Теорема умножения для независимых событий

Событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности. Если событие В не зависит от события А, и событие А не зависит от события В, следовательно события А и В взаимно независимые.

Для независимых событий теорема умножения может быть записана следующим образом:

Теорема: Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

Для трех независимых событий (если события А, В, С независимы в совокупности, то независимы события АВ и С, а также А и В) теорема умножения имеет вид: .

Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть в результате испытания могут появиться n событий независимых в совокупности, либо некоторые из них, причем вероятности появления каждого из событий известны.

Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂ , … А_n , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :

,

где ,

Рассмотрим частный случай.

Если события А₁, А₂, … А_n, имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий: .

Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, … В_n, которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности событияА.

Вероятность события А, которое может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, … В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

.

Повторные независимые испытания. Формула Бернулли

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытания не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

Если при проведении ряда испытаний выполняются следующие условия:

• число испытаний пконечно;

• каждое испытание имеет только два исхода: «событие А осуществилось» или «событие Ане осуществилось»;

• все испытания независимые;

• вероятность появления события Ав каждом испытании постоянна, то имеет место так называемая схема Бернулли. Примером повторных испытаний, описываемых схемой Бернулли, является многократное подбрасывание монеты.

Требуется решить задачу: найти вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится n–k раз. Искомую вероятность обозначим .

Вероятность того, что при n независимых испытаниях событие А осуществится ровно k раз, если вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна р можно найти по формуле Бернулли:, где– число сочетаний,– вероятность непоявления событияА в испытании.

Функция n! (читается «эн факториал») определена для целых положительных чисел:

Например, .

Закон Пуассона

В тех случаях, когда число испытаний велико (несколько десятков или сотен), а вероятность появления событии А мала, для вычисления вероятности того, что в серии из n испытаний событие А появится ровно k раз, вычисляют по формуле Пуассона.

В случае, когда n велико, а вероятность события мала (р0,1) пользуются асимптотической формулой Пуассона: , где.

Эту формулу называют законом Пуассона или законом редких событий.

При вычислениях по формуле Пуассона следует иметь в виду, что значение параметра  должно находится между 0 и 10. При больших значениях  рекомендуется производить вычисления по теореме Муавра-Лапласа.

Решение задач

1. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар белый? черный? синий? красный? белый или черный? синий или красный? белый, черный или синий?

2. События А, В, С и D образуют полную группу с одинаковыми вероятностями. Найти вероятности этих событий.

3. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров. Во втором ящике 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что, оба шара белые?

4. В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой черный.

5. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором два вопроса.

6. В урну, содержащую 2 шара, опущен один шар белый. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны любые предположения о пер­воначальном составе шаров (по цвету).

7. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее выиграть: две партии из четырёх или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?

8. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено изделий: а) ровно 3; б) менее трёх; в) более трёх.