5. Асинхронные машины

5.5. Расчет характеристик двигателей по схемам замещения

На основании схем замещения (рис. 5.15) и энергетической диаграммы (рис. 5.8) производят аналитический расчет характеризующих машину величин для любых значений скольжения и нагрузки.

Токи главной и намагничивающей цепей:

I2′′ = UZ1 ,

				R		+ j(X				);
	где Z = R		+	2			1	+ X	2
				s
		1

I00 = U1 , z00

где z00 = r1 + rm + j(x1 + xm ) .

Полный ток статорной обмотки и подведенные мощности:

I1 = I00 + I2′′, S = m1U1I1, P1 = m1U1I1a ,

(5.68)

(5.69)

(5.70)

где I1 – модуль тока из формулы, I1a – активная составляющая тока статорной обмотки.

Электрические потери мощности в обмотках машины

pэл = m1RкI2′′2 .

(5.71)

Магнитные потери мощности в сердечнике статора

р	= m r	I 2 .	(5.72)
мг	1 m1	00

Добавочные потери мощности

				I1
р		= (0,005 − 0,01)P			.	(5.73)
				I
	д	1н
				1н

Электромагнитная мощность машины

P = m1(I2′′)	2	r′	(5.74)
		2 .
		s

202

5. Асинхронные машины

Полная механическая мощность на роторе

	P	= m	(I′′)2 r′	1− s	.	(5.75)
				s
	мх	1	2 2
	Полезная мощность на валу машины
	Р2 = Р1 − рэл − рмг − рд − pмх				= P1 − ∑ p ,	(5.76)

где pмх – механические потери мощности, определяемые опытным путем или принимаемые некоторой долей от мощности машины:

рмх = (0,01 − 0,03)Р1н.

Коэффициент полезного действия

Р2

∑ р

η = Р

−

Р

(5.77)

= 1

100.

1

1

Коэффициент мощности

cos ϕ =

I

1a

=

P1

.

(5.78)

1

I1

S1

Частота вращения вала ротора

n = n1(1 − s) .

(5.79)

Момент на валу (полезный)

М2

= Р2

= 9,55 Р2

,

(5.80)

Ω

n

где

2π

= 0,1047 и

1

= 9,55; Р – мощность, Вт; n – частота вращения,

60

0,1047

об/мин.

5.6. Механические характеристики

Механическая характеристика имеет наибольшее значение для определения свойств двигателя и представляет зависимость частоты вращения ротора n от вращающего момента, т. е. n = f (M) или M = f (n). Часто эту зависимость выражают в виде s = f (M) или M = f (s).

203

5. Асинхронные машины

Электромагнитный момент M, развиваемый электромагнитными силами на роторе асинхронной машины, определяется равенством

М = Рмх Ω,

(5.81)

где Pмх – механическая мощность на роторе, определяемая выражением (5.39); Ω − механическая угловая скорость вращения ротора,

Ω = 2πn = 2 πn (1	− s) = Ω (1	− s) =	ω1(1 − s)	.	(5.82)
1	1		p

С учетом равенств (5.42) и (5.82) равенство (5.81) перепишем в виде

	m p	2	r′
М =	1	I2′	2	(5.83)
	ω		s .
	1

Согласно выражению (5.38) электромагнитный момент можно определить по электромагнитной мощности

	Р		р	эл2		m p	2	r′
М =		=			=	1	I2′	2	(5.84)
	Ω		Ω s			ω		s
1				1		1

и получить результат, полностью совпадающий с выражением (5.83).

