Свойства функции распределения:

Свойство 1: Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1]: .

Свойство 2: F(x) – неубывающая функция, т. е. F(x₂) ≥F(x₁), если х₂>x₁.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: Р(аХ<b)=F(b)– F(a).

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение равна нулю.

Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то F(x)=0 при хa; F(x)=1 при хb.

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения:

График функции распределения

График функции распределения расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 . При возрастании х в интервале (а, b), в котором за­ключены все возможные значения случайной величины, график «поднимается вверх». При х а ординаты графика равны нулю; при х b ординаты графика равны единице.

Следует отметить, что график дискретной функции распределения имеет ступенчатый вид.

Плотность распределения вероятностей. Дифференциальная функция распределения

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функцию f(x) – первую производную от функции распределения: .

Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприменима. Иногда функцию плотности распределения называют дифференциальной функцией распределения. Линию y=f(x) называют кривой распределения.

Свойства плотности распределения

Свойство 1. Вероятность того, что непрерывная случайная величина в результате испытания примет какое-нибудь значение из интервала (a, b), равна определенному интегралу от плотности вероятности в пределах от a до b:

.

Свойство 2. Если значения случайной величины принадлежат всей числовой оси, то имеет место утверждение .

Свойство 3. Плотность вероятности функция неотрицательная f(x)0.

Решение задач

1). Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения

Х	1	4	8
Р	0,3	0,1	0,6

Найти функцию распределения и построить ее график.

2). Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (0, 1).

2) Задана плотность вероятности случайной величины Х

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащие интервалу (0,5; 1).

5. Самостоятельная работа студентов на занятии

5.1. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (2, 3).

5.2. Задана плотность вероятности случайной величины Х

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащие интервалу (; 1).

5.3. Дискретная случайная величина задана законом распределения:

Х	1	4	5	8
Р	0,2	0,3	0,4	0,1

Найти функцию распределения и построить ее график.