Полигон и гистограмма

Для графического изображения статистического распределения используются полигоны и гистограммы. Для построения полигона на оси Ох откладывают значения вариант х_i, на оси Оу – значения m_i (или p_i*). Построенную таким образом линию (рис. 7.1.) называют полигоном.

Рис. 7.1. Полигон

В случае непрерывного распределения признака вероятность каждого значения х_i равна нулю и описанный способ не годится.

Ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основанием х и высотой или ,называется гистограммой (рис. 7.2). Площадь частичного прямоугольника равна . Площадь гистограммы равна сумме всех частот (или относительных частот), т. е. объему выборки (или единице).

На практике для рассматриваемых значений признака строят гистограмму, сравнивая ее с графиком плотности вероятности типичных распределений, можно отнести изучаемое распределение к тому или иному типу.

Рис. 7.2. Гистограмма

Эмпирическая функция распределения

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называется функцию F*(х), определяющей для каждого значения х относительную частоту события Х<x: , где число наблюдений, при которых значение признака Х меньше х; n – объем выборки.

В отличие от эмпирической функции распределения F*(x) выборки функцию распределения F(x) генеральной совокупности называется теоретической функцией.

Свойства эмпирической функции распределения

Свойство 1. Значения эмпирической функции распределения лежат в интервале: 0F*(x)1.

Свойство 2.F*(x) – неубывающая функция.

Свойство 3. Если х₁ – наименьшая варианта, то F*(x)=0 при xx₁; если х_k – наибольшая варианта, то F*(x)=1 при x>x_k.

Решение задач

1. Построить полигон относительных частот, если дискретный ряд распределения представлен в таблице:

хi	37	38	39	40	41	42	43
mi	1	5	5	8	15	4	12

2. Результаты наблюдений за числом частиц, попавших в счетчик Гейгера в течение минуты, приведены в виде интервального ряда распределения:

Интервал Х	20-24	24-28	28-32	32-36	36-40	40-44	44-48	48-52
mi	1	4	20	10	8	4	2	1

Построить гистограмму частот распределения.

5. Самостоятельная работа студентов на занятии

5.1. Найти оценку генеральной средней, несмещенную оценку дисперсии и исправленное среднее квадратическое отклонение по выборке: 289; 203; 243; 210; 251; 224; 220; 211; 246. (Указание. Для расчета использовать формулы без учета частот).

5.2. Время цветения 100 одинаковых растений (в сутках) даны в таблице:

Фазы цветения	Число цветущих растений (mi)
5-10	4
10-15	6
15-20	16
20-25	36
25-30	24
30-35	10
35-40	4
	100

Построить гистограмму распределения фазы цветения. Какой тип распределения напоминает гистограмма. Найти среднюю фазу цветения растений, оценку среднего квадратического отклонения, приняв за фазы цветения середины интервалов. (Указание. Для построения гистограммы относительных частот вычислить относительную частоту для каждой фазы цветения и отношение).

5.3. В компьютерном классе средствами Excel построить гистограмму распределения для задачи 5.2.