И. В. Богомаз. Механика

1.3. Элементы тригонометрии

	Рассмотрим круг единичного радиуса (R = 1) (рис. 1.6). Длина
окружности				= 2πR = 2π; π(радиан) ≡		Длина окружности. Радианная
						Диаметр
и градусная				мера:	1° ≈ 0,017 рад.	180° ≡ π(3,14)	рад; 1 рад ≡
≡	180°	=	180°	′	Значения тригонометрических		функций sin α
	π		3,14	≈ 57°3 .

и cos α приведено в табл. 1.1.

Рис. 1.6

					Таблица 1.1
Функции			Значения тригонометрических функций
		в смысле главного значения, т. е. в первом квадранте
Радиан	0		π/6	π/4	π/3		π/2
Градус	0°		30°	45°	60°		90°
sinα ≡ OA	0		0,5	2 / 2 = 0,707	3 / 2 = 0,866		1
cosα ≡ OB	1		3 / 2 = 0,866	2 / 2 = 0,707	0,5		0

Формулы приведения:

sin β = sin (180°± α) = ±sin α;	cos β = cos (180°± α) = −sin α;
44

1. Основные определения из математики

sin β = sin (90°± α) = cos α;				cosβ = cos (90°± α) = sin α;
	3π		= −cos α;		3π		= ±sin α.
sin	2	±α		cos	2	±α

1.4. Векторы

Многие физические величины характеризуются одним параметром – модулем. Например, известно расстояние, которое прошел студент (допустим, он прошел 17 км). При этом все равно, в каком направлении он гулял, но известна температура воздуха в день его прогулки, например, +25°. Такие величины, как расстояние между точками и температура, называют скалярными величинами. Бывают обстоятельства, когда необходимо знать и модуль, и направление физической величины. Например, если пункт А находится в 5 км к северо-востоку от пункта В, то недостаточно направить студента, указав расстояние в 5 км для того, чтобы он достиг пункт В. Необходимо задать направление движения. Комбинация модуля и направления физической величины называется векторной величиной, или просто вектором.

Важность понимания различий между векторными и скалярными величинами состоит в том, что для этих величин разные правила сложения, вычитания и умножения. Для скалярных величин эти правила прописаны в алгебре, для векторных величин – в векторной алгебре. Например, полное расстояние между пунктами А и В (по траектории движения ABC) вычисляется алгебраическим сложением (рис. 1.7, а):

АC + CВ = 4 + 3 = 7км,

аб

Рис. 1.7

45

И. В. Богомаз. Механика

а полное перемещение – это расстояние между пунктами А и В:

AB = AC2 +CB2 = 42 +32 = 5 км.

Вектор обозначается буквой с чертой (или стрелкой) над ней a ( a ) и изображается направленным отрезком, длина которого в некотором масштабе равна модулю представляемой вектором физической величины (рис. 1.7, б). Вектор характеризуется точкой приложения (точка А), модулем a ≡ a и линией действия – прямой, вдоль которой

направлен вектор. Вектор, модуль которого a =1, называется еди-

ничным вектором. Если направление единичного вектора совпадает с направлением вектора, единичный вектор называется ортом. Орты, направленные по осям Ox, Oy, Oz декартовой системы координат, обозначаются i , j , k – это единичные орты (рис. 1.8).

Проекция вектора на ось. Изобразим вектор a (рис. 1.8). Опустим перпендикуляры из начала А и конца В вектора на оси Ox, Oy, Oz, получим отрезки ax, ay, az, называемые проекциями вектора a на оси Ox,

Oy, Oz.

Каждый вектор a может быть единственным образом разложен на сумму векторов, параллельных единичным ортам i , j плоской

системы:

a = ax		+ ay		+ az		.	(1.3)
	i		j		k

Рис. 1.8

46

1. Основные определения из математики

Рис. 1.9

Скаляры ax, ay, az называются координатами вектора a в системе i , j , k , и обозначается это так:

a ={ax , ay , az }.

(1.4)

Записи векторов (1.3) и (1.4) равносильны.

Координаты вектора ax, ay, az и модуль вычисляются по формулам:

ax = a sin θ cos α, ay = a sin θ sin α, az = a cosθ, a = ax2 + a2y + az2.

Проекция вектора на ось есть скалярная величина, равная произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между положительным направлением оси и направлением вектора (рис. 1.9):

ax = a cos a; bx =b cosα1 =b cos(180°−α ) = −b cosϕ.

Линейные комбинации векторов. Сложение векторных вели-

чин производится по правилу параллелограмма: сумма двух векторов a и b , приведенных к общему началу, есть третий вектор с , длина которого равна длине параллелограмма, построенного на векторах a и b , а направлен вектор с от точки A к точке B (рис. 1.10, а):

a +b = c.

Модуль вектора с ≡ с вычисляется по формуле

c = a2 +b2 + 2ab cos(a,b).

47

И. В. Богомаз. Механика

а

б

в

Рис. 1.10

Построим треугольник из векторов a,b ,с (рис. 1.10, б). Отметим, что в этом треугольнике вектор с направлен на встречу векторов a и b .

Силовой многоугольник. Суммируют несколько векторов построением векторного многоугольника. Слагаемые векторы путем параллельного переноса последовательно пристраивают один за другим так, что начало последующего вектора совпадает с концом предыдущего, тогда вектор, замыкающий полученный многоугольник, является суммой заданных слагаемых, причем его начало совпадает с началом первого из слагаемых векторов, а конец – с концом последнего

(рис. 1.10, в).

Разность двух векторов. Разностью векторов a −b называется вектор d (совпадает с диагональю BD) такой, что сумма векторов d +b = а (рис. 1.11, а):

a −b = d .

Скалярное умножение векторов. Скалярным умножением век-

торов a и b (обозначаетсяa b ) называется скаляр, определяемый равенством

48

1. Основные определения из математики

c = a b = a b cos ϕ,

где угол ϕ – угол между векторами a и b , проведенными к общему началу (рис.11, б). Если векторы a и b заданы декартовыми координатами a {ax , ay , az }, b {bx ,by ,bz }, то скалярное произведение векторов вычисляется по формуле

c = a b = axbx + ayby + azbz .

Векторное умножение векторов. Векторным умножением векторов a и b (обозначается a ×b ) называется вектор c , длина которого равна c = a bsin ϕ, т. е. площади параллелограмма, построенного

на векторах a и b как на сторонах и направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы a и b (рис. 1.11, в):

c = a ×b .

а

б

в

Рис. 1.11

49