Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов, заключается в построении модели, позволяющей получить наименьшую сумму квадратов отклонений экспериментальных значений от эмпирических значений модели:.

Для получения коэффициентов модели методом наименьших квадратов необходимо решить систему (зависимость линейная): .

Рассмотрим случай, когда предполагаемая зависимость квадратическая . Получим систему:

Проверка полученной модели на адекватность результатам эксперимента

Критерий Фишера предполагает наличие следующих условий: дисперсии, характеризующие ошибки опытов, во всех точках эксперимента одинаковы и ошибки опытов подчиняются нормальному закону. Поэтому сначала выясняют значимость различий оценок дисперсий в каждой точке плана эксперимента. В каждой точкех_j вычисляют , где– среднее арифметическое наблюдаемых значений фактора у; n – количество экспериментов в каждой точке плана; – число степеней свободы. Из полученного ряда значений оценок дисперсийвыбирают наибольшую из оценок дисперсийи наименьшую.

По критерию Фишера находят экспериментальное значение критерия и по таблице критических значений Фишера при уровне значимостир – критическое значение F_кр(р,f₁,f₂), где f₁ и f₂ – число степеней свободы для большей и меньшей (по величине) оценок дисперсий соответственно. Уровень значимости обычно р=0,05 . Если F_эксп меньше F_кр, то различие оценок незначимо, если же F_эксп больше F_кр, то различие значимо.

Если различие оценок дисперсий незначимо, то, следовательно, выполняется условие: дисперсии, характеризующие ошибки опытов, во всех точках эксперимента одинаковы и ошибки опытов подчиняются нормальному закону.

Можно применить критерий Фишера для проверки полученной модели на адекватность результатам эксперимента. Найдем сумму квадратов отклонений: и отношениек степеням свободы:,N– количество точек плана эксперимента, (к+1) – количество коэффициентов полученной модели и сравним по критерию Фишерас оценкой дисперсии, характеризующей ошибку опыта.

Вычислим :, где, а– число степенней свободы.

По критерию Фишера находят экспериментальное значение критерия и по таблице критических значений Фишера при уровне значимостир – критическое значение F_кр(р,f_R,f₀), где f_R и f₀ – число степеней свободы для исоответственно

Если F_эксп меньше F_кр, то полученная модель адекватна результатам эксперимента, если же F_эксп больше F_кр, то неадекватна.

Решение задач

1. Методом выбранных точек построить математическую модель, если результаты эксперимента приведены в таблице:

х	у1	у2	у3
0,0	1,2	1,0	1,1
0,2	2,3	2,5	2,7
0,4	4,7	4,5	4,9
0,6	5,8	6,2	6,0
0,8	8,0	8,4	8,2

Проверить полученную модель на адекватность результатам эксперимента

2. Построить математическую модель методом выбранных точек, если результаты эксперимента приведены в таблице:

х	у1	у2
0	2,2	1,9
1	3,6	3,4
2	4,3	4,7
3	5,0	5,4
4	4,4	4,6
5	4,0	3,8
6	1,9	2,1

3. Методом наименьших квадратов построить математическую модель, если результаты эксперимента приведены в таблице:

х	у1	у2	у3
0,0	1,2	1,0	1,1
0,2	2,3	2,5	2,7
0,4	4,7	4,5	4,9
0,6	5,8	6,2	6,0
0,8	8,0	8,4	8,2

Провести проверку модели на адекватность результатам эксперимента и сравнить с примером рассмотренным ранее.