VIII. Логико-математические аспекты структур

26. Все вышеупомянутые «конкретно-операциональные» структуры предполагают построение и учет определенных количественных отношений: величины классов в классификации (что объясняет трудность квантификации включений классов), различий между элементами в сериации, разных физических величин в опытах на сохранение и т.п. Но даже до построения этих количественных структур, т.е. на дооперациональном уровне можно обнаружить некие частичные структуры и структуры качественного характера, которые представляют большой интерес, потому что образуют, так сказать, первую «половину» логики обратимых операций. Это так называемые функции (однонаправленные функции, не имеющие инверсий, которые предполагали бы обратимость) и качественные тождественности (см. п. 10).

Функции, как мы помним, являются «чертежами» в математическом смысле. Они не имеют инверсии, потому что, как мы видели, психологически связаны с целенаправленными схемами действий. Предположим, например, что экспериментатор держит в руках один конец веревки (b), перекинутой через блок, а к другому ее концу подвешен груз, так что одна часть веревки (а) находится под прямым углом к другой ее части (а'). Все дети в возрасте от 4 до 7 лет понимают, что если потянуть за веревку, то одна ее часть (а) станет короче, а другая часть (а') длиннее. Но у них пока отсутствует понимание сохранения длины всей веревки (в) (в = а' + а), и то умственное действие, которое они выполняют, это не квантифицированная операция, а просто качественное, или ординальное, приравнивание (длиннее = дальше).

Сходным образом в случае тождества, как мы видели, все дети (или почти все) соглашаются, что, когда пластилиновый шарик раскатывается в колбаску, он все равно остается «тем же самым» куском пластилина, даже если его количество и не сохраняется прежним. Подобные представления о тождественности приобретаются очень рано, и упомянутая нами (в п. 2) схема постоянного объекта относится к этим представлениям. Брунер в своей книге рассматривает их как источник сохранения количеств. В известном смысле это верно (они составляют необходимое, но недостаточное условие), но при этом остается центральное различие: те или иные качества объекта (на которых основывается качественная тождественность) могут быть установлены перцептивно, тогда как для количественных величин требуется структура, в сложности и длительном развитии которой мы только что убедились (п. 23—26). В действительности функции и качественная тождественность составляют только дооперациональную и качественную половину логики, они подготавливают логику обратимых и количественных соответствий, но сами по себе недостаточны, чтобы ее обеспечивать.

27. Количественный аспект конкретных операций в противоположность качественной природе дооперациональных функций и тождественностей открывается, в частности, в построении (в возрасте 7—8 лет) операций, связанных с числом и измерением. Эти операции частично изоморфны друг другу, но совершенно различны по содержанию. Построение количественных чисел нельзя объяснить с помощью одного установления взаимно-однозначных соответствий между эквивалентными классами, как считали Рассел и Уайтхед, потому что такие соответствия в отрыве от качеств (и в отличие от качественных соответствий между отдельными объектами, обладающими одинаковыми свойствами) имплицитно опираются на понятие единицы и числа, что приводит к порочному кругу. В действительности, когда мы имеем дело с конечными множествами, количественные числа нельзя отделить от порядковых, которые отвечают трем следующим условиям:

1. абстракции от качеств, делающей все отдельные объекты эквивалентными, и поэтому 1 = 1 = 1;

2. упорядочению: 1 → 1 → 1..., которое необходимо для различения объектов друг от друга, иначе было бы справедливо равенство 1 + 1 = 1;

3. включению (1) в (1 + 1), затем (1 + 1)в(1 + 1 + 1)и т.п.

Поэтому целые числа являются результатом синтеза упорядочения (сериация) и включения (классификация), которые необходимы для абстрагирования от качеств. Отсюда целые числа строятся из чисто логических элементов (сериации и классификации), но последние реорганизуются, образуя новый синтез, допускающий квантификацию посредством процесса итерации: 1 + 1 = 2 и т.п.

Сходным образом измерение непрерывной величины (континуума, например, линии, поверхности) предполагает: а) ее деление на сегменты, один из которых затем выбирается в качестве единицы и приравнивается к остальным на основе конгруэнтности: а = а = а...; b) определенное упорядочение этих единиц: а → а → а ... и т.п. и с) приведение единиц в виде аддитивных композиций: а в (а + а) и (а + а) в (a + a + а). Таким образом, данный синтез разбиения и включения сегментов, а также упорядочения их изоморфен синтезу упорядочения и включения, характеризующему число, что дает возможность использовать число для измерения.

Поэтому ясно, что, и не прибегая ни к чему другому, кроме синтеза элементарных «группировок» включения и порядка, субъект может достичь числовой или метрической квантификации, мощность которой далеко превосходит элементарные квантификации (отношения между частью и целым) классификаций или сериации, основанных на различениях, оцениваемых просто как «больше» или «меньше».