Ток главной ветви схемы замещения с учетом формулы (5.64) для наиболее распространенной уточненной Г-образной схемы замещения

I2′ = C1I2′′ =	C1U1
	(R1 + R2 s)2 + (X1 + X 2 )2 .	(5.85)

Электромагнитная мощность по формуле (5.43) с учетом выражения

(5.85)

					2 R2
				m1U1
Р =						s						.	(5.86)
				R2	2						2
	R		+		+	(X			+ X		)
				s			1			2
		1

Выражение электромагнитного момента как функция скольжения (уравнение механической характеристики) на основании равенств (5.84) и (5.85) имеет вид

M =	m p				U 2		R		s
	1					1	2							.	(5.87)
					R	2
	ω												2
		R		+	2		+	(X			+ X		)
					s
			1							1		2

204

5. Асинхронные машины

Формула (5.87) позволяет сделать следующие выводы:

1.Момент пропорционален квадрату приложенного к обмотке статора напряжения.

2.Знак момента определяет скольжение: в двигательном и тормозном режимах при s > 0 момент положителен, в генераторном режиме при s < 0 – отрицателен.

3.Момент имеет сложную зависимость от скольжения, определяемую соотношением сопротивлений машины.

4.Момент равен нулю при скольжениях s = 0 и s = ±∞ и имеет максимальное значение при определенном соотношении параметров машины.

Задаваясь значениями s при известных параметрах двигателя можно определить M и построить искомую механическую характеристику. В электромеханике механическую характеристику (рис. 5.16, а) часто показывают как зависимость M = f (s) или M = f (n). В теории электропривода широко используют зависимость (рис. 5.16, б) n = f (M) или s = f (M).

При малых значениях скольжения механическая характеристика ли-

нейна, что объясняется большим значением сопротивления R2/s и возрастанием числителя дроби в формуле (5.87).

При значениях скольжения, близких к единице, сопротивление R2/s соизмеримо или меньше суммарного индуктивного сопротивления (X1 + X2)

ипри увеличении скольжения момент уменьшается.

Физически уменьшение момента объясняется значительным увеличением реактивного тока в обмотках машины, не создающего момента, но потребляемого машиной для создания магнитных потоков рассеяния статорной и роторной обмоток. При скольжении, равном s = ±∞, ток роторной обмотки чисто реактивный и момент равен нулю.

	М	Двигательный				s	n
		режим		Тормозной	Генераторный		n = n1
				режим	режим		Двигательный
				s >1	s < 0		режим
s < 0	0					1	0
		s =		1 s	− М
	Генераторный
	режим						Тормозной
							режим
		− М					− n s >1
	а					б

Рис. 5.16. Механические характеристики асинхронной машины

205

5. Асинхронные машины

s	a						Укажем характерные точки механиче-
0							ской характеристики асинхронной машины.
sн		б					При отрицательных значениях		скольжения
sкр						в	(–∞ < s <0) машина работает в генераторном
							режиме. При изменении скольжения от 1 до
							0 наиболее часто применяемый для асин-
	Мн						хронной машины режим – работа в режиме
1			г			М	двигателя. При изменении скольжения от 1
							до +∞ асинхронная машина работает в ре-
	Мп
				Мm			жиме электромагнитного тормоза.
Рис. 5.17. Механическая							На рис. 5.17 приведена механическая
	характеристика						характеристика	асинхронного	двигателя.
асинхронного двигателя							Характерными	точками этой кривой явля-

ются:

•(s = 0, n = n1, M = 0) – идеальный холостой ход двигателя, недостижимый для двигателя на практике;

•(s = sн, n = nн, M = Mн) – номинальный режим асинхронного двига-

теля;

•(s = sкр, n = nкр, M = Mm) – режим максимального (критического) момента;

•(s = 1, n = 0, M = Mп) – пусковой режим двигателя.

Для получения выражения максимального электромагнитного момента Mm и пропорциональной ему максимальной электромагнитной мощности Рm, полагая все величины, входящие в формулы (5.87) и (5.86), кроме скольжения, постоянными, определяют производную момента или мощности по s и приравнивают ее нулю:

2

R

2

2

R2

m1U1

2

− R1

− X к

+

2

2

dP =

d

s

s

= 0.

