14. Внецентренное сжатие или растяжение

		A R					100 10−4 120		106
F ≤			c		=				=163,71кН,
c		7,33						7,33
			A R					100 10−4 30	106
F ≤			t			=			= 85,61кН.
t		3,504						3,504

Из двух значений силы Fс и Ft в качестве несущей способности выбираем наименьшую, т. е. F ≤ 85,61 кН.

Ответ: несущая способность стойки F ≤ 85,61 кН.

14.2. Ядро сечения

Ядро сечения – часть сечения вокруг центра тяжести, при расположении внутри которой продольной нагрузки в поперечных сечениях возникают напряжения одного знака.

Пусть сжимающая сила F проходит точки 1, 2, 3 (рис. 14.5), тогда нейтральная линия занимает положения I–I, II–II, III–III и т. д. Наступит момент, когда нейтральная линия коснется контура сечения

изаймет, например, положение II–II, которому соответствует силовая точка 2. При этом в сечении во всех точках будут сжимающие напряжения. Если силу передвинуть за точку 2, то нейтральная линия пройдет внутри контура сечения и разделит его на 2 части: сжатую

ирастянутую. Таким образом, точка 2 является граничной точкой, за которой нельзя располагать продольную силу, если необходимо исключить возникновение в поперечном сечении растягивающих напряжений. Точно так же на прямых ОВ и ОС можно определить точки, которые обладают теми же свойствами, что и точка 2 (рис. 14.5). Соединив данные точки, получим контур ядра сечения.

Для построения ядра сечения проводят несколько нейтральных линий, касательных к контуру сечения. По чертежу находят соответ-

ствующие координаты отрезков ax и ay, отсекаемых от осей координат, и по формулам, которые следуют из (14.3), определяют координаты граничных точек ядра сечения:

	iy2			i2
xF = −		;	yF = −	x	.	(14.5)
	ax			ay
						311

И. В. Богомаз. Механика

При проектировании колонн из материалов, имеющих низкое сопротивление растяжению (например, из чугуна, бетона, камня, кирпичной кладки), важно заранее знать размеры ядра сечения и его форму.

Возьмем прямоугольное сечение со сторонами b и h (рис. 14.6, а). Рассмотрим четыре положения касательной, совмещенной со сторонами прямоугольника.

Для касательной I–I отрезки, отсекаемые на осях координат, равны ax = ∞ и ay = h/2. По формулам (14.5) имеем

iy2

i

2

2 J

x

2b h3

h

xF = −

= 0;

yF = −

x

= −

= −

= −

.

∞

h A

12b h2

6

h

2

Рис. 14.5

Рис. 14.6

312

14. Внецентренное сжатие или растяжение

Откладываем на оси Оу отрезок (–b/6), получаем точку 1 ядра сечения. Аналогично вычисляется точка 3. Повторяя рассуждения по отношению к касательным II–II и IV–IV, вычисляем для точек 2 и 4 координаты yF = 0; xF = ±b/6. Соединив вычисленные координаты точек прямыми линиями, получим ядро сечения в виде ромба (рис. 14.6, а).

Для сечения в виде круга радиусом R ядро сечения очерчено по окружности радиусом R/4 (рис. 14.6, б). Ввиду того, что круг симметричен относительно центра, достаточно рассмотреть одно положение касательной: ax = –R. Тогда

xF = r =	J y		πR4		R
		=		=		.
	A R				4
			4 πR2 R

Для сечения, имеющего форму многоугольника, ядро сечения также будет многоугольником.

Пример 14.2. Колонна заданного поперечного сечения (рис. 14.7) сжата силой, приложенной в точке В сечения. Найти положение нейтральной линии и построить ядро сечения.

Решение. Вычислим геометрические характеристики поперечного сечения, используя метод отрицательных площадей. Имеем

A1 =1,6 1, 2 =1,92 м2 , A2 = −0,8 0, 4 = −0,32м2 ,

А= ∑Ai = А1 + А2 =1,92 −0,32 =1,6м2 .

Рис.14.7

313

И. В. Богомаз. Механика

Рис. 14.8

Вычислим координаты центра тяжести C{xc, yc} осей Oxy' заданного поперечного сечения (рис. 14.8):

y	= 0, х	=	А1 хс1 + А2 хс2	= 1,92 0,8 −0,32 1, 2 =
c	с		A	1,6

относительно

0,72м.

Проводим через точку C{xc, yc} главные оси Cxcyc.

Осевые моменты инерции сечения относительно главных осей Cxcyc равны:

							Jx = 1,6 1, 23			− 0,8 0, 43			= 0, 226м4 ,
									12		12
	1, 2 1,63					+ 0,08		2			0, 4 0,83			+ 0, 48		2	0,32		= 0,331м	4	.
J y =		12							1,92	−	12
Квадраты радиусов инерции:
	ix2	=	J	x	=		0, 226		= 0,141м2		, iу2 =	J	у	=	0,331		= 0, 206м2 .
			A				1,6					A			1,6

314

14. Внецентренное сжатие или растяжение

Вычислим координаты отрезков, отсекаемые нейтральной линией на осях координат Cxcyc (координаты полюса В: xF = 0,88 см, yF = 0,6 см):

	iy2		0,	206		i2		0,141
ах = −		= −			= −0,234м, ау = −	х	= −		= −0,235м.
	xF		0,88					0,6
						уF

Построим нейтральную линию, отложив вычисленные отрезки на соответствующих координатных осях с учетом знака (рис. 14.9).

Для построения ядра сечения проведем четыре линии, касательные к контуру сечения (рис. 14.9) и вычислим координаты граничных точек ядра сечения по формуле (14.5).

Для касательной I–I длины отрезков, отсекаемых на осях координат, равны ах = ∞, ау = 0,6 м, тогда координаты точки 1 ядра сечения:

	iy2		iy2		i2		0,141
xF = −		= −		= 0; yF = −	x	= −		= −0,235м.
	ax		∞				0,6
					ay

Для касательной II–II:

ах = 0,88 м, ау = ∞.

Рис. 14.9

315

И. В. Богомаз. Механика

Координаты точки 2:

		0, 206			i2
	xF = −		= −0, 234(м),	yF = −	x	= 0.
		0,88			∞

Для касательной III–III:

ах = ∞, ау = – 0,6 м.

Координаты точки 3:

	xF = −	iy2	= 0, yF = −	0,141	= 0, 235м.
		∞		−0,6

Для касательной IV–IV:

ах = – 0,72 м, ау = ∞.

Координаты точки 4:

		0, 206			i2
	xF = −		= 0, 286м,	yF = −	x	= 0.
		−0,72			∞

Соединив точки 1–2–3–4 прямыми линиями, получим ядро сечения (рис. 14.9).

316