28. Вслед за конкретно-операциональными структурами (упомянутыми в п. 23) в возрасте 11 — 15 лет происходит построение двух новых структур, делающих возможным применение таких пропозициональных операций, как импликация несовместимость (p‌q), дизъюнкция (р v q) и т.п. Такими новыми структурами являются «группа четырех» и комбинаторные операции. Комбинаторика на этой стадии состоит в классификации всех возможных классификаций (так же, как перестановки являются сериацией сериаций) аа, ab, ас, bс, bb, сс и т.п. и поэтому составляет не полностью новую операцию, но операцию над другими операциями. Сходным образом группа четырех INRC является результатом объединения в целое инверсий N и реципрокностей R (поэтому появляется инверсия реципрокности NR = С), так же как и операция тождественности I = NRC <...> Но инверсия уже существовала в группировках классов в форме А — А = 0, а реципрокность — в группировках отношений в виде А = В, откуда В = А Группа INCR, таким образом, вновь оказывается операциональной структурой, опирающейся на предшествующие операции. Что до пропозициональных операций и т.п., которые включают как комбинаторику, так и группу INRC, то они новы по форме, но по своему содержанию относятся к связям между классами, отношениями или числами, и поэтому они являются операциями над операциями.

Вообще операции, принадлежащие третьему периоду развития (см. п. 10, период с для возраста 11 — 12 лет), уходят корнями в конкретные операции (подпериод b между 7 и 11 годами), обогащая их, точно так же, как источник конкретных операций лежит в сенсомоторных схемах (период а, до 2 лет), которые они также значительно изменяют и обогащают. Поэтому последовательный характер стадий (который мы уже в достаточной мере подчеркнули в п. 10) с точки зрения построения структур соответствует механизму, который необходимо проанализировать, потому что он слишком важен, чтобы просто назвать его секвенциальным, или последовательно прогрессирующим, уравновешиванием. Сейчас необходимо понять, как происходят построения, приводящие к возникновению чего-то нового (что является хорошо известной проблемой развития математических структур).

29. Мы видели (п. 21, с), что уже на уровнях, предшествующих построению логико-математических операций и, следовательно, до возникновения дедуктивных систем, можно было говорить о логико-математических экспериментах, извлекающих информацию из свойств действия, совершенного в отношении объекта, а не из самого объекта, что совершенно не одно и то же. Поэтому в отличие от абстракции в собственном смысле слова мы в данном случае имеем новый тип абстракции, которую можно назвать рефлексивной и которая является ключом к интересующей нас проблеме. Чтобы абстрагировать свойство из действия или операции, недостаточно просто отделить его от тех свойств, которые в дальнейшем не будут приниматься во внимание (например, выделить «форму» и отбросить «содержание»); свойство или форма, выделенные таким образом, должны быть дополнительно транспонированы куда-либо, т.е. перенесены в другой план действия или операции. В случае простой абстракции такой проблемы не возникает, поскольку тогда мы имеем дело со свойством объекта, ассимилируемым субъектом. Однако в случае рефлексивной абстракции, когда субъект извлекает свойство или форму из действий (операций) плана P_l, он должен затем перенести их в более высокий план Р₂, что является их отражением в квазифизическом смысле (как при отражении луча света). Но для того чтобы данная форма или свойство были ассимилированы в новом плане Р₂, они должны быть реконструированы в этом новом плане и подвергнуты новому мыслительному процессу, который будет теперь означать «отражение» (рефлексию) в когнитивном смысле. Поэтому «рефлексивную абстракцию» необходимо понимать в обоих смыслах.

Но если для ассимиляции свойств или форм, абстрагированных в плане P_l необходим новый когнитивный процесс в плане Р₂, то это означает, что новые операции или действия плана Р₂ будут добавлены к операциям или действиям плана P_l, из которого была абстрагирована данная информация. Следовательно, рефлексивная абстракция по необходимости является конструктивной: она обогащает новыми элементами структуры, выведенные из плана P_l, что равноценно построению новых структур. Это объясняет, почему конкретные операции, основанные на сенсомоторных схемах, богаче последних и почему то же самое справедливо для пропозициональных, или формальных, операций, которые сами основываются на конкретных операциях. В качестве операций над операциями они добавляют новые способы композиции (комбинаторику и т.п.).

Но рефлексивная абстракция является общим процессом построения в математике: например, она служила для выделения алгебры как группы операций над операциями арифметики. Таким же образом Кантор построил трансфинитную арифметику: он поставил во взаимно-однозначное соответствие последовательности 1, 2, 3, 4... и 2, 4, 6, 8. Такое действие привело к новому числу (N), выражающему «мощность (число) исчисляемого», но не принадлежащему ни к одной из последовательностей. Современная теория функций таким же образом строит «морфизмы» и т.п., и то же самое справедливо в отношении «материнских структур» Бурбаки.

Замечательно то, что процесс построения структур, который мы наблюдали в ходе последовательных стадий развития ребенка и в механизмах уравновешивания посредством саморегуляции (в результате возникает саморегуляция с помощью обратной связи высшего порядка, т.е. обратимой операции), совпадает с постоянным процессом конструкции, используемым математикой в ее постоянном развитии. В этом и состоит решение проблемы развития, несводимой ни к эмпирическому процессу открытия «уже готовых» явлений внешнего мира, ни к преформизму или априоризму, также означающим, что все «уже готово» от начала. Мы считаем, что истина лежит между двумя этими крайностями, т.е. в конструктивизме, выражающем тот способ, с помощью которого постоянно вырабатываются новые структуры.