(5.88)

2

2

2

ds

ds

+ X

((R1 + R2 s)

к )

2

2

R2

Уравнение (5.88) обращается в нуль только при

− R1

− Xк +

2

= 0.

s

2

В этом случае критическое скольжение, при котором мощность достигает максимума,

	sкр = ±	R2		(5.89)
		R2	+ X 2
		1	к

206

5. Асинхронные машины

или, если пренебречь величиной R12 << Xк2 ,

sкр = ±	R2	.	(5.90)
	X к

Подставив sкр из формулы (5.89) в выражение (5.86), получим формулу максимальной мощности:

Pm = ±m1				U12			.	(5.91)
	2	±R +		R2	+ X 2
			1	1	к

Знак «плюс» в формуле (5.91) соответствует двигательному режиму работы, знак «минус» − генераторному.

Для максимального (критического) электромагнитного момента аналогично формуле (5.91) по выражению (5.87) получают

	U 2
Мmax = Mкр = ±m1 p	2ω1[± R1+1	R12+ Xк2 ].	(5.92)

По относительной величине, как следует из выражения (5.92), критический момент генераторного режима машины больше, чем в двигательном режиме.

Из полученных формул (5.89) и (5.92) следует, что максимальный

момент Mmax:

1) при заданной частоте и заданных параметрах машины пропорционален квадрату напряжения U12 (асинхронный двигатель весьма чувствителен к уменьшению напряжения сети);

2)не зависит от активного сопротивления роторной обмотки;

3)получается при тем большем скольжении, чем больше активное сопротивление роторной цепи;

4)при заданной частоте почти обратно пропорционален сумме со-

противлений (X1 + X2), т. е. тем меньше, чем больше индуктивные сопротивления рассеяния статорной и роторной обмоток.

Величина момента Mmax имеет особенно важное значение при работе асинхронной машины в режиме двигателя: его часто называют опрокидывающим моментом.

Отношение

Km = Mmax Mн

(5.93)

207

5. Асинхронные машины

называют коэффициентом максимального момента, определяющим перегрузочную способность двигателя, т. е. возможность автоматического увеличения вращающего момента вплоть до Mm при возросшей сверх номинальной нагрузке на валу. У двигателей общепромышленных серий мощностью от 0,6 до 2 000 кВт Mmax = (1,7–2,6) Mн. У двигателей новой российской серии RA и современных зарубежных серий (фирм TES, Siemens и др.) максимальный момент повышен до Mmax = (2,2–3,2) Mн.

При скольжении s = 1 из формулы (5.87) получают формулу пускового момента

	M			m p	U 2 R
			=	1	1 2	.	(5.94)
		п			(R1 + R2 )2 +(X1 + X 2 )2
				ω

Пусковой момент достигает максимума, как следует из формулы (5.89), при условии R22 = R12 + Xк2 .

Как видно из формул (5.93) и (5.94), пусковой момент:

1)при заданной частоте f1 и неизменных параметрах машины пропорционален квадрату напряжений U12 ;

2)достигает максимума при условии, что активное сопротивление цепи ротора равно индуктивному сопротивлению машины Xк;

3)при прочих равных условиях тем меньше, чем больше индуктивность машины X.

Пусковой момент выражают отношением

Кп = Мп Мн ,

(5.95)

называемым отношением пускового момента к номинальному или кратностью пускового момента.

Для асинхронных двигателей общепромышленных серий с короткозамкнутым ротором пусковой (начальный) момент невелик и составляет Mп = КпМн = (0,9–1,4) Mн. У двигателей новой российской серии RA и современных зарубежных серий (фирм TES, Siemens и др.) пусковой момент повышен до Mп = (1,4–2,0) Mн.

Зависимость момента асинхронного двигателя от активного сопротивления цепи ротора широко используют при пуске и регулировании его частоты вращения.

При отсутствии в цепи ротора добавочного сопротивления отношение R2/Х2 обычно невелико, поэтому момент М достигает максимального значения при относительно небольших скольжениях: s = 0,12−0,2 (рис. 5.18).

