И. В. Богомаз. Механика

3. СИСТЕМА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ

3.1. Приведение к равнодействующей системы параллельных сил, направленных в одну сторону

Рассмотрим сначала систему двух параллельных сил, направленных в одну сторону. Так как силу можно переносить в любую точку линии ее действия, то достаточно знать только линию действия силы и ее модуль, а за точку приложения можно брать любую точку линии действия силы.

Определим равнодействующую системы двух параллельных сил. Дляэтогосистемупараллельныхсилсведемксистемесходящихсясил.

Пусть имеем две параллельные силы, направленные в одну сто-

рону, F1 и F2 (рис. 3.1). Соединим точки приложения сил отрезком

АВ. В точки А и В приложим две равные по модулю силы S1 и S2 ( S1 = S2 ≡ S ), направим их по отрезку АВ в противоположные стороны

(силы S1 и S2 составят систему сил, эквивалентную нулю). Теперь сло-

жим силы F1 и S1 , и F2 и S2 по правилу параллелограмма как сходя-

щиеся силы, получим, соответственно, их равнодействующие R1 и R2 .

Продолжим линии действия сил R1 и R2 до их пересечения

в точке О и перенесем R1 и R2 в эту точку. Совместим декартовую систему координат с точкой О, ось Ox направим вдоль линии дейст-

вия вектора S2 , ось Oy – вниз.

Рис. 3.1

66

3. Система параллельных сил

Разложим силы R1 и R2 на координатные оси Oxy, т. е. состав-

ляющие F1 и S1 , и F2 и S2 соответственно. Систему сил S1 и S2 , как

эквивалентную нулю, отбросим, останутся две силы: F1 и F2 . Эти си-

лы направлены в одну сторону и действуют по одной линии действия, следовательно, равнодействующая этих сил будет равна алгебраической сумме заданных сил и направлена параллельно заданным силам

F1 и F2 :

R = F1 + F2.

(3.1)

Из подобия треугольников АОС и R1OF1, а также COB и F2OR2 имеем

F1	=	S1	,	F2	=	S2	.
OC		AC		OC
						CB

Сложим пропорции (3.2) между собой:

F1 + F2	=	S1	+	S2	=	S (CB + AC )	=	S AB	.
OC		AC		CB		AC CB
								AC CB

Отметим, что

R = F1 + F2, CD + FC = AB

(3.2)

(3.3)

(3.4)

Выразим значение S через модули сил

F1

и

F2

из (3.2) соответ-

ственно:

AC

CB .

S = F

;

S = F

(3.5)

1

OC

2

OC

Подставляя (3.4) и (3.5) в (3.3), получим золотое правило меха-

ники:

R

=

F1

=

F2

.

BC

AB

AC

Из этой пропорции легко вычислить отрезки АС и ВС:

R

=

F2

AC =

F2

AB;

R

=

F1

BC =

F1

AB . (3.6)

AB

AC

R

AB

BC

R

67

И. В. Богомаз. Механика

Если на тело действует N параллельных сил, то их равнодействующая равна алгебраической сумме заданных сил.

N

R = ∑Fn .

n=1

Система параллельных сил, направленных в одну сторону, в равновесии находиться не может (равнодействующая R не может быть равна нулю).

Пример 3.1. На балку АВ длиной = 6м (рис. 3.2, а) приложены силы F1 = 8 кН, F2 = 12 кН. Заменить силы равнодействующей.

а

б

в

Рис. 3.2

68

3. Система параллельных сил

Решение. Равнодействующая двух параллельных сил равна их алгебраической сумме, т. е.

R = F1 + F2 = 8 + 12 = 20 кН.

Линия действия равнодействующей делит отрезок, соединяющий силы F1 и F2 согласно золотому правилу механики (рис. 3.2, a):

ABR = BCF1 = ACF2 206 = BC8 = AC12 ,

откуда

АС = 62012 = 3,6 м, ВС = 6208 = 2, 4 м.

Давление на опоры моста (рис. 3.2, б) можно представить системой параллельных сил, равнодействующая которых R = ∑Fi и приложена к середине каждого пролета (рис. 3.2, в).

3.2. Приведение к равнодействующей двух сил, направленных в разные стороны

Рассмотрим сложение двух сил, направленных в разные сторо-

ны. Пусть имеем две силы F1 и F2 (F2 > F1) (рис. 3.3, а). Возьмем на продолжении прямой ВА точку С и приложим к ней уравновешенные силы R и R′, параллельные силам F1 и F2 (рис. 3.3, б).

а

б

в

г

Рис. 3.3

69