1. Тема: Основные понятия теории вероятностей. Классическое и статистическое определение вероятности

2. Актуальность темы: классическое и статистическое определение вероятности события являются базовыми понятиями теории вероятностей.

3. Цель занятия: закрепить понятия теории вероятностей и методы решения задач на классическое и статистическое определение вероятности.

3.1 Целевые задачи:

знать: понятия случайного события, классификацию случайных событий, определение полной группы событий; классическое и статистическое определения вероятности, свойства вероятности;

уметь: решать задачи на вычисление вероятностей событий.

4. Краткие сведения из теоретического курса

Понятие испытания, события, виды событий

Под испытанием принято понимать набор некоторых условий, который можно повторить многократно. Каждое испытание может привести или не привести к некоторому результату, исходу. Результат, исход испытания называют событием. События обозначают первыми заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С и т. д. Наблюдаемые события можно подразделить на три вида: случайные, достоверные и невозможные.

Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет в результате испытания. Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет в результате испытания. Случайным называется событие, появления которое невозможно прогнозировать. Случайные события подразделяют на совместные, несовместные и равновозможные.

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же испытании. Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого событий в одном и том же испытании. События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. В частности, если события А₁, А₂, … А_к, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. Этот частный случай полной группы будет использоваться в дальнейшем.

События А₁, А₂, … А_к, образующие полную группу попарно несовместных равновозможных событий называется элементарными событиями или элементарными исходами.

Элементарные события такой группы А₁, А₂, … А_к называются благоприятствующими осуществлению события А, если осуществление любого из элементарных событий влечет за собой осуществление события А.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Вероятность события А определяется формулой Р(А)=.

Свойства вероятности:

1. Вероятность достоверного события равна единице.

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

3. Вероятность случайного события – положительное число, заключенное между нулем и единицей: .

Относительная частота события

Пусть проведено n испытаний в одних и тех же условиях. частотой события называется количество появлений события А в n испытаниях. Обозначают частоту события буквой m. Отношение частоты события к общему количеству всех проведенных испытаний называется относительной частотой события.

Относительная частота события А определяется формулой .

В классическом определении вероятностей не требуется, чтобы испытания проводились в действительности; в определении относительной частоты предполагается, что испытания были проведены.

Если испытания проводились в одинаковых условиях, и число испытаний было достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости: В различных опытах относительная частота изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа. Это постоянное число есть вероятность появления события.

Статистической вероятностью события А в испытании называется число Р(А), около которого группируются значения относительной частоты при большом количестве испытаний n.

Решение задач

1. В ящике 10 перенумерованных шаров с номерами № 1, № 2, ..., № 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 10?

2. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?

3. В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова вероятность вынуть из урны черный шар?

4. В лотерее 2000 билетов. На один билет падает выигрыш 100 руб., на четыре билета – выигрыш по 60 руб., на десять билетов – выигрыш по 20 руб., на двадцать билетов – выигрыш по 10 руб., на 165 билетов – выигрыш по 5 руб., на 400 билетов – выигрыш по 1 руб. Остальные билеты невыигрышные. Какова вероятность выиграть по билету не меньше 10 руб.?

5. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях – четная, причем на грани хотя бы одной из костей появится шестерка.

6.Монета брошена пять раз. Орел выпал два раза. Каковы вероятность и относительная частота выпадения орла?