208

			5. Асинхронные машины
	Пусковой момент Мп в двигателях	n
	с фазным ротором, имеющих большее	n1	1
	сопротивление рассеяния ротора, чем
	короткозамкнутые двигатели, может		2
	оказаться ниже пределов, допускаемых		3
	по условиям пуска в ход, и двигатель не		4
	запустится (не сможет преодолеть мо-
	мент сопротивления на его валу). Чтобы	0
	избежать этого, необходимо ввести в		М
	цепь ротора с фазной обмоткой доба-	Рис. 5.18. Кривые n = f (M)
	вочное сопротивление Rд. Максимум	при введении в цепь ротора
	момента, как следует из выражений	активного сопротивления
	(5.89) и (5.92), при этом не изменяется,

но скольжение sкр увеличивается.

Представленные на рис. 5.18 кривые момента М соответствуют четырем различным значениям сопротивления Rд2. Естественная механическая характеристика 1 повторяет собой кривую момента на рис. 5.17. Кривая 3 соответствует значению Rд2, при котором R2 + Rд2 = Xк; в этом случае sкр = 1, т. е. максимум момента достигается в начальный момент пуска двигателя в ход. Кривая 2 соответствует сопротивлению Rд′2 < Rд2 , а кривая 4

– сопротивлению Rд′′2 > Rд′2 . В последнем случае максимум момента дости-

гается при скольжениях sкр > 1, т. е. при работе машины в режиме электромагнитного тормоза.

Заметим, что введением при пуске во вторичную цепь дополнительного активного сопротивления в соответствии с выражением (5.85) одновременно достигается уменьшение пускового тока.

Полученные кривые будут использованы для объяснения пуска асинхронных двигателей при помощи реостата и регулирования скорости их вращения.

На практике широко используют приближенное аналитическое выражение механической характеристики с использованием данных, приведенных в каталогах на электродвигатели: кратность моментов Мкр к Мн и номинальное скольжение sн (при отсутствии величин сопротивлений).

Разделив выражение (5.87) на выражение (5.92), получают (для двигателя) соотношение

М

2[R1 + R12 + Xк2 ]

R2

2R2(R1 +

R12 + Xк2 )

=

s

=

.

(5.96)

Мкр

R

2

2

R2

2

R

+

2

+ X

к

s R1

+

+ Xк

1

s

s

209

5. Асинхронные машины

Из формулы (5.89) получим
	R2	= R2	+ X 2 .	(5.97)
1			к
	sкр

Решив (5.97) относительно Xкр2 и подставив значение в формулу

(5.96), после некоторых упрощений получим формулу, предложенную Клоссом:

R

R

2R R

+

2

s

1

М

2

1

sкр

2

R

+1

кр

=

=

2

.

(5.98)

М

R

2

R

2

R

sкр

s

кр

2

2

1

sкр +

+

s R1

+

2

+

2

− R1

R2

s

sкр

s

s2

кр

В формуле (5.98) можно сделать близкое к истине допущение, что R1 ≈ R2, и получить соотношение

M		=	2(1+ sкр )						.	(5.99)
M	кр		2s	+	sкр	+		s
			кр		s			sкр

Для расчета кривой M = f (s) формулу Клосса (5.99) используют в следующем порядке:

1)по каталожным данным Mн, Mкр/Mн и sн определяют sкр;

2)зная отношение Мкр и sкр, задаются значениями s от 1 до 0 и по

Мн

формуле (5.99) определяют момент в относительных единицах. При известном значении номинального момента можно перевести относительные единицы момента в именованные.

В области малых скольжений слагаемые ss и 2sкр в формуле (5.99)

кр

значительно меньше ssкр и ими можно пренебречь. Тогда участки кривых

M = f (s) и n = f (M) при малых скольжениях (рис. 5.19) будут практически прямолинейными:

2
M = Mкр		s = As .	(5.100)
	s
	кр

210