +QB (рис. 1.1, б).

Рене Декарт предложил задавать положение		точекотрезка
с помощью системы параллельных отрезков	′	′	, перпенди-
	AA и BB

кулярных к исходной прямой (рис. 1.1, в). В дальнейшем была введена вторая ось, перпендикулярная первой. Система двух ортогональных осей получила название декартовой системой координат

(рис. 1.1, г).

а б

в г

Рис. 1.1

38

1. Основные определения из математики

Декартова плоская система координат задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми – осями координат, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан отрезок единичной длины. Точка пересечения осей координат О называется началом координат. Одна из осей координат Ох называется осью абсцисс, другая Оу – осью ординат.

Расстояние между точками PD определяется по теореме Пифа-

гора:

AB = (xB − xA )2 +(yB − yA )2 .

Декартова система координат в трехмерном пространстве задается аналогично случаю плоскости: осью абсцисс Ox, осью ординат Oy, осью аппликат Oz и началом координат О (рис. 1.2). Возможны две прямоугольные декартовы системы координат, которые никакими движениями в пространстве не могут быть совмещены друг с другом. Одна из них – правая, другая – левая. Наиболее употребляемой системой координат является правая (рис. 1.2, а). Систему координат свяжем с поверхностью земли. Пусть наблюдатель стоит на земле лицом на север, правая его рука направлена на восход солнца, т. е. на восток. Совместим с наблюдателем систему трех ортогональных осей Oxyz с поверхностью земли, при этом ось Oy направим на север, ось Ox будет указывать вместе с правой рукой на восток, ось Oz направим вертикально вверх на звезды (рис. 1.2, а).

Такая система называется правой декартовой системой координат. В правой системе координат поворот оси Оx в плоскости Оxy и в плоскости Оxz против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке – отрицательным.

Рис. 1.2

39

И. В. Богомаз. Механика

Рис. 1.3

Положение геометрической точки А в декартовой системе координат определено тремя независимыми координатами: xA, yA, zA, (рис. 1.2, б).

Плоская декартова система координат показана на рис. 1.3. Положение геометрической точки А в плоской системе координат определено двумя независимыми координатами xA, yA.

1.2. Понятие об абсолютно твердом теле и его степенях свободы

Важным понятием в механике является число параметров, полностью определяющих положение всех точек рассматриваемой системы в пространстве или плоскости, в частности твердого тела. Эти параметры носят название степеней свободы.

Свободным называется тело, на перемещения точек которого не наложено никаких ограничений. Вычислим количество степеней свободы твердого тела в плоскости и пространстве.

Число независимых параметров, определяющих перемещение тела (точек тела) на плоскости или в пространстве, называется числом его степеней свободы.

Плоскость. Положение точки на плоскости в системе координат Oxy определяется двумя независимыми параметрами (координатами) xA, yA, (рис. 1.4, а), т. е. точка может независимо перемещаться в двух ортогональных направлениях Ox и Oy, следовательно, точка имеет две степени свободы.

40

1. Основные определения из математики

а

б

Рис. 1.4

Положение твердого тела характеризовать двумя параметрами не получится, необходимо зафиксировать еще одну точку, тогда положение твердого тела на плоскости будет определено четырьмя параметрами – координатами двух точек – A(xA, yA) и B(xB, yB) (рис.1.4, б).

Предположим, что при движении или взаимодействии с другими телами твердое тело не меняет своей геометрической формы, тогда расстояние между точками А и В будет оставаться неизменным:

(xB − xA )2 +(yB − yA )2 = const.

Такие твердые тела называют абсолютно твердыми телами. В теоретической механике реальные тела моделируются абсолютно твердыми телами.

Абсолютно твердым телом (или неизменяемой механической системой) называют твердое тело, расстояние между любыми точками которого не меняется при его движении и взаимодействии с другими телами.

Тогда четыре координаты xA, yA, xB, yB, определяющие положение абсолютно твердого тела, связаны между собой теоремой Пифагора:

(xB − xA )2 +(yB − yA )2 = (AB)2 .

(1.1)

Это уравнение принято называть уравнением связи. Тогда из четырех координат xA, yA, xB, yB независимые только три: 4 координаты – 1 уравнение связи → 3 независимых координаты.

41

И. В. Богомаз. Механика

Поэтому движение абсолютно твердого тела в плоскости должно описываться тремя независимыми параметрами. За независимые параметры выбирают координаты любой точки А – xA, yA (часто центра тяжести тела) и угол φ, который образует жестко связанная с телом прямая АВ и положительным направлением оси Ox (рис. 1.4, б). Итак, положение абсолютно твердого тела в плоскости будет определяться тремя независимыми параметрами – xA, yA, φ и, следовательно, твердое тело при движении в плоскости будет иметь три степени свободы: тело может перемещаться вдоль каждой из осей и вращаться вокруг точки А. Точку А называют полюсом.

Число независимых перемещений тела определяет число его степеней свободы.

Абсолютно твердое тело в плоскости имеет три степени свободы. Теоретическая механика изучает возможные состояния материальных точек, абсолютно твердых тел и механических систем, со-

стоящих из твердых тел.

Материальной точкой называют абсолютно твердое тело, при изучении движения которого изменяются координаты полюса, а угол ϕ, который образует жестко связанная с телом прямая, проходящая через полюс с положительным направлением оси Ox, остается постоянным.

Механической системой, или просто системой, называется выделенная каким-либо образом совокупность материальных точек или твердых тел.

Пространство. Одна свободная точка в пространстве имеет три степени свободы. Рассмотрим свободное абсолютно твердое тело в пространстве (рис. 1.5). Положение твердого тела характеризовать двумя точками А и В в пространстве не получится, потому что тело может вращаться вокруг прямой АВ, при этом координаты точек А и В меняться не будут. Необходимо зафиксировать еще одну точку, тогда положение тела в пространстве будет определяется заданием координат трех его точек, не лежащих на одной прямой: A(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB), C(xC, yC, zC). Положение тела в пространстве в декартовой системе координат будет характеризуется девятью параметрами. Поскольку взаимное расположение точек А, В и С абсолютно твердого тела сохраняется (рис. 1.5), девять координат связаны между собой тремя уравнениями связи:

42

1. Основные определения из математики

Рис. 1. 5

расстояние АВ

(xA − xB )2 +(yA − yB )2 +(zA − zB )2 = L12 ;

расстояние АС

(x	A	− x	)2 + (y	A	− y	)2 + (z	A	− z	)2 = L2	;	(1.2)
		C			C			C	2

расстояние ВС

(xB − xC )2 +(yB − yC )2 +(zB − zC )2 = L23.

На девять координат наложено три уравнения связи, следовательно, независимых координат остается только шесть, т. е. абсолютно твердое тело в пространстве имеет шесть степеней свободы: тело может независимо перемещаться вдоль каждой из осей и вращаться вокруг каждой оси. За независимые параметры выбирают координаты полюса А – xA, yA, zA и углы поворота плоскости АВС вокруг каждой из осей, т. е. точка может независимо перемещаться в трех ортогональных направлениях Ox, Oy, Oz. Если при движении или взаимодействии с другими телами твердое тело меняет свою геометрическую форму (деформируется), тогда расстояние между двумя точками не будет оставаться неизменным, т. е. координаты точек A, B, C не связаны между собой. В этом случае будем говорить о деформируемом твердом теле